Integral indefinida. Antiderivadas e integrales inmediatas
Wilkin va en una guagua por la Autopista Duarte y su celular registra la velocidad en cada instante. Con esos datos quiere saber cuánto ha recorrido. Hasta ahora siempre ibas de una función $f$ a su derivada $f'$. Aquí el problema es el contrario: conoces $f'$ y tienes que recuperar $f$. Es la misma tabla de derivadas, pero leída en sentido inverso.
Derivar al revés: qué es una antiderivada
Si $s(t)$ es la posición de la guagua y $v(t)=s'(t)$ su velocidad, recuperar $s(t)$ a partir de $v(t)$ es justamente este problema. Integrar es la operación opuesta a derivar.
En la gráfica, la parábola $x^2$ baja mientras $2x$ es negativa y sube cuando $2x$ es positiva. La recta $2x$ es la derivada de la parábola.
Determina si la función $F(x) = x \times e^x$ es una primitiva de la función $f(x) = (x+1)e^x$. Para justificar tu respuesta, recuerda utilizar la relación fundamental…
Determina si la función $F(x) = x \times e^x$ es una primitiva de la función $f(x) = (x+1)e^x$. Para justificar tu respuesta, recuerda utilizar la relación fundamental entre una función y su primitiva mediante la derivación.
Infinitas antiderivadas: la constante $C$
Para quedarte con una antiderivada concreta basta un dato extra: el valor de $F$ en un punto (una condición inicial).
Halla la primitiva de la función $f(x) = 2x - 6$ cuya gráfica pasa por el punto $P(3, 4)$. Nota: Primero calcula la integral indefinida para obtener la familia de…
Halla la primitiva de la función $f(x) = 2x - 6$ cuya gráfica pasa por el punto $P(3, 4)$.
Nota: Primero calcula la integral indefinida para obtener la familia de funciones con la constante $C$, y luego utiliza el punto $P$ para hallar el valor específico de dicha constante.
Un skater profesional está analizando la trayectoria de su último salto en una rampa. La función que describe la variación de su altura respecto al tiempo (velocidad…
Un skater profesional está analizando la trayectoria de su último salto en una rampa. La función que describe la variación de su altura respecto al tiempo (velocidad vertical) viene dada por la expresión $v(t) = 3t^2 - 4t + 5$, cuya gráfica aparece en la figura. Halla la familia de funciones $H(t)$ que representan la altura del skater, calculando la integral indefinida:
$$\int (3t^2 - 4t + 5) \, dt$$La tabla de derivadas, leída al revés
Cada regla de derivación da, leída de derecha a izquierda, una integral inmediata. No hay una tabla nueva que memorizar.
¿Por qué la de $a^x$? Porque $(a^x)' = a^x\ln a$, así que hay que dividir entre $\ln a$ para que quede $a^x$.
En el estudio de la propagación de una noticia en una red social, se ha determinado que el ritmo de crecimiento de los "compartidos" sigue una ley potencial. Para…
En el estudio de la propagación de una noticia en una red social, se ha determinado que el ritmo de crecimiento de los "compartidos" sigue una ley potencial. Para encontrar el total acumulado, un programador debe resolver la siguiente integral de una función irracional. Calcúlala pasando primero la raíz a exponente fraccionario:
$$\int \left( \sqrt[3]{x^2} + \frac{1}{\sqrt{x}} \right) \, dx$$En el diseño de una lente para una cámara de smartphone, se requiere conocer la función de curvatura. La derivada de dicha función es $g'(x) = \frac{7}{1 + x^2} - 2^x$.…
En el diseño de una lente para una cámara de smartphone, se requiere conocer la función de curvatura. La derivada de dicha función es $g'(x) = \frac{7}{1 + x^2} - 2^x$. Obtén la expresión de la función $g(x)$ calculando su integral indefinida:
$$\int \left( \frac{7}{1+x^2} - 2^x \right) \, dx$$Calcula la familia de funciones primitivas de la siguiente función, simplificando el resultado eliminando los exponentes negativos y utilizando radicales:…
Calcula la familia de funciones primitivas de la siguiente función, simplificando el resultado eliminando los exponentes negativos y utilizando radicales:
$f(x) = \dfrac{3}{x^4} - \dfrac{2}{\sqrt[3]{x^2}} + \dfrac{1}{5x}$
Linealidad: sumas, constantes y fracciones
Cuando el integrando es una fracción, no hay regla para el cociente. Prepárala:
-
Si el denominador es un monomio, separa en una suma de fracciones.
-
Si el denominador es un polinomio y el grado del numerador es mayor o igual, haz la división.
Calcula la integral indefinida de la siguiente combinación de funciones trigonométricas y constantes, aplicando las propiedades de linealidad (sacar constantes y separar…
Calcula la integral indefinida de la siguiente combinación de funciones trigonométricas y constantes, aplicando las propiedades de linealidad (sacar constantes y separar sumas):
$$\int (4 \sin x - 5 \cos x + 3) \, dx$$Halla todas las primitivas de la función $f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 5}{x^2}$.
Halla todas las primitivas de la función $f(x) = \frac{x^4 - 2x^2 + 5}{x^2}$.
Calcula la primitiva de la función $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 1}{x-2}$ cuya gráfica pasa por el punto $P(3, 5)$. Nota: Realiza primero la división de los polinomios.
Calcula la primitiva de la función $f(x) = \dfrac{x^2 - 4x + 1}{x-2}$ cuya gráfica pasa por el punto $P(3, 5)$.
Nota: Realiza primero la división de los polinomios.
Funciones del tipo $f(ax+b)$
Si la tabla dice $\int \cos x\,dx=\operatorname{sen}x+C$, ¿qué pasa con $\int\cos(5x)\,dx$? Prueba con $\operatorname{sen}(5x)$: su derivada es $5\cos(5x)$, un 5 de más. Hay que dividir entre 5.
Ejemplos de uso:
| Integral | Resultado |
|---|---|
| $\int e^{3x-1}dx$ | $\frac{1}{3}e^{3x-1}+C$ |
| $\int \cos(5x)\,dx$ | $\frac{1}{5}\operatorname{sen}(5x)+C$ |
| $\int \frac{dx}{\cos^2(3x)}$ | $\frac{1}{3}\tan(3x)+C$ |
| $\int \frac{dx}{1+4x^2}$ | $\frac{1}{2}\arctan(2x)+C$ |
| $\int 5^{2x}dx$ | $\frac{5^{2x}}{2\ln 5}+C$ |
En la penúltima, $1+4x^2 = 1+(2x)^2$, así que $a=2$. En la última se junta el $\ln 5$ de la tabla con el $2$ del argumento.
Un estudio de audición para adolescentes analiza la intensidad de una señal sonora. La función que describe la presión acústica instantánea es…
Un estudio de audición para adolescentes analiza la intensidad de una señal sonora. La función que describe la presión acústica instantánea es $p(x) = \frac{3}{x} + e^{2x}$. Halla la primitiva general de dicha función realizando la integración:
$$\int \left( \frac{3}{x} + e^{2x} \right) \, dx$$Halla la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2(3x)} + 5^{2x}$ sabiendo que $F(0) = 1$.
Halla la primitiva $F(x)$ de la función $f(x) = \dfrac{1}{\cos^2(3x)} + 5^{2x}$ sabiendo que $F(0) = 1$.
Calcula la integral indefinida de la siguiente función utilizando la descomposición por linealidad y el ajuste de la derivada del exponente:…
Calcula la integral indefinida de la siguiente función utilizando la descomposición por linealidad y el ajuste de la derivada del exponente:
$I = \displaystyle\int \left( 2x \times e^{x^2+3} - \dfrac{5}{1+4x^2} \right) \, dx$
La cadena al revés: $f(u)\cdot u'$
Es la misma idea con una función interna sencilla. Como $\big(F(u(x))\big)'=F'(u(x))\cdot u'(x)$, al leerlo al revés:
Ampliación: raíces, identidades y composiciones
Determina la integral indefinida de la siguiente función compuesta, identificando la derivada de la función interna: $I = \displaystyle\int \dfrac{\ln^2(x) + 1}{x} \, dx$
Determina la integral indefinida de la siguiente función compuesta, identificando la derivada de la función interna:
$I = \displaystyle\int \dfrac{\ln^2(x) + 1}{x} \, dx$
Dada la función $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1 + \cos(x)}}$, calcula su primitiva general. Comprueba tu resultado derivando la función obtenida.
Dada la función $f(x) = \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{1 + \cos(x)}}$, calcula su primitiva general. Comprueba tu resultado derivando la función obtenida.
Calcula la familia de primitivas de la siguiente función trigonométrica utilizando identidades fundamentales para transformar el integrando en una suma de integrales…
Calcula la familia de primitivas de la siguiente función trigonométrica utilizando identidades fundamentales para transformar el integrando en una suma de integrales inmediatas:
$$f(x) = \frac{\cos^3 x}{\sin^4 x}$$Logaritmos: cuando el numerador es la derivada del denominador
Un caso de la cadena aparece muchísimo. Si $f(u)=\frac{1}{u}$, entonces:
Si el numerador no es múltiplo exacto de la derivada del denominador, se separa en dos fracciones: una del tipo $u'/u$ y otra con un número constante en el numerador (que suele dar un arcotangente).
Halla la integral indefinida de la función $g(x)$, realizando los ajustes de constantes necesarios para obtener una estructura de tipo logarítmico:…
Halla la integral indefinida de la función $g(x)$, realizando los ajustes de constantes necesarios para obtener una estructura de tipo logarítmico:
$I = \displaystyle\int \dfrac{3x - 1}{x^2 - \frac{2}{3}x + 5} \, dx$
Calcula la integral indefinida de la función: $$f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{x \times \ln x}$$ Este ejercicio evalúa la capacidad de reconocer la estructura…
Calcula la integral indefinida de la función:
$$f(x) = \frac{\ln(\ln x)}{x \times \ln x}$$Este ejercicio evalúa la capacidad de reconocer la estructura $g(u(x)) \times u'(x)$ cuando existen múltiples funciones compuestas.
Preparar el integrando: completar cuadrados y trucos algebraicos
Algunas integrales no están en la tabla a simple vista, pero lo estarán tras un cambio algebraico.
Arcotangente. Si el denominador es un cuadrado más una constante, completa el cuadrado y llega a $\frac{1}{1+w^2}$.
Arcoseno. Si hay $\sqrt{a^2-(\cdot)^2}$, la fórmula es $\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\operatorname{arcsen}\frac{x}{a}+C$.
Si el radicando es $4-(x-3)^2$, la fórmula de arcoseno se usa con $x-3$ en lugar de $x$ y $a=2$. Para un numerador como $x+1$ conviene escribirlo como $(x-3)+4$: el término $(x-3)$ se integra con la cadena (con $u=4-(x-3)^2$) y el $4$ da un arcoseno de $\frac{x-3}{2}$.
Exponenciales en fracciones. Cuando el denominador lleva $e^x$, multiplica numerador y denominador por $e^{-x}$ o divide primero.
Para fracciones como $\frac{e^{2t}+3e^t}{e^t+1}$ se combina esto con la división: llamando $w=e^t$, $\frac{w^2+3w}{w+1}=w+2-\frac{2}{w+1}$. Luego $\frac{2}{w+1}=\frac{2}{e^t+1}$ se integra como en el ejemplo anterior.
Halla la integral indefinida de la siguiente función racional completando el cuadrado en el denominador para identificar una estructura de arco tangente: $$f(x) =…
Halla la integral indefinida de la siguiente función racional completando el cuadrado en el denominador para identificar una estructura de arco tangente:
$$f(x) = \frac{3}{2x^2 - 4x + 10}$$Una empresa de logística estudia el desgaste de los neumáticos de su flota. La velocidad de desgaste $V(x)$ (en mm por cada 1000 km) depende de la carga $x$ (en…
Una empresa de logística estudia el desgaste de los neumáticos de su flota. La velocidad de desgaste $V(x)$ (en mm por cada 1000 km) depende de la carga $x$ (en toneladas) según la función:
$V(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{4 - (x - 3)^2}}$
Halla la función de desgaste acumulado $D(x)$, sabiendo que para una carga de $3$ toneladas ($x = 3$) el desgaste es cero.
Un ingeniero de sonido está analizando la señal de un nuevo sintetizador. La tasa de variación de la intensidad de la onda respecto al tiempo, $t$, viene dada por la…
Un ingeniero de sonido está analizando la señal de un nuevo sintetizador. La tasa de variación de la intensidad de la onda respecto al tiempo, $t$, viene dada por la función $f'(t) = \dfrac{e^{2t} + 3e^t}{e^t + 1}$.
Sabiendo que para un tiempo $t = 0$ la intensidad de la onda es de $10$ unidades, determina la expresión analítica de la intensidad $f(t)$ realizando las manipulaciones algebraicas necesarias para resolver la integral.
Condiciones iniciales y comprobación por derivada
Si te dan $f''$, integras dos veces y cada vez aparece una constante. Necesitas dos datos para fijarlas.
Cuando el integrando es difícil de integrar pero tienes una forma candidata, puedes plantear la antiderivada con coeficientes y derivar.
Cuando el integrando es la derivada de un cociente
Algunas fracciones racionales con potencias en el denominador, como $\dfrac{12x^2-4}{(x^2+1)^3}$, no son de la forma $f(u)\,u'$. Pero provienen de derivar un cociente. Si el denominador es $(x^2+1)^3$, la antiderivada debe tener denominador $(x^2+1)^2$ (al derivar, la potencia sube en uno). Prueba entonces con $P\,x/(x^2+1)^2$ y ajusta $P$.
Con este método, la antiderivada de $\dfrac{12x^2-4}{(x^2+1)^3}=-4\cdot\dfrac{1-3x^2}{(x^2+1)^3}$ es $\dfrac{-4x}{(x^2+1)^2}$ más una constante. Después, el segundo paso es $\int\dfrac{-4x}{(x^2+1)^2}dx$, que ya es del tipo cadena con $u=x^2+1$.
Un dron de vigilancia se desplaza de forma que su velocidad en el eje horizontal (en m/s) viene dada por la función $v(t) = 4e^{2t-1} + \sin(3t)$. Sabiendo que en el…
Un dron de vigilancia se desplaza de forma que su velocidad en el eje horizontal (en m/s) viene dada por la función $v(t) = 4e^{2t-1} + \sin(3t)$. Sabiendo que en el instante inicial $t=0$ el dron se encuentra en la posición $s=0$, determina la expresión de la función de posición $s(t)$.
Determina la función $f(x)$ cuya derivada segunda es $f''(x) = \dfrac{12x^2 - 4}{(x^2 + 1)^3}$. Se sabe que la gráfica de $f(x)$ tiene un punto de inflexión de abscisa…
Determina la función $f(x)$ cuya derivada segunda es $f''(x) = \dfrac{12x^2 - 4}{(x^2 + 1)^3}$.
Se sabe que la gráfica de $f(x)$ tiene un punto de inflexión de abscisa positiva en el que la recta tangente es horizontal, y que la gráfica de $f(x)$ pasa por el punto $(0, 5)$.
Nota: Este ejercicio requiere un manejo experto de la regla de la cadena en sentido inverso para funciones racionales.
Determina los valores de los parámetros $A, B$ y $C$ para que la función $F(x) = (Ax^2 + B) \sin(2x) + Cx \cos(2x)$ sea una primitiva de $f(x) = x^2 \cos(2x)$. Plantea…
Determina los valores de los parámetros $A, B$ y $C$ para que la función $F(x) = (Ax^2 + B) \sin(2x) + Cx \cos(2x)$ sea una primitiva de $f(x) = x^2 \cos(2x)$.
Plantea el sistema de ecuaciones derivando $F(x)$ e igualando coeficientes.
Un paso más: producto de funciones
En cada tramo se integra y las constantes se ajustan para que la antiderivada sea continua. Por ejemplo, $|x-2|e^x$ es $(x-2)e^x$ si $x\ge2$ y $-(x-2)e^x$ si $x<2$. Con $\int(x-2)e^x\,dx=(x-3)e^x+C$ (puedes comprobarlo derivando), la constante de cada tramo se elige para que ambos coincidan en $x=2$.
Dada la función $f(x) = |x - 2| \times e^x$, encuentra la primitiva $F(x)$ que verifica que $F(0) = 1$. Recuerda que para que $F(x)$ sea una primitiva en todo su…
Dada la función $f(x) = |x - 2| \times e^x$, encuentra la primitiva $F(x)$ que verifica que $F(0) = 1$.
Recuerda que para que $F(x)$ sea una primitiva en todo su dominio, debe ser una función continua, por lo que tendrás que ajustar las constantes de integración en los diferentes tramos.
Vuelve al principio: con la velocidad que registra el celular de Wilkin, $v(t)$, la distancia recorrida es una antiderivada $s(t)$ con $s'(t)=v(t)$. La constante $C$ es el lugar de partida: se fija con un dato inicial.