Polinomios
Una fábrica de cajas en Santiago recibe planchas de cartón de $30$ cm por $20$ cm. Para armar una caja sin tapa recorta un cuadrado de lado $x$ en cada esquina y dobla los bordes hacia arriba. ¿Qué expresión da el volumen de la caja según el valor de $x$? Esa expresión es un polinomio, y en este apartado repasas las herramientas de 3° para manejarlos: operar, dividir y factorizar. Con ellas resolverás ecuaciones de grado alto en los apartados siguientes.
Definición, grado y operaciones
Un polinomio en $x$ es una suma de términos $a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_1 x + a_0$, con coeficientes $a_i$ reales y exponentes naturales. El grado es el mayor exponente con coeficiente distinto de cero. $a_n$ es el coeficiente principal y $a_0$ el término independiente.
Sumar o restar polinomios es reducir términos semejantes (los del mismo grado). Multiplicar es aplicar la propiedad distributiva: cada término del primero por cada término del segundo, y luego reducir.
Sean los polinomios $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ y $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$. Calcula el polinomio resultante de la operación $2P(x) - Q(x)$ y expresa el resultado…
Sean los polinomios $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ y $Q(x) = -x^3 + 4x^2 - 2x + 5$. Calcula el polinomio resultante de la operación $2P(x) - Q(x)$ y expresa el resultado ordenado de mayor a menor grado.
Una empresa de embalajes diseña cajas rectangulares sin tapa a partir de una plancha de cartón de $30 \text{ cm}$ por $20 \text{ cm}$. Para ello, recortan cuadrados de…
Una empresa de embalajes diseña cajas rectangulares sin tapa a partir de una plancha de cartón de $30 \text{ cm}$ por $20 \text{ cm}$. Para ello, recortan cuadrados de lado $x$ en cada esquina y pliegan los bordes hacia arriba. Expresa el volumen $V(x)$ de la caja como un polinomio en forma estándar (desarrollado). Después, calcula el volumen exacto si se recortan cuadrados de $x = 4 \text{ cm}$.
En un proyecto de diseño 3D, se parte de un cubo macizo de arista $x+2 \text{ cm}$. Se perfora su interior extrayendo otro cubo concéntrico de arista $x-1 \text{ cm}$.…
En un proyecto de diseño 3D, se parte de un cubo macizo de arista $x+2 \text{ cm}$. Se perfora su interior extrayendo otro cubo concéntrico de arista $x-1 \text{ cm}$. Expresa el volumen de material restante como un polinomio en forma estándar (desarrollando los binomios al cubo y simplificando). Después, halla el valor de $x$ si se sabe que el volumen de material restante es exactamente de $117 \text{ cm}^3$.
División de polinomios
Dividir $D(x)$ entre $d(x)$ da un cociente $C(x)$ y un resto $R(x)$ tales que
$$D(x)=d(x)\cdot C(x)+R(x),$$con el resto de grado menor que el del divisor (o nulo). El algoritmo es la división larga de números: divides los términos principales, multiplicas, restas, y repites con lo que queda.
Realiza la siguiente división de polinomios e indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$:…
Realiza la siguiente división de polinomios e indica claramente cuál es el polinomio cociente $C(x)$ y el polinomio resto $R(x)$:
$(x^4 - 3x^3 + 2x^2 - x + 5) : (x^2 - x + 1)$
En la división del polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + kx^2 - 3x + 5$ entre $Q(x) = x^2 - x + 2$, halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de la división sea un…
En la división del polinomio $P(x) = 2x^4 - x^3 + kx^2 - 3x + 5$ entre $Q(x) = x^2 - x + 2$, halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de la división sea un número constante (es decir, un polinomio de grado 0). ¿Cuál es el valor exacto de ese resto?
División sintética (regla de Ruffini)
Cuando el divisor es de la forma $x-a$, la división sintética (regla de Ruffini) es un atajo: trabajas solo con los coeficientes y con el número $a$. Para dividir entre $x+2$ usas $a=-2$, porque $x+2=x-(-2)$.
Pasos: escribe los coeficientes de $P(x)$ en orden (con $0$ donde falte un término). Baja el primero. Multiplícalo por $a$, súmalo al siguiente coeficiente y repite. El último número es el resto, y los anteriores son los coeficientes del cociente, que tiene un grado menos.
Utiliza la regla de Ruffini para efectuar la división del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre el binomio $x + 2$. Indica el cociente y el residuo.
Utiliza la regla de Ruffini para efectuar la división del polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre el binomio $x + 2$. Indica el cociente y el residuo.
Un envase cilíndrico se inscribe dentro de una esfera de radio $R = 10 \text{ cm}$. El volumen del cilindro en función de su semialtura $x$ es…
Un envase cilíndrico se inscribe dentro de una esfera de radio $R = 10 \text{ cm}$. El volumen del cilindro en función de su semialtura $x$ es $V(x) = 2\pi x (100 - x^2)$. Se desea que el volumen sea exactamente $768\pi \text{ cm}^3$. Formula la ecuación polinómica $P(x) = 0$, encuentra su raíz entera utilizando la regla de Ruffini y factoriza el polinomio resultante para hallar todas las posibles semialturas $x$ que cumplen la condición geométrica.
Teoremas del residuo y del factor
Antes de dividir, conviene saber si vale la pena. El teorema del residuo dice que el resto de dividir $P(x)$ entre $x-a$ es $P(a)$.
¿Por qué? Por la división, $P(x)=(x-a)C(x)+R$, con $R$ constante (el resto tiene grado menor que 1). Si sustituyes $x=a$, el primer sumando se anula y queda $P(a)=R$.
El teorema del factor es consecuencia directa: $x-a$ es factor de $P(x)$ exactamente cuando el resto es cero, es decir, cuando $P(a)=0$ (cuando $a$ es raíz).
Estos teoremas también sirven para hallar coeficientes desconocidos: cada condición del problema («vale $0$ en $x=1$», «el resto de dividir entre $x-2$ es $4$») da una ecuación, $P(1)=0$ o $P(2)=4$. Si $P(x)$ es divisible por $(x-a)^2$, entonces $a$ es raíz de $P(x)$ y también del cociente de dividir entre $x-a$: son dos condiciones.
Aplica el Teorema del Resto para calcular el resto de la división del polinomio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 5x + 8$ entre $x - 3$, sin necesidad de realizar la división…
Aplica el Teorema del Resto para calcular el resto de la división del polinomio $P(x) = x^5 - 3x^4 + 2x^2 - 5x + 8$ entre $x - 3$, sin necesidad de realizar la división completa.
Utilizando el Teorema del Factor, comprueba si los valores $x = 2$ y $x = -1$ son raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Justifica tu respuesta mostrando los…
Utilizando el Teorema del Factor, comprueba si los valores $x = 2$ y $x = -1$ son raíces del polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2$. Justifica tu respuesta mostrando los cálculos.
Los beneficios diarios de una empresa, en miles de pesos, se modelan mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 4$, donde $x$ es el día de la semana (de 1 a 7). Se…
Los beneficios diarios de una empresa, en miles de pesos, se modelan mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + ax^2 + bx + 4$, donde $x$ es el día de la semana (de 1 a 7). Se sabe que el día 1 el beneficio es cero. Además, al dividir $B(x)$ entre $x-2$, el residuo es $2$. Calcula los parámetros $a$ y $b$, y factoriza el polinomio para determinar en qué otro día de la semana el beneficio vuelve a ser exactamente cero.
La curva de dilatación térmica de un nuevo polímero se aproxima mediante un polinomio cúbico $E(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. En los ensayos de laboratorio se ha…
La curva de dilatación térmica de un nuevo polímero se aproxima mediante un polinomio cúbico $E(t) = at^3 + bt^2 + ct + d$. En los ensayos de laboratorio se ha comprobado que a las temperaturas $t = 1 \ ^\circ\text{C}$, $t = 2 \ ^\circ\text{C}$ y $t = -1 \ ^\circ\text{C}$, la dilatación es nula. Sin embargo, a $t = 0 \ ^\circ\text{C}$, la dilatación es de $2 \text{ mm}$. Determina el valor de los coeficientes $a, b, c, d$ del polinomio.
La curva de flexión de una viga sometida a carga se modela con el polinomio $y(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Se sabe que el polinomio es exactamente divisible por…
La curva de flexión de una viga sometida a carga se modela con el polinomio $y(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$. Se sabe que el polinomio es exactamente divisible por $(x-1)^2$. Además, al dividirlo por $x+1$ el resto es $-8$, y al dividirlo por $x-2$ el resto es $4$. Plantea el sistema de ecuaciones correspondiente y halla los valores de $a, b, c$ y $d$.
Demuestra, utilizando el Teorema del Factor, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n \ge 1$. A…
Demuestra, utilizando el Teorema del Factor, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n \ge 1$. A continuación, aplica esta propiedad para extraer la raíz evidente y factorizar completamente el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ en el conjunto de los números reales.
Factorizar polinomios
Factorizar es escribir el polinomio como producto de polinomios de menor grado. Sigue este orden:
-
Factor común.
-
Productos notables: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$, $a^2\pm 2ab+b^2=(a\pm b)^2$, y la suma y diferencia de cubos, $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ y $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$.
-
Trinomios de segundo grado: busca las raíces con la fórmula general.
-
Ceros racionales y división sintética: prueba los divisores del término independiente (divididos entre los del coeficiente principal), baja el grado con la división sintética y sigue factorizando.
-
Bicuadrados $ax^4+bx^2+c$: cambia $u=x^2$.
Extrae el factor común y utiliza los productos notables para factorizar completamente el polinomio $P(x) = 3x^3 - 12x$.
Extrae el factor común y utiliza los productos notables para factorizar completamente el polinomio $P(x) = 3x^3 - 12x$.
Factoriza completamente el polinomio de cuarto grado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$. A partir de su forma factorizada, indica todas sus raíces reales.
Factoriza completamente el polinomio de cuarto grado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$. A partir de su forma factorizada, indica todas sus raíces reales.
Potencias de un binomio
Los coeficientes de $(a+b)^n$ forman el triángulo de Tartaglia (o de Pascal). Cada número es la suma de los dos que tiene encima:
| $n$ | Coeficientes |
|---|---|
| 1 | 1 1 |
| 2 | 1 2 1 |
| 3 | 1 3 3 1 |
| 4 | 1 4 6 4 1 |
| 5 | 1 5 10 10 5 1 |
| 6 | 1 6 15 20 15 6 1 |
La fórmula general es
$$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k,\qquad \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}.$$El término de lugar $k+1$ es $T_{k+1}=\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$. Los exponentes de $a$ bajan y los de $b$ suben, y su suma siempre es $n$. Por ejemplo, $\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}$.
Desarrolla completamente la potencia del binomio $(2x - y)^4$ utilizando la fórmula del Binomio de Newton o el triángulo de Tartaglia.
Desarrolla completamente la potencia del binomio $(2x - y)^4$ utilizando la fórmula del Binomio de Newton o el triángulo de Tartaglia.
En un estudio de combinaciones genéticas, la distribución de cierta probabilidad está relacionada con el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^6$.…
En un estudio de combinaciones genéticas, la distribución de cierta probabilidad está relacionada con el desarrollo del binomio $\left(x^2 - \frac{1}{x}\right)^6$. Encuentra el valor numérico exacto del término independiente (el término que no depende de $x$) en este desarrollo.
En el desarrollo del binomio $(x + 2)^n$, se sabe que el coeficiente del término que contiene $x^{n-2}$ es exactamente $180$. Plantea la ecuación correspondiente…
En el desarrollo del binomio $(x + 2)^n$, se sabe que el coeficiente del término que contiene $x^{n-2}$ es exactamente $180$. Plantea la ecuación correspondiente utilizando la fórmula del Binomio de Newton, halla el valor del número natural $n$ y calcula el término independiente de dicho desarrollo.