Inecuaciones con raíces cuadradas
Tras un derrape en la Autopista Duarte, la policía de tránsito estima la velocidad del carro con la fórmula $v = 10\sqrt{d}$, donde $d$ es la longitud de las marcas de frenado en metros. Si el límite es de 120 km/h, ¿cuánto tiene que medir el derrape para saber que el conductor iba más rápido? Para responder necesitas resolver una inecuación con una raíz. Una raíz cuadrada real solo existe si lo de dentro no es negativo, y esa idea es la clave de todo el apartado.
El dominio primero
A veces hay varias condiciones a la vez, por ejemplo con raíces anidadas.
También hay denominadores: en $\dfrac{1}{\sqrt{P(x)}}$ el radicando debe ser estrictamente positivo, porque la raíz no puede valer 0 en un denominador. Y en general, $\sqrt{P(x)}>0$ equivale a $P(x)>0$.
Determina el dominio de la función real de variable real $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}}$.
Determina el dominio de la función real de variable real $f(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 25}}$.
Determina el dominio de la función real $f(x) = \sqrt{5 - \sqrt{x - 2}}$.
Determina el dominio de la función real $f(x) = \sqrt{5 - \sqrt{x - 2}}$.
Raíz menor que un número
Resuelve la inecuación $\sqrt{x - 2} < 5$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x - 2} < 5$. Expresa la solución en forma de intervalo.
Encuentra la solución de la inecuación $\sqrt{5 - 2x} \le 4$.
Encuentra la solución de la inecuación $\sqrt{5 - 2x} \le 4$.
Analiza y resuelve la inecuación $\sqrt{2x - 7} < -3$. Justifica tu respuesta.
Analiza y resuelve la inecuación $\sqrt{2x - 7} < -3$. Justifica tu respuesta.
Raíz mayor que un número
Si la raíz no está sola, primero la aíslas. Por ejemplo, $4-\sqrt{x+1}\leq 1$ pasa a $\sqrt{x+1}\geq 3$, que da $x+1\geq 9$, es decir $x\geq 8$ (y esto ya cumple el dominio $x\geq -1$).
Un sistema se resuelve intersecando las soluciones. Para $\sqrt{x}\geq 2$ y $\sqrt{x}<5$: la primera da $x\geq 4$, la segunda da $0\leq x<25$, y la solución común es $[4, 25)$.
Determina el conjunto de soluciones de la inecuación $\sqrt{3x + 6} \ge 3$.
Determina el conjunto de soluciones de la inecuación $\sqrt{3x + 6} \ge 3$.
Halla los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad $4 - \sqrt{x + 1} \le 1$.
Halla los valores de $x$ que satisfacen la desigualdad $4 - \sqrt{x + 1} \le 1$.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 16} > 0$.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 16} > 0$.
Raíz frente a una expresión con $x$
Cuando la inecuación es $\sqrt{P(x)}\lessgtr g(x)$ y $g(x)$ lleva $x$, el signo de $g(x)$ cambia según el valor de $x$. Hay que separar casos.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. Ten en cuenta las restricciones del dominio del radicando.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x^2 - 4x + 3} \le x - 1$. Ten en cuenta las restricciones del dominio del radicando.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x + 6} > x$. Presta especial atención a los casos en los que el segundo miembro pueda ser negativo.
Resuelve la inecuación $\sqrt{x + 6} > x$. Presta especial atención a los casos en los que el segundo miembro pueda ser negativo.
Dadas las funciones $f(x) = \sqrt{2x + 4}$ y $g(x) = x - 2$, resuelve algebraicamente la inecuación $f(x) > g(x)$ y corrobora tu resultado observando la representación…
Dadas las funciones $f(x) = \sqrt{2x + 4}$ y $g(x) = x - 2$, resuelve algebraicamente la inecuación $f(x) > g(x)$ y corrobora tu resultado observando la representación gráfica adjunta.
Radicando de segundo grado y parámetros
Muchas veces el radicando es una cuadrática. Entonces el dominio sale de una inecuación de segundo grado: se hallan las raíces y se estudia el signo por tramos.
Cuando hay un sistema con una raíz y una cuadrática, resuelves cada inecuación por separado y las intersecas. Por ejemplo, $\sqrt{3x+1}\leq 4$ da $-\tfrac{1}{3}\leq x\leq 5$, y $x^2-2x-3>0$ da $x<-1$ o $x>3$. La solución común es $(3, 5]$.
Con un parámetro $m$: $\sqrt{x^2-mx+9}>0$ equivale a $x^2-mx+9>0$. Para que se cumpla para todo $x$ real, la parábola no debe cortar el eje $x$: discriminante negativo, $m^2-36<0$, es decir $-6 Para una raíz como $\sqrt{x^2+4x+8}$, el discriminante es $16-32<0$, así que el radicando es siempre positivo y el dominio es todo $\mathbb{R}$. Halla el conjunto de soluciones que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de inecuaciones: $\sqrt{3x + 1} \le 4$ $x^2 - 2x - 3 > 0$ Resuelve la inecuación $\sqrt{2x^2 - 5x + 2} \ge x - 2$. Determina los valores del parámetro $m$ para los cuales la inecuación $\sqrt{x^2 - mx + 9} > 0$ se satisface para cualquier número real $x$.Halla el conjunto de soluciones que satisfacen simultáneamente el siguiente sistema de inecuaciones: $\sqrt{3x + 1} \le 4$ $x^2 - 2x - 3 > 0$
Resuelve la inecuación $\sqrt{2x^2 - 5x + 2} \ge x - 2$.
Determina los valores del parámetro $m$ para los cuales la inecuación $\sqrt{x^2 - mx + 9} > 0$ se satisface para cualquier número real $x$.
Problemas con raíces
Muchas magnitudes se expresan con raíces: el periodo de un péndulo, una distancia, la velocidad por el derrape. El método es siempre el mismo: traduce el enunciado a una inecuación, halla el dominio, resuelve y comprueba que la solución tenga sentido físico.
Para la distancia al origen del punto $(x, 3)$, la distancia es $\sqrt{x^2+9}$. La condición «menor que 5» es $\sqrt{x^2+9}<5$, que da $x^2<16$, o sea $(-4, 4)$.
Un dron de vigilancia está programado para mantenerse a una distancia estrictamente menor de $5$ km de una base situada en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si la…
Un dron de vigilancia está programado para mantenerse a una distancia estrictamente menor de $5$ km de una base situada en el origen de coordenadas $(0,0)$. Si la trayectoria del dron viene dada por los puntos de la forma $(x, 3)$, plantea y resuelve la inecuación con raíces que determina los valores de $x$ permitidos para la trayectoria.
El tiempo de producción $T$ en horas para fabricar $x$ lotes de un componente electrónico sigue el modelo $T(x) = 3\sqrt{2x + 1} + 2$. Si el turno de trabajo máximo…
El tiempo de producción $T$ en horas para fabricar $x$ lotes de un componente electrónico sigue el modelo $T(x) = 3\sqrt{2x + 1} + 2$. Si el turno de trabajo máximo diario es de $14$ horas, ¿cuántos lotes completos se pueden producir como máximo respetando el límite de tiempo?
La velocidad $v$ (en km/h) de un vehículo antes de frenar bruscamente se puede estimar mediante la fórmula empírica $v = 10\sqrt{d}$, donde $d$ es la longitud de las…
La velocidad $v$ (en km/h) de un vehículo antes de frenar bruscamente se puede estimar mediante la fórmula empírica $v = 10\sqrt{d}$, donde $d$ es la longitud de las marcas de derrape en metros. Si en un tramo de autovía el límite de velocidad es de $120\text{ km/h}$, plantea una inecuación y determina qué longitudes de derrape indican que el conductor superaba el límite de velocidad.
Retos con modelos
Aquí combinas todo: aislar la raíz, comprobar el dominio y estudiar el signo.
Cuando hay una raíz y un término lineal (como en $2\sqrt{x^2+16}+(8-x)\leq 16$), aísla primero la raíz, $2\sqrt{x^2+16}\leq 8+x$, y comprueba el signo del lado derecho: para $x\geq 0$ es positivo, así que puedes elevar al cuadrado, $4x^2+64\leq x^2+16x+64$, de donde $3x^2-16x\leq 0$ y $0\leq x\leq \tfrac{16}{3}$.
El diseño de un panel solar rectangular exige que su base mida $2$ metros fijos y que su diagonal $d$ cumpla la relación $d = \sqrt{x^2 + 4x + 8}$ metros, donde $x$ es…
El diseño de un panel solar rectangular exige que su base mida $2$ metros fijos y que su diagonal $d$ cumpla la relación $d = \sqrt{x^2 + 4x + 8}$ metros, donde $x$ es un parámetro de ajuste estructural. Halla los valores de $x$ que garantizan que la altura del panel sea de al menos $2$ metros.
Una antena de telecomunicaciones tiene un radio de cobertura eficaz de $10\text{ km}$. Un vehículo viaja por una carretera recta y su distancia a la antena en kilómetros…
Una antena de telecomunicaciones tiene un radio de cobertura eficaz de $10\text{ km}$. Un vehículo viaja por una carretera recta y su distancia a la antena en kilómetros en el instante $t$ (en minutos) viene dada por la función $d(t) = \sqrt{t^2 - 12t + 52}$. Determina el intervalo de tiempo durante el cual el vehículo dispone de cobertura.
Para conectar una estación base a un repetidor, se debe tender un cable de fibra óptica. El costo de tender el cable por un terreno rocoso es proporcional a la distancia…
Para conectar una estación base a un repetidor, se debe tender un cable de fibra óptica. El costo de tender el cable por un terreno rocoso es proporcional a la distancia en línea recta $\sqrt{x^2 + 16}$, y el costo por terreno llano es proporcional a la distancia restante $(8 - x)$. El modelo de costo total simplificado viene dado por $C(x) = 2\sqrt{x^2 + 16} + (8 - x)$. ¿Para qué valores de $x \ge 0$ el costo total cumple la restricción presupuestaria $C(x) \le 16$?
Vuelve al principio: el derrape que delata exceso de velocidad es el que supera los 144 m.