Sistemas de inecuaciones
Wilkin tiene $\text{RD}\$600$ para comprar refrescos de $\text{RD}\$60$ y jugos de $\text{RD}\$40$ para la fiesta del liceo. ¿Qué combinaciones de refrescos y jugos puede comprar sin pasarse del presupuesto? Una sola desigualdad con dos incógnitas ya no se resuelve con un intervalo: su solución es una región del plano. Y si además hay otras condiciones, como el espacio en la nevera, cada una recorta esa región. En esta página aprenderás a resolver sistemas de inecuaciones, primero con una variable y luego con dos.
Sistemas con una variable: intersección de intervalos
Un sistema de inecuaciones pide que se cumplan todas a la vez. Con una incógnita, resuelves cada inecuación por separado (también las cuadráticas, con raíces y signos por tramos) y te quedas con la intersección de las soluciones.
Una inecuación con dos incógnitas es una región
Dado el sistema de inecuaciones lineales $x + y < 5$ y $2x - y \ge 0$, determina cuáles de los siguientes puntos son solución del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$,…
Dado el sistema de inecuaciones lineales $x + y < 5$ y $2x - y \ge 0$, determina cuáles de los siguientes puntos son solución del sistema: $A(2, 1)$, $B(0, 0)$, $C(3, 3)$ y $D(4, 0)$.
Comprueba de forma analítica si el punto $P(1, 2)$ pertenece a la región definida por el sistema de inecuaciones: $2x + y \le 5$, $x - 3y \ge -6$ y $3x + 2y \ge 1$.
Comprueba de forma analítica si el punto $P(1, 2)$ pertenece a la región definida por el sistema de inecuaciones: $2x + y \le 5$, $x - 3y \ge -6$ y $3x + 2y \ge 1$.
Representar la región: recta frontera y semiplano
Para dibujar la solución:
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Traza la recta frontera como si fuera una igualdad (dos puntos bastan).
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Hazla continua si la desigualdad incluye el igual y discontinua si es estricta.
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Elige un punto de prueba que no esté en la recta y sombrea el lado que lo contiene si cumple la inecuación (y el otro lado si no la cumple).
La figura muestra $2x - y < 4$: el origen cumple $0 < 4$, así que se sombrea su lado, el de arriba a la izquierda de la recta. La recta va discontinua.
Representa gráficamente la inecuación $2x - 3y \le 6$. A continuación, indica dos puntos cuyas coordenadas pertenezcan a la región solución y dos puntos que no…
Representa gráficamente la inecuación $2x - 3y \le 6$. A continuación, indica dos puntos cuyas coordenadas pertenezcan a la región solución y dos puntos que no pertenezcan.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
A partir de la región sombreada en la figura, determina la inecuación lineal con dos incógnitas que la define. Ten en cuenta que la recta límite pasa por los puntos…
A partir de la región sombreada en la figura, determina la inecuación lineal con dos incógnitas que la define. Ten en cuenta que la recta límite pasa por los puntos $(0, 2)$ y $(3, 0)$ y que la región incluye el origen de coordenadas.
Representa la región del plano que cumple simultáneamente las siguientes restricciones: $3x + y \ge 6$, $x \le 4$ e $y \le 3$.
Representa la región del plano que cumple simultáneamente las siguientes restricciones: $3x + y \ge 6$, $x \le 4$ e $y \le 3$.
Sistemas: región factible y vértices
Representa gráficamente el sistema formado por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$ y $x - y \le 1$, sombreando de forma clara la región factible resultante. Puedes hacerlo…
Representa gráficamente el sistema formado por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$ y $x - y \le 1$, sombreando de forma clara la región factible resultante.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Halla algebraicamente las coordenadas de los vértices de la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $x \ge 0$, $y \ge 0$ y $x + y \le 4$.
Halla algebraicamente las coordenadas de los vértices de la región factible definida por el siguiente sistema de inecuaciones: $x \ge 0$, $y \ge 0$ y $x + y \le 4$.
Representa gráficamente el sistema de inecuaciones $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} \le 1$, $x - \frac{y}{2} \ge -1$ e $y \ge 0$. Calcula las coordenadas exactas de los…
Representa gráficamente el sistema de inecuaciones $\frac{x}{2} + \frac{y}{3} \le 1$, $x - \frac{y}{2} \ge -1$ e $y \ge 0$. Calcula las coordenadas exactas de los vértices de la región resultante.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Regiones limitadas por una parábola
Los sistemas también pueden mezclar una recta y una parábola. El método es el mismo: cada inecuación es una región, y la solución es la parte común. Los puntos donde se cortan las fronteras se hallan resolviendo la ecuación que resulta al igualar.
Problemas: plantear el sistema desde un enunciado
Cuando hay recursos limitados (horas, libras, presupuesto, espacio), cada recurso da una inecuación. Los pasos son:
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Elige qué representan $x$ e $y$.
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Escribe una inecuación por cada limitación.
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Añade $x\ge0$, $y\ge0$ si son cantidades (no pueden ser negativas).
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Dibuja la región y calcula los vértices.
Una pastelería elabora dos tipos de tartas, T1 y T2. La tarta T1 requiere $2$ horas de preparación y $1$ hora de horneado, mientras que la tarta T2 requiere $1$ hora de…
Una pastelería elabora dos tipos de tartas, T1 y T2. La tarta T1 requiere $2$ horas de preparación y $1$ hora de horneado, mientras que la tarta T2 requiere $1$ hora de preparación y $2$ horas de horneado. Se dispone de un máximo de $10$ horas de preparación y $8$ horas de horneado al día. Plantea el sistema de inecuaciones que modeliza esta situación (considerando que las cantidades no pueden ser negativas) y representa gráficamente la región de posibles producciones diarias.
Puedes hacerlo en papel y enviar una foto con tu respuesta.
Para transportar $60$ toneladas de mercancía, una empresa de logística cuenta con camiones grandes con capacidad para $8$ toneladas y camiones pequeños con capacidad…
Para transportar $60$ toneladas de mercancía, una empresa de logística cuenta con camiones grandes con capacidad para $8$ toneladas y camiones pequeños con capacidad para $5$ toneladas. Por restricciones de personal, no se pueden enviar más de $10$ vehículos en total. Plantea el sistema de inecuaciones que determina el número de camiones de cada tipo que se pueden utilizar y halla analíticamente los vértices de la región solución.
Un entrenador personal planifica una rutina con ejercicios de fuerza ($x$) y ejercicios de cardio ($y$). El tiempo total de entrenamiento debe estar entre $40$ y $60$…
Un entrenador personal planifica una rutina con ejercicios de fuerza ($x$) y ejercicios de cardio ($y$). El tiempo total de entrenamiento debe estar entre $40$ y $60$ minutos. Cada ejercicio de fuerza dura $5$ minutos y cada uno de cardio $10$ minutos. Además, el número de ejercicios de fuerza debe ser al menos igual al número de ejercicios de cardio. Plantea el sistema de inecuaciones y represéntalo gráficamente.
Máximos y mínimos sobre la región factible
Muchas veces no basta con dibujar la región: hay que saber cuál es el mayor o el menor valor de una expresión como $x+y$ o $60x+40y$ entre todos los puntos posibles. Cuando la región es un polígono cerrado, ese máximo y ese mínimo se alcanzan siempre en un vértice. Por eso basta calcular los vértices y evaluar la expresión en cada uno.
¿Por qué? Una expresión lineal cambia de forma pareja al moverte en línea recta, así que crece (o decrece) hasta el final del tramo; el final de cada tramo es un vértice.
Otra situación frecuente es fijar una de las variables. Entonces sustituyes su valor en todas las inecuaciones y obtienes un intervalo para la otra.
Una empresa de alquiler de vehículos dispone de carros y furgonetas. El mantenimiento diario de un carro cuesta $600$ pesos y el de una furgoneta $1\,200$ pesos. El…
Una empresa de alquiler de vehículos dispone de carros y furgonetas. El mantenimiento diario de un carro cuesta $600$ pesos y el de una furgoneta $1\,200$ pesos. El presupuesto diario para mantenimiento no supera los $18\,000$ pesos. El parqueo tiene capacidad máxima para $20$ vehículos. Determina la región factible y halla el número máximo de furgonetas que pueden mantenerse si se tienen exactamente $5$ carros.
Un agricultor dispone de $50$ hectáreas para plantar trigo y cebada. La semilla de trigo cuesta $1\,200$ pesos por hectárea y la de cebada $1\,800$ pesos por hectárea.…
Un agricultor dispone de $50$ hectáreas para plantar trigo y cebada. La semilla de trigo cuesta $1\,200$ pesos por hectárea y la de cebada $1\,800$ pesos por hectárea. El presupuesto máximo para semillas es de $72\,000$ pesos. Además, por normativas ambientales, la superficie de cebada no puede superar el doble de la superficie de trigo. Escribe el sistema de inecuaciones asociado y halla los vértices de la región factible.
Una refinería produce dos tipos de aleaciones, A y B. Para la aleación A se necesitan $3$ kg de cobre, $1$ kg de zinc y $2$ kg de estaño por unidad. Para la aleación B,…
Una refinería produce dos tipos de aleaciones, A y B. Para la aleación A se necesitan $3$ kg de cobre, $1$ kg de zinc y $2$ kg de estaño por unidad. Para la aleación B, $1$ kg de cobre, $2$ kg de zinc y $3$ kg de estaño. Se dispone en el almacén de un máximo de $300$ kg de cobre, $200$ kg de zinc y $240$ kg de estaño. Plantea el sistema de inecuaciones que describe las posibles producciones de ambas aleaciones, representa la región factible y calcula las coordenadas de todos sus vértices.
De la región al sistema, áreas y casos especiales
De la región al sistema. Si te dan una región poligonal, escribe la ecuación de la recta que pasa por cada par de vértices consecutivos. Después, con un punto interior (por ejemplo, el centro de la región), decide el sentido de cada desigualdad.
Casos especiales:
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Dos rectas paralelas con desigualdades de sentidos opuestos pueden dejar una franja entre ellas (como $2\le x+y\le5$) o un conjunto vacío (como $x+y\le2$ y $x+y\ge5$).
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Si una condición es una igualdad (como en un problema "exactamente"), la solución es un segmento.
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Con un parámetro, como $y\ge k$, la recta se mueve y el número de vértices cambia: mueve la recta mentalmente y observa cuándo toca un vértice, cuándo corta dos lados y cuándo deja la región vacía.
¿Región acotada? Una región es acotada cuando queda encerrada por todos lados, de modo que cabe dentro de un rectángulo. Algunas regiones no lo están y se extienden sin límite en alguna dirección. Para comprobar que una región es acotada, calcula sus vértices y verifica que forman un polígono cerrado: cada vértice cumple todas las inecuaciones y cada recta frontera aporta un lado entre dos vértices.
Representa el conjunto de soluciones del sistema formado por las inecuaciones $x + y \ge 2$ y $x + y \le 5$. Describe qué tipo de región geométrica se obtiene.
Representa el conjunto de soluciones del sistema formado por las inecuaciones $x + y \ge 2$ y $x + y \le 5$. Describe qué tipo de región geométrica se obtiene.
La figura muestra una región poligonal en el plano cartesiano que representa las combinaciones viables de producción de dos componentes electrónicos. Determina el…
La figura muestra una región poligonal en el plano cartesiano que representa las combinaciones viables de producción de dos componentes electrónicos. Determina el sistema de inecuaciones que define dicha región, sabiendo que sus vértices son $A(1, 1)$, $B(5, 1)$, $C(4, 4)$ y $D(2, 3)$.
Considera la región del plano definida por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ y $x - y \ge -2$. Demuestra algebraicamente que se trata de una región acotada…
Considera la región del plano definida por las inecuaciones $x + 2y \ge 4$, $3x - y \le 6$ y $x - y \ge -2$. Demuestra algebraicamente que se trata de una región acotada y determina las coordenadas de los vértices que posee esta región.
Resumen
Vuelve al principio: la región de Wilkin es el polígono limitado por $60x+40y\le600$ y el espacio de la nevera. Cada punto con coordenadas enteras dentro de ella es una compra posible.