Métodos de resolución de sistemas
Dos amigas, Yaritza y Wilkin, pagan en un colmado: entre las dos llevan 5 refrescos y 3 funditas de pan, y sus cuentas no coinciden. Para averiguar el precio de cada cosa necesitas un sistema de ecuaciones. En este apartado repasas qué método usar según cómo sea el sistema. Después verás algunos casos más complicados: segundo grado, exponentes, logaritmos, raíces o tres incógnitas.
Repaso: sustitución, igualación y reducción
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de reducción: $3x - 2y = 7$ $5x + 4y = 8$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de reducción:
$3x - 2y = 7$
$5x + 4y = 8$
Un agricultor ha recolectado $500$ kg de fruta entre manzanas y peras. Sabiendo que el triple de los kilos de manzanas equivale exactamente al doble de los kilos de…
Un agricultor ha recolectado $500$ kg de fruta entre manzanas y peras. Sabiendo que el triple de los kilos de manzanas equivale exactamente al doble de los kilos de peras, plantea y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para determinar cuántos kilos de cada fruta ha recolectado.
Elegir el método según la forma del sistema
No hay un método «mejor»: hay uno más cómodo para cada sistema. Si una incógnita ya está casi despejada, sustitución. Si las dos ecuaciones tienen la misma incógnita despejable, igualación. Si los coeficientes se parecen, reducción.
Con sistemas no lineales la sustitución suele ser la mejor: despejas en la ecuación lineal y sustituyes en la de segundo grado.
También puedes sumar o restar ecuaciones cuando solo aparecen $x^2$ e $y^2$. Por ejemplo, en $\begin{cases} x^2+y^2=13 \\ x^2-y^2=5 \end{cases}$, al sumar queda $2x^2=18$, o sea $x=\pm3$, y luego $y=\pm2$: hay cuatro soluciones.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales empleando el método de sustitución: $x - y = 2$ $x^2 + y^2 = 10$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales empleando el método de sustitución:
$x - y = 2$
$x^2 + y^2 = 10$
Encuentra todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones no lineales, en el que ambas ecuaciones son de segundo grado: $x^2 + y^2 - 4x = 5$…
Encuentra todas las soluciones del siguiente sistema de ecuaciones no lineales, en el que ambas ecuaciones son de segundo grado:
$x^2 + y^2 - 4x = 5$
$x^2 - y^2 - 4x = -3$
El perímetro de una parcela rectangular mide $140$ m y la longitud de su diagonal es de $50$ m. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales que describa la situación y…
El perímetro de una parcela rectangular mide $140$ m y la longitud de su diagonal es de $50$ m. Plantea un sistema de ecuaciones no lineales que describa la situación y resuélvelo para determinar las dimensiones de la parcela.
Sistemas simétricos: suma y producto
Cuando el sistema es simétrico (si cambias $x$ por $y$ no cambia), conviene usar $S=x+y$ y $P=xy$. La clave es esta identidad: $x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=S^2-2P$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales simétrico. Para facilitar la resolución, utiliza el cambio de variables $S = x + y$ y $P = x \times y$:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineales simétrico. Para facilitar la resolución, utiliza el cambio de variables $S = x + y$ y $P = x \times y$:
$x^2 + y^2 = 34$
$x \times y = 15$
Determina analíticamente los puntos de intersección entre la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 25$ y la hipérbola equilátera de ecuación $x \times y = 12$. Plantea…
Determina analíticamente los puntos de intersección entre la circunferencia de ecuación $x^2 + y^2 = 25$ y la hipérbola equilátera de ecuación $x \times y = 12$. Plantea el sistema no lineal asociado, resuélvelo detallando los pasos y explica cuántas soluciones reales existen.
Igualar bases y usar la definición de logaritmo
Si una incógnita está en un exponente, escribe ambos miembros como potencias de la misma base e iguala los exponentes. Si está dentro de un logaritmo, usa la definición: $\log_a M=c \Leftrightarrow M=a^c$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales expresando ambos miembros de cada ecuación como potencias de la misma base: $2^{x+y} = 32$ $3^{x-y} = 9$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales expresando ambos miembros de cada ecuación como potencias de la misma base:
$2^{x+y} = 32$
$3^{x-y} = 9$
Aplica la definición de logaritmo para plantear un sistema lineal equivalente y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones: $\log_2(x + y) = 3$ $x - 2y = 2$
Aplica la definición de logaritmo para plantear un sistema lineal equivalente y resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:
$\log_2(x + y) = 3$
$x - 2y = 2$
Cambio de variable y propiedades de los logaritmos
Cuando hay varios logaritmos, aplica antes sus propiedades: $\log a+\log b=\log(ab)$, $\log a-\log b=\log\dfrac{a}{b}$, $\log a^n=n\log a$.
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales efectuando los cambios de variable $u = 3^x$ y $v = 2^y$: $3^x + 2^{y+1} = 17$ $3^{x-1} - 2^y = 1$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones exponenciales efectuando los cambios de variable $u = 3^x$ y $v = 2^y$:
$3^x + 2^{y+1} = 17$
$3^{x-1} - 2^y = 1$
Halla el valor de $x$ e $y$ en el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas, aplicando previamente las propiedades de los logaritmos para simplificar las expresiones:…
Halla el valor de $x$ e $y$ en el siguiente sistema de ecuaciones logarítmicas, aplicando previamente las propiedades de los logaritmos para simplificar las expresiones:
$\log(x) + \log(y) = 2$
$\log(x^2) - \log(y) = 1$
Resuelve el siguiente sistema mixto que combina una ecuación exponencial y una ecuación logarítmica: $2^x \times 4^y = 256$ $\log_3(x) + \log_3(y) = \log_3(6)$
Resuelve el siguiente sistema mixto que combina una ecuación exponencial y una ecuación logarítmica:
$2^x \times 4^y = 256$
$\log_3(x) + \log_3(y) = \log_3(6)$
Radicales y fracciones algebraicas
Si cada incógnita aparece solo en denominadores, llama $u=\dfrac1x$, $v=\dfrac1y$: el sistema vuelve a ser lineal. Antes, anota las restricciones: $x\neq0$, $y\neq0$.
Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones que involucra expresiones con radicales: $\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$ $x - y = 5$
Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones que involucra expresiones con radicales:
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 5$
$x - y = 5$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones que contiene fracciones algebraicas, indicando claramente las restricciones previas sobre las incógnitas:…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones que contiene fracciones algebraicas, indicando claramente las restricciones previas sobre las incógnitas:
$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 2$
$\frac{4}{x} - \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$
Tres incógnitas: el método de Gauss
Con tres ecuaciones y tres incógnitas, sustituir o igualar se vuelve lento. Lo ordenado es aplicar reducción para eliminar incógnitas una a una hasta llegar a un sistema escalonado, que se resuelve de abajo hacia arriba. Eso es el método de Gauss.
Las transformaciones permitidas (no cambian las soluciones): intercambiar dos ecuaciones, multiplicar una por un número distinto de cero, y sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
Halla el valor de las incógnitas $x$, $y$, $z$ en el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra en forma escalonada: $2x - y + 3z = 14$ $3y - z = 5$…
Halla el valor de las incógnitas $x$, $y$, $z$ en el siguiente sistema de ecuaciones lineales, que ya se encuentra en forma escalonada:
$2x - y + 3z = 14$
$3y - z = 5$
$2z = 8$
Aplica el método de Gauss para transformar y resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas: $x + y + z = 6$ $x - y + 2z = 5$…
Aplica el método de Gauss para transformar y resolver el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas:
$x + y + z = 6$
$x - y + 2z = 5$
$x + y - z = 0$
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss e indica si es un sistema compatible determinado: $2x - y + 3z = 1$ $x + 2y - z = 4$…
Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de Gauss e indica si es un sistema compatible determinado:
$2x - y + 3z = 1$
$x + 2y - z = 4$
$4x - y + z = 2$
Qué puede pasar al escalonar: tipos de sistema
Al escalonar pueden pasar tres cosas:
| Resultado al escalonar | Tipo de sistema |
|---|---|
| Queda una ecuación con cada incógnita despejable | Compatible determinado (una solución) |
| Aparece $0=0$ | Compatible indeterminado (infinitas soluciones, con parámetro $\lambda$) |
| Aparece $0=k$ con $k\neq0$ | Incompatible (sin solución) |
Con un parámetro en un sistema 2×2 se discute igual: si al eliminar una incógnita el coeficiente se anula, mira si queda $0=0$ (infinitas soluciones) o $0=k$ (ninguna). En $\begin{cases} x+3y=4 \\ 2x+ky=8 \end{cases}$, restando $2E_1$ a $E_2$ queda $(k-6)y=0$; si $k=6$ hay infinitas soluciones, con $y=\lambda$ y $x=4-3\lambda$. Si $k\neq6$, $y=0$ y $x=4$.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$: $x + 2y = 5$ $3x + ky = 15$ Halla el valor de $k$ para el cual el sistema tiene…
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$:
$x + 2y = 5$
$3x + ky = 15$
Halla el valor de $k$ para el cual el sistema tiene infinitas soluciones y expresa la solución general en función de un parámetro real $\lambda$.
Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante el método de Gauss. Comprueba que se trata de un sistema compatible indeterminado y expresa…
Resuelve el siguiente sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas mediante el método de Gauss. Comprueba que se trata de un sistema compatible indeterminado y expresa su conjunto de soluciones en función de un parámetro $\lambda$:
$x - 2y + z = 3$
$2x + y - 3z = 1$
$4x - 3y - z = 7$
Analiza el siguiente sistema de ecuaciones lineales y demuestra, utilizando las transformaciones del método de Gauss, que es un sistema incompatible: $x + y + z = 4$…
Analiza el siguiente sistema de ecuaciones lineales y demuestra, utilizando las transformaciones del método de Gauss, que es un sistema incompatible:
$x + y + z = 4$
$2x - y + 3z = 5$
$3x + 4z = 10$
Problemas que se resuelven con sistemas
Para plantear: (1) nombra las incógnitas, (2) traduce cada frase del texto a una ecuación, (3) resuelve, (4) comprueba en el enunciado.
En problemas de movimiento, si dos ciclistas van uno hacia el otro, las distancias suman la separación inicial: $d_A+d_B=D$, con $d=v\,t$.
En un laboratorio químico se desea obtener $100$ litros de una disolución de ácido al $30\%$. Para ello se van a mezclar dos disoluciones disponibles en el almacén: una…
En un laboratorio químico se desea obtener $100$ litros de una disolución de ácido al $30\%$. Para ello se van a mezclar dos disoluciones disponibles en el almacén: una al $20\%$ de concentración y otra al $45\%$. Plantea y resuelve un sistema de ecuaciones lineales para calcular cuántos litros de cada disolución se deben emplear.
Una empresa tecnológica ensambla tres tipos de drones: A, B y C. En total fabrican $60$ drones al mes. El número de drones del tipo A es el doble que los del tipo C, y…
Una empresa tecnológica ensambla tres tipos de drones: A, B y C. En total fabrican $60$ drones al mes. El número de drones del tipo A es el doble que los del tipo C, y la suma de los drones tipo B y C supera en $12$ a los del tipo A. Plantea un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas y resuélvelo mediante el método de Gauss.
Dos ciclistas parten simultáneamente desde dos ciudades A y B, separadas por una distancia de $120$ km, y circulan en sentidos opuestos para encontrarse. El ciclista que…
Dos ciclistas parten simultáneamente desde dos ciudades A y B, separadas por una distancia de $120$ km, y circulan en sentidos opuestos para encontrarse. El ciclista que parte de A viaja a una velocidad constante que supera en $5$ km/h a la del ciclista que parte de B. Sabiendo que se cruzan exactamente al cabo de $3$ horas, plantea un sistema de ecuaciones para hallar la velocidad de cada uno y la distancia que ha recorrido cada ciclista hasta el punto de encuentro.
Vuelve al principio: con el precio del refresco $x$ y el de la fundita $y$, cada cuenta de Yaritza y Wilkin es una ecuación, y cualquiera de los métodos de esta página da los dos precios.