Problemas de sistemas
En un colmado, Yaritza paga $\text{RD}\$270$ por 3 jugos y 2 panes. Su hermano paga $\text{RD}\$255$ por 2 jugos y 3 panes. ¿Cuánto cuesta cada cosa? Con una sola compra no se puede saber, pero con las dos sí. Lo difícil casi nunca es resolver el sistema: es traducir el enunciado a ecuaciones. Aquí aprenderás a hacerlo con método.
Plantear: tantas ecuaciones como incógnitas
La suma de dos números enteros es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula el valor de ambos números.
La suma de dos números enteros es $54$ y su diferencia es $12$. Plantea un sistema de ecuaciones y calcula el valor de ambos números.
Un hotel de costa dispone de habitaciones dobles y sencillas. En total hay $50$ habitaciones y $87$ camas. Suponiendo que todas las habitaciones están completas,…
Un hotel de costa dispone de habitaciones dobles y sencillas. En total hay $50$ habitaciones y $87$ camas. Suponiendo que todas las habitaciones están completas, ¿cuántas habitaciones de cada tipo tiene el hotel?
En una granja escuela hay gallinas y vacas. Si se cuentan las cabezas de los animales, hay un total de $45$; si se cuentan las patas, hay $140$. ¿Cuántos animales de…
En una granja escuela hay gallinas y vacas. Si se cuentan las cabezas de los animales, hay un total de $45$; si se cuentan las patas, hay $140$. ¿Cuántos animales de cada clase hay en la granja?
Precios y mezclas
En los problemas de precios, cada ecuación dice: (cantidad) × (precio) + … = total pagado.
Mezclas
En una mezcla se conservan dos cosas: la cantidad total y el valor total (dinero, o cantidad de sustancia pura).
Porcentajes
Si una cantidad $x$ sube un $5\%$, la nueva cantidad es $1.05x$; si $y$ baja un $10\%$, queda $0.9y$.
En una ferretería, un cliente compra $4$ tornillos y $3$ tuercas por un total de $126$ pesos. Otro cliente compra $2$ tornillos y $5$ tuercas por $105$ pesos. Plantea un…
En una ferretería, un cliente compra $4$ tornillos y $3$ tuercas por un total de $126$ pesos. Otro cliente compra $2$ tornillos y $5$ tuercas por $105$ pesos. Plantea un sistema de ecuaciones lineales y calcula el precio de cada artículo.
En una bodega se mezclan dos tipos de vino, uno de $240$ pesos/litro y otro de $330$ pesos/litro, para obtener un tonel de $300$ litros de mezcla que se venderá a $276$…
En una bodega se mezclan dos tipos de vino, uno de $240$ pesos/litro y otro de $330$ pesos/litro, para obtener un tonel de $300$ litros de mezcla que se venderá a $276$ pesos/litro. ¿Cuántos litros de cada tipo de vino se han utilizado para hacer la mezcla?
Una familia destina una parte de sus ingresos mensuales a pagar la hipoteca y otra parte a alimentación. El mes pasado, la suma de estos dos gastos fue de $72\,000$…
Una familia destina una parte de sus ingresos mensuales a pagar la hipoteca y otra parte a alimentación. El mes pasado, la suma de estos dos gastos fue de $72\,000$ pesos. Este mes, la cuota de la hipoteca ha subido un $5\%$ y el gasto en alimentación ha bajado un $10\%$, siendo el gasto total en estos dos conceptos de $70\,200$ pesos. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular cuánto gastaron en cada concepto el mes pasado.
Edades, cifras y puntajes
Números de varias cifras
Un número de tres cifras con centenas $c$, decenas $d$ y unidades $u$ vale $100c+10d+u$. Si se invierten las cifras, vale $100u+10d+c$.
Puntajes
En un examen o en una competencia, cada tipo de acierto suma o resta puntos: $(\text{aciertos})\cdot(\text{puntos}) + \dots = \text{total}$, junto con la ecuación del número total de preguntas.
La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad del padre será exactamente el doble que la del hijo. Determina las edades que…
La edad actual de un padre es el triple que la de su hijo. Dentro de $10$ años, la edad del padre será exactamente el doble que la del hijo. Determina las edades que tienen actualmente ambos.
Un examen de matemáticas consta de $30$ preguntas. Por cada respuesta correcta se suman $5$ puntos y por cada respuesta incorrecta o en blanco se restan $2$ puntos. Un…
Un examen de matemáticas consta de $30$ preguntas. Por cada respuesta correcta se suman $5$ puntos y por cada respuesta incorrecta o en blanco se restan $2$ puntos. Un alumno ha obtenido $94$ puntos en total. ¿Cuántas preguntas ha respondido correctamente?
La suma de las tres cifras de un número es $12$. La cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos. Si se invierte el orden de las cifras, el número…
La suma de las tres cifras de un número es $12$. La cifra de las decenas es la media aritmética de las otras dos. Si se invierte el orden de las cifras, el número resultante es $198$ unidades mayor que el original. Plantea un sistema de ecuaciones y averigua de qué número se trata.
Geometría: perímetro, área y diagonal
Datos típicos y su ecuación:
| Dato | Ecuación | Tipo |
|---|---|---|
| Perímetro $P$ | $2x+2y=P$ | lineal |
| Área $A$ | $xy=A$ | no lineal |
| Diagonal $d$ | $x^2+y^2=d^2$ (Pitágoras) | no lineal |
| Triángulo rectángulo de catetos $a$, $b$, hipotenusa $c$ | $a^2+b^2=c^2$ (Pitágoras) | no lineal |
| Altura $h$ sobre la hipotenusa | $ab=ch$ (el área se calcula de dos formas: $\frac{ab}{2}=\frac{ch}{2}$) | no lineal |
Si todas las relaciones son lineales, usas reducción o sustitución. Cuando aparece un área o una diagonal, despeja una incógnita en la ecuación lineal y sustitúyela en la otra: sale una ecuación de segundo grado.
El perímetro de una parcela rectangular mide $130$ metros. Se sabe que el largo de la parcela mide $15$ metros más que el ancho. Plantea un sistema de ecuaciones y…
El perímetro de una parcela rectangular mide $130$ metros. Se sabe que el largo de la parcela mide $15$ metros más que el ancho. Plantea un sistema de ecuaciones y determina las dimensiones de la parcela.
Las dimensiones de un campo de juego rectangular son tales que su área es de $6000$ m² y la longitud de su diagonal es $130$ m. Plantea un sistema de ecuaciones no…
Las dimensiones de un campo de juego rectangular son tales que su área es de $6000$ m² y la longitud de su diagonal es $130$ m. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal para calcular el largo y el ancho del campo.
Determina las medidas de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que su perímetro es de $60$ cm y que la altura trazada sobre la hipotenusa mide $12$ cm. Plantea…
Determina las medidas de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que su perímetro es de $60$ cm y que la altura trazada sobre la hipotenusa mide $12$ cm. Plantea un sistema de ecuaciones no lineal de tres incógnitas (catetos e hipotenusa) para resolverlo.
Una sola ecuación de segundo grado: valla y caja
A veces el enunciado se reduce a una incógnita tras sustituir. Estrategia:
-
Elige la incógnita (el ancho, por ejemplo) y expresa las demás en función de ella.
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Escribe la condición final (área, volumen) con esa incógnita.
-
Lleva la ecuación a la forma $ax^2+bx+c=0$ y resuélvela.
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Descarta las soluciones imposibles.
Cajas sin tapa
Si de una lámina rectangular de ancho $a$ y largo $l$ se cortan cuadrados de lado $c$ en las esquinas, la caja resultante mide $(l-2c)$ por $(a-2c)$ de base y $c$ de altura. Su volumen es $V=(l-2c)(a-2c)\cdot c$.
Un agricultor quiere vallar un campo de forma rectangular que linda con un río recto, por lo que no necesita poner valla en el lado del río. Dispone de exactamente $400$…
Un agricultor quiere vallar un campo de forma rectangular que linda con un río recto, por lo que no necesita poner valla en el lado del río. Dispone de exactamente $400$ metros de valla. Sabiendo que el área cercada debe ser de $20000$ m², plantea un sistema de ecuaciones para encontrar las dimensiones del campo y discute justificadamente si existe una única solución para el problema.
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una lámina rectangular de cartón, cortando cuadrados de $5$ cm de lado en cada esquina y doblando los bordes hacia…
Se quiere construir una caja sin tapa a partir de una lámina rectangular de cartón, cortando cuadrados de $5$ cm de lado en cada esquina y doblando los bordes hacia arriba. El largo de la lámina original es el doble que el ancho. Si el volumen de la caja resultante debe ser de $1500$ cm³, plantea la ecuación o sistema necesario y determina las dimensiones de la lámina de cartón original.
Movimiento y trabajo
La relación básica del movimiento uniforme es $d=v\cdot t$. En cada problema, escribe una ecuación $d=vt$ para cada vehículo.
Trabajo en común
Si una llave llena un depósito en $x$ horas, en una hora llena $\dfrac1x$ del depósito. Si dos llaves trabajan juntas, sus partes por hora se suman.
Un ciclista realiza un trayecto de ida y vuelta entre dos pueblos separados por una distancia $d$. A la ida, con el viento a favor, circula a una velocidad constante de…
Un ciclista realiza un trayecto de ida y vuelta entre dos pueblos separados por una distancia $d$. A la ida, con el viento a favor, circula a una velocidad constante de $30$ km/h. A la vuelta, con el viento en contra, circula a $20$ km/h. Si el tiempo total empleado en el trayecto completo de ida y vuelta es de $2.5$ horas, plantea un sistema de ecuaciones y halla la distancia entre los dos pueblos y el tiempo empleado en cada trayecto.
Dos llaves llenan un depósito en $6$ horas si se abren a la vez. Si la primera llave tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el depósito por separado, plantea un…
Dos llaves llenan un depósito en $6$ horas si se abren a la vez. Si la primera llave tarda $5$ horas menos que la segunda en llenar el depósito por separado, plantea un sistema de ecuaciones (que incluirá fracciones algebraicas) para determinar cuánto tardaría cada llave en llenarlo de forma individual.
Dos trenes parten simultáneamente de dos estaciones A y B separadas por $450$ km, circulando por vías paralelas y en sentidos opuestos. Se cruzan al cabo de $3$ horas.…
Dos trenes parten simultáneamente de dos estaciones A y B separadas por $450$ km, circulando por vías paralelas y en sentidos opuestos. Se cruzan al cabo de $3$ horas. Si el tren que sale de A hubiera salido $1$ hora antes que el tren de B, se habrían cruzado a $306$ km de la estación A. Plantea un sistema de ecuaciones para calcular las velocidades constantes de ambos trenes.
Tres incógnitas
Cuando hay tres cantidades desconocidas, necesitas tres ecuaciones. Para resolver, elimina una incógnita y vuelves a un sistema $2\times2$.
Una empresa reparte sus beneficios anuales entre sus tres socios A, B y C. El socio A recibe el doble que el socio B, y el socio C recibe $240\,000$ pesos más que el…
Una empresa reparte sus beneficios anuales entre sus tres socios A, B y C. El socio A recibe el doble que el socio B, y el socio C recibe $240\,000$ pesos más que el socio B. Si el beneficio total a repartir es de $3\,120\,000$ pesos, plantea un sistema de tres ecuaciones lineales y calcula la cantidad que recibe cada socio.
En una tienda de deportes se venden balones de fútbol, baloncesto y voleibol. El precio de un balón de fútbol es de $1\,500$ pesos, el de baloncesto $1\,800$ pesos y el…
En una tienda de deportes se venden balones de fútbol, baloncesto y voleibol. El precio de un balón de fútbol es de $1\,500$ pesos, el de baloncesto $1\,800$ pesos y el de voleibol $1\,200$ pesos. Un club compró $40$ balones por un total de $61\,800$ pesos. Sabiendo que el número de balones de fútbol comprados es igual a la suma de los de baloncesto y voleibol, plantea un sistema de tres ecuaciones y determina cuántos balones de cada deporte se compraron.
En una competición deportiva, las medallas de oro, plata y bronce otorgan $5$, $3$ y $1$ punto respectivamente. Un equipo ha conseguido un total de $25$ medallas y $75$…
En una competición deportiva, las medallas de oro, plata y bronce otorgan $5$, $3$ y $1$ punto respectivamente. Un equipo ha conseguido un total de $25$ medallas y $75$ puntos. Sabiendo que el número de medallas de plata supera en $1$ al número de medallas de oro, plantea un sistema de ecuaciones y averigua cuántas medallas de cada tipo ha ganado el equipo.
Mezclas, aleaciones y producción con tres componentes
Aquí se combinan las ideas de mezclas, porcentajes y tres incógnitas. Una ecuación suele ser la cantidad total y otra el valor, la concentración o el costo total.
En un laboratorio de química se dispone de tres disoluciones de un mismo ácido con concentraciones del $10\%$, $20\%$ y $40\%$. Se quieren obtener $100$ ml de una nueva…
En un laboratorio de química se dispone de tres disoluciones de un mismo ácido con concentraciones del $10\%$, $20\%$ y $40\%$. Se quieren obtener $100$ ml de una nueva disolución al $25\%$. Si se utiliza la misma cantidad de volumen de la disolución al $10\%$ que de la del $20\%$, ¿qué volumen de cada disolución se debe mezclar?
Una empresa fabrica tres modelos de computadoras: básico, medio y avanzado. La producción diaria total es de $400$ unidades. El costo de fabricación es de $18\,000$…
Una empresa fabrica tres modelos de computadoras: básico, medio y avanzado. La producción diaria total es de $400$ unidades. El costo de fabricación es de $18\,000$ pesos para el básico, $30\,000$ pesos para el medio y $48\,000$ pesos para el avanzado, con un costo total diario de $11\,700\,000$ pesos. Si la empresa decide aumentar la producción del modelo básico en un $20\%$ y reducir la del modelo avanzado en un $10\%$, la producción total aumentaría en $15$ unidades. Plantea un sistema de ecuaciones de tres incógnitas y determina la producción inicial de cada modelo.
Una aleación está compuesta por oro, plata y cobre. El peso total de una pieza de esta aleación es de $120$ gramos. Se sabe que el peso del oro y la plata juntos supera…
Una aleación está compuesta por oro, plata y cobre. El peso total de una pieza de esta aleación es de $120$ gramos. Se sabe que el peso del oro y la plata juntos supera en $40$ gramos al peso del cobre. Al sumergir la pieza en agua, esta pierde $10$ gramos de su peso aparente por el empuje hidrostático. Si se sabe que la pérdida de peso en el agua para el oro puro es de $1/20$ de su peso, para la plata de $1/10$ y para el cobre de $1/8$, plantea un sistema de ecuaciones y calcula cuántos gramos de cada metal contiene la pieza.
Un sistema con parámetro
Algunos modelos, como el reparto de vehículos por tres rutas, traen un parámetro $k$ que no se conoce de antemano. Se trata de ver para qué valores de $k$ el sistema tiene una solución, infinitas o ninguna. La idea: eliminar incógnitas hasta llegar a una ecuación del tipo $(\text{algo con }k)\cdot z=\text{número}$.
Un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro $k$ modeliza la distribución de vehículos en tres rutas alternativas $x$, $y$, $z$:…
Un sistema de ecuaciones lineales dependiente de un parámetro $k$ modeliza la distribución de vehículos en tres rutas alternativas $x$, $y$, $z$:
$ \begin{cases} x + y + z = 100 \\ 2x + 3y + kz = 250 \\ x + 2y + 3z = 160 \end{cases} $
Determina para qué valores del parámetro $k$ el modelo tiene una solución única, infinitas soluciones o ninguna solución, e interpreta qué significa físicamente que el sistema resulte incompatible.
Resumen
Vuelve al principio: con $3x+2y=270$ y $2x+3y=255$, el jugo cuesta $\text{RD}\$60$ y el pan $\text{RD}\$45$.