Factorización de polinomios
Wilkin quiere saber en qué momentos una función polinómica se hace cero, pero el polinomio es de grado 4. Si lo escribe como $P(x)=2x(x+5)(x-4)^2$, ve de una vez que $P(x)=0$ solo cuando $x=0$, $x=-5$ o $x=4$. Factorizar es desarmar el polinomio en sus piezas. En esta página juntamos todas las técnicas (factor común, productos notables, división sintética y ceros racionales) en un procedimiento y vemos cuántas raíces puede tener un polinomio y de qué tipo son.
Factor común y productos notables
Factorizar siempre empieza igual: sacar todo el factor común posible. Después, si lo que queda es un producto notable (por ejemplo, una diferencia de cuadrados) o un trinomio de segundo grado, se resuelve.
Otra herramienta es el teorema del residuo: el residuo de dividir $P(x)$ entre $(x-a)$ es $P(a)$. Por tanto, si $P(a)=0$, entonces $(x-a)$ es un factor de $P(x)$ (teorema del factor).
¿Por qué? Al dividir, $P(x)=(x-a)Q(x)+R$ con $R$ constante. Sustituyendo $x=a$ queda $P(a)=R$. Si $R=0$, el factor $(x-a)$ divide exactamente.
Extrae factor común y utiliza los productos notables para factorizar al máximo el siguiente polinomio: $P(x) = 3x^5 - 12x^3$
Extrae factor común y utiliza los productos notables para factorizar al máximo el siguiente polinomio:
$P(x) = 3x^5 - 12x^3$
Factoriza el polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ resolviendo previamente la ecuación de segundo grado asociada.
Factoriza el polinomio $P(x) = 2x^2 + 5x - 3$ resolviendo previamente la ecuación de segundo grado asociada.
Comprueba, utilizando el Teorema del Resto, si $x = -1$ es raíz del polinomio $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. En caso afirmativo, extrae el factor correspondiente.
Comprueba, utilizando el Teorema del Resto, si $x = -1$ es raíz del polinomio $P(x) = x^4 + 3x^3 - 2x^2 + x + 7$. En caso afirmativo, extrae el factor correspondiente.
Teorema fundamental del álgebra y multiplicidad
Una raíz que se repite es múltiple; su multiplicidad es el número de veces que aparece como factor. Si $r_1,\dots,r_n$ son todas las raíces de $P(x)$, de grado $n$ y coeficiente principal $c$:
$$P(x)=c(x-r_1)(x-r_2)\cdots(x-r_n)$$Un factor de grado 2 como $x^2+4$ tiene discriminante negativo: sus dos raíces son complejas conjugadas ($\pm 2i$), no reales.
Indica cuáles son las raíces del polinomio $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ y sus respectivas multiplicidades. Justifica por qué este polinomio no tiene más raíces reales.
Indica cuáles son las raíces del polinomio $P(x) = 5(x+3)^2(x-1)(x^2+4)$ y sus respectivas multiplicidades. Justifica por qué este polinomio no tiene más raíces reales.
Factoriza el siguiente polinomio de tercer grado sabiendo que una de sus raíces es $x = 2$: $P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$
Factoriza el siguiente polinomio de tercer grado sabiendo que una de sus raíces es $x = 2$:
$P(x) = x^3 - 7x^2 + 16x - 12$
Halla las raíces enteras del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ mediante la regla de Ruffini y exprésalo en su forma factorizada.
Halla las raíces enteras del polinomio $P(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6$ mediante la regla de Ruffini y exprésalo en su forma factorizada.
Determina un polinomio de cuarto grado, $P(x)$, que sea mónico (coeficiente principal 1), que tenga a $x = -2$ como raíz doble, a $x = 3$ como raíz simple, y que carezca…
Determina un polinomio de cuarto grado, $P(x)$, que sea mónico (coeficiente principal 1), que tenga a $x = -2$ como raíz doble, a $x = 3$ como raíz simple, y que carezca de término independiente. Escríbelo en su forma factorizada y en su forma general desarrollada.
Bicuadrados y diferencias de cuadrados sucesivas
Un polinomio bicuadrado solo tiene términos de grado $4$, $2$ y $0$: $ax^4+bx^2+c$. Se factoriza como uno de segundo grado, llamando $t=x^2$. Y una diferencia de cuadrados puede aplicarse dos veces si el resultado vuelve a serlo.
Escribe en forma factorizada el polinomio $P(x) = x^4 - 81$ aplicando la identidad de la diferencia de cuadrados de forma sucesiva.
Escribe en forma factorizada el polinomio $P(x) = x^4 - 81$ aplicando la identidad de la diferencia de cuadrados de forma sucesiva.
Factoriza completamente el polinomio bicuadrado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.
Factoriza completamente el polinomio bicuadrado $P(x) = x^4 - 5x^2 + 4$.
Factoriza el polinomio $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilizando productos notables y extrayendo factores comunes, sin necesidad de desarrollar todo el polinomio…
Factoriza el polinomio $P(x) = (x^2 - 4)^2 - (x + 2)^2$ utilizando productos notables y extrayendo factores comunes, sin necesidad de desarrollar todo el polinomio primero.
Ceros racionales: coeficiente principal distinto de 1
Si el coeficiente principal no es $1$, hay que probar también fracciones: los candidatos son $\frac{p}{q}$ con $p$ divisor del término independiente y $q$ divisor del coeficiente principal.
Factoriza el polinomio $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Ten en cuenta que algunas de sus raíces pueden ser números fraccionarios.
Factoriza el polinomio $P(x) = 3x^4 + 5x^3 - 17x^2 - 13x + 6$. Ten en cuenta que algunas de sus raíces pueden ser números fraccionarios.
En un estudio de economía, la curva de beneficio marginal de una empresa tecnológica se ajusta al polinomio $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, donde $x$…
En un estudio de economía, la curva de beneficio marginal de una empresa tecnológica se ajusta al polinomio $B(x) = 6x^4 - 11x^3 - 26x^2 + 21x + 10$, donde $x$ representa la inversión en I+D en millones de pesos. Factoriza el polinomio para encontrar los puntos de equilibrio exactos (incluyendo raíces fraccionarias).
El diseño del perfil de una pieza mecánica de precisión se define mediante la función polinómica $P(x) = x^5 - x^4 - 7x^3 + x^2 + 6x$. Factoriza el polinomio para…
El diseño del perfil de una pieza mecánica de precisión se define mediante la función polinómica $P(x) = x^5 - x^4 - 7x^3 + x^2 + 6x$. Factoriza el polinomio para encontrar las coordenadas exactas de los puntos de anclaje de la pieza en el eje horizontal.
Factores irreducibles de grado 2
No todo polinomio se descompone en factores de grado $1$ con coeficientes reales. Un factor de grado $2$ con discriminante negativo es irreducible en $\mathbb{R}$: sus raíces son dos complejos conjugados y ahí se detiene la factorización real. (En los complejos sí se descompondría: $x^2+4=(x-2i)(x+2i)$.)
A veces, sumar y restar un término permite ver dos factores de grado 2 donde no parecía haber ninguno.
La trayectoria de un dron de carreras en un tramo de exhibición sigue el perfil polinómico $h(x) = 2x^4 - 14x^3 + 30x^2 - 18x$, donde $x$ es la distancia horizontal en…
La trayectoria de un dron de carreras en un tramo de exhibición sigue el perfil polinómico $h(x) = 2x^4 - 14x^3 + 30x^2 - 18x$, donde $x$ es la distancia horizontal en metros y $h(x)$ la altura en metros. Factoriza $h(x)$ para encontrar los puntos exactos donde el dron toca el suelo ($h(x) = 0$).
Demuestra que el polinomio $P(x) = x^4 + 4$ no tiene raíces reales. A continuación, factorízalo como el producto de dos polinomios de segundo grado. Pista: Suma y resta…
Demuestra que el polinomio $P(x) = x^4 + 4$ no tiene raíces reales. A continuación, factorízalo como el producto de dos polinomios de segundo grado. Pista: Suma y resta $4x^2$ a la expresión para forzar la aparición de una diferencia de cuadrados.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica claramente cuáles son sus raíces reales y la multiplicidad de cada una de ellas.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = x^6 - 2x^5 - 3x^4 + 8x^3 - 4x^2$. Identifica claramente cuáles son sus raíces reales y la multiplicidad de cada una de ellas.
Factorización con un parámetro
Cuando el polinomio trae un parámetro y una condición de divisibilidad, primero se halla el parámetro con el teorema del residuo y luego se factoriza con todos los coeficientes ya conocidos. También se puede usar al revés: con valores conocidos de $P$ se reconstruye el polinomio.
Determina el valor del parámetro $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sea divisible por el binomio $x - 2$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza…
Determina el valor del parámetro $m$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - mx^2 + 4x - 4$ sea divisible por el binomio $x - 2$. Una vez hallado el valor de $m$, factoriza completamente el polinomio en el conjunto de los números reales.
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ sea divisible por el polinomio $Q(x) = x^2 - 4$. A…
Calcula los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 8$ sea divisible por el polinomio $Q(x) = x^2 - 4$. A continuación, factoriza $P(x)$ al máximo.
Un polinomio $P(x)$ de tercer grado cumple que $P(1) = 0$, $P(-2) = 0$ y al dividirlo por el binomio $(x-2)$ el resto de la división es $16$. Además, se sabe que su…
Un polinomio $P(x)$ de tercer grado cumple que $P(1) = 0$, $P(-2) = 0$ y al dividirlo por el binomio $(x-2)$ el resto de la división es $16$. Además, se sabe que su término independiente es $4$. Halla la expresión factorizada de $P(x)$.
Fracciones algebraicas y aplicaciones
La factorización sirve para simplificar fracciones algebraicas, para operar con ellas (el común denominador sale de los denominadores factorizados) y para interpretar modelos.
El volumen de una caja rectangular en función de su longitud $x$ viene dado por la expresión polinómica $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Factoriza $V(x)$ para encontrar las…
El volumen de una caja rectangular en función de su longitud $x$ viene dado por la expresión polinómica $V(x) = x^3 - 7x^2 + 10x$. Factoriza $V(x)$ para encontrar las expresiones algebraicas más simples que representan las tres dimensiones de la caja.
Un biólogo modela el crecimiento y decrecimiento de una población de bacterias mediante el polinomio $N(t) = -t^4 + 10t^3 - 35t^2 + 50t - 24$, donde $t$ es el tiempo en…
Un biólogo modela el crecimiento y decrecimiento de una población de bacterias mediante el polinomio $N(t) = -t^4 + 10t^3 - 35t^2 + 50t - 24$, donde $t$ es el tiempo en horas. Factoriza el polinomio para determinar en qué instantes exactos la población se anula.
Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador al máximo: $\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^3 - 5x^2 + 6x}$
Simplifica la siguiente fracción algebraica factorizando previamente el numerador y el denominador al máximo:
$\frac{x^3 - 3x^2 - 4x + 12}{x^3 - 5x^2 + 6x}$
Simplifica la siguiente expresión algebraica, que representa la impedancia equivalente en un circuito complejo, factorizando al máximo cada polinomio en los numeradores…
Simplifica la siguiente expresión algebraica, que representa la impedancia equivalente en un circuito complejo, factorizando al máximo cada polinomio en los numeradores y denominadores:
$\frac{2x^3 - 7x^2 + 7x - 2}{2x^3 - x^2 - 8x + 4} - \frac{x^2 - 1}{x^2 + x - 2}$
El contorno de la bóveda de un edificio vanguardista viene dado por la intersección geométrica de las curvas $f(x) = x^4 - 2x^3$ y $g(x) = 7x^2 - 8x - 12$. Factoriza el…
El contorno de la bóveda de un edificio vanguardista viene dado por la intersección geométrica de las curvas $f(x) = x^4 - 2x^3$ y $g(x) = 7x^2 - 8x - 12$. Factoriza el polinomio diferencia $D(x) = f(x) - g(x)$ para determinar las coordenadas $x$ de los pilares donde ambas estructuras se unen.
Vuelve al principio: con $P(x)=2x(x+5)(x-4)^2$ las raíces se leen directamente: $0$, $-5$ y $4$ doble.