Discusión de sistemas con un parámetro
Wilkin tiene un colmado y vende dos productos cuyo precio depende de un valor $m$ que cambia cada semana. Según $m$, a veces puede averiguar los precios, a veces le salen infinitas posibilidades y a veces los datos se contradicen. Discutir un sistema con parámetro es decidir, sin resolverlo para cada valor, en qué casos pasa cada cosa.
Dos ecuaciones: comparar razones de coeficientes
Un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas es un par de rectas. Hay tres posibilidades:
| Posición de las rectas | Tipo de sistema | Soluciones |
|---|---|---|
| Se cortan en un punto | Compatible determinado (SCD) | una |
| Coinciden | Compatible indeterminado (SCI) | infinitas |
| Son paralelas | Incompatible (SI) | ninguna |
Mueve el deslizador y observa cuándo las rectas $3x+2y=5$ y $ax+4y=9$ se vuelven paralelas.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $m$: $ \left\{ \begin{array}{l} 2x - 3y = 5 \\ 4x - 6y = m \end{array} \right. $
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro $m$:
$ \left\{ \begin{array}{l} 2x - 3y = 5 \\ 4x - 6y = m \end{array} \right. $
Determina el valor de $k$ para que el siguiente sistema sea compatible indeterminado e interpreta geométricamente el resultado:…
Determina el valor de $k$ para que el siguiente sistema sea compatible indeterminado e interpreta geométricamente el resultado:
$ \left\{ \begin{array}{l} kx + 2y = 4 \\ 3x + 6y = 12 \end{array} \right. $
Calcula para qué valor del parámetro $a$ el sistema es incompatible: $ \left\{ \begin{array}{l} x + ay = 7 \\ 2x - 4y = 3 \end{array} \right. $
Calcula para qué valor del parámetro $a$ el sistema es incompatible:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + ay = 7 \\ 2x - 4y = 3 \end{array} \right. $
Cuando el parámetro está en varios coeficientes
Si el parámetro aparece en más de un coeficiente, evita las razones (podrías dividir entre cero). Mejor usa el producto cruzado: los coeficientes son proporcionales cuando
$$a\,b' = a'\,b.$$Esto da una ecuación en el parámetro, y sus soluciones son los valores «especiales». Para cada uno se comprueba aparte si el sistema es SI o SCI.
Discute el siguiente sistema en función del parámetro $b$: $ \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 1 \\ bx + 4y = -2 \end{array} \right. $
Discute el siguiente sistema en función del parámetro $b$:
$ \left\{ \begin{array}{l} x - 2y = 1 \\ bx + 4y = -2 \end{array} \right. $
En una fábrica de componentes electrónicos, el costo de producción de dos tipos de microchips viene dado por un sistema de ecuaciones lineales. Si $p$ representa un…
En una fábrica de componentes electrónicos, el costo de producción de dos tipos de microchips viene dado por un sistema de ecuaciones lineales. Si $p$ representa un impuesto variable sobre el primer microchip, el sistema es:
$ \left\{ \begin{array}{l} (p+1)x + 3y = 25 \\ 2x + py = 10 \end{array} \right. $
Discute el sistema en función del impuesto $p$.
Discute el siguiente sistema en función del parámetro $k$ e indica para qué valores el sistema representa dos rectas secantes, paralelas o coincidentes. Resuélvelo para…
Discute el siguiente sistema en función del parámetro $k$ e indica para qué valores el sistema representa dos rectas secantes, paralelas o coincidentes. Resuélvelo para $k = 0$.
$ \left\{ \begin{array}{l} kx + (k-1)y = 2 \\ 3x + ky = k+1 \end{array} \right. $
Hallar el parámetro para que se cumpla una condición
A veces no se pide discutir, sino que un par concreto sea solución. Entonces se sustituyen $x$ e $y$ en cada ecuación y se obtienen ecuaciones para el parámetro.
Halla el valor del parámetro $t$ para que el par $(2, -1)$ sea la solución del sistema: $ \left\{ \begin{array}{l} 3x + ty = 4 \\ tx - 5y = 9 \end{array} \right. $
Halla el valor del parámetro $t$ para que el par $(2, -1)$ sea la solución del sistema:
$ \left\{ \begin{array}{l} 3x + ty = 4 \\ tx - 5y = 9 \end{array} \right. $
Tres rectas en el plano
Cuando hay tres ecuaciones y dos incógnitas, cada ecuación es una recta y la pregunta es si las tres pasan por el mismo punto.
Estudia la posición relativa de las rectas $r: 5x + 2y = 1$ y $s: 10x + 4y = k$ en función del parámetro $k$.
Estudia la posición relativa de las rectas $r: 5x + 2y = 1$ y $s: 10x + 4y = k$ en función del parámetro $k$.
Tres calles rectas de un nuevo barrio vienen dadas por las ecuaciones de tres rectas. Determina el valor del parámetro $a$ para que las tres calles pasen por el mismo…
Tres calles rectas de un nuevo barrio vienen dadas por las ecuaciones de tres rectas. Determina el valor del parámetro $a$ para que las tres calles pasen por el mismo punto exacto (es decir, que el sistema tenga solución única y confluyan en una única plaza).
$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y = 5 \\ 3x - y = 1 \\ 2x + ay = 4 \end{array} \right. $
Considera las tres rectas en el plano dadas por las ecuaciones: $r: x + 2y = 3$ $s: 2x - y = 1$ $t: mx + (m+1)y = 4$ Discute la posición relativa de las tres rectas en…
Considera las tres rectas en el plano dadas por las ecuaciones:
$r: x + 2y = 3$
$s: 2x - y = 1$
$t: mx + (m+1)y = 4$
Discute la posición relativa de las tres rectas en función del parámetro $m$. Observa el siguiente diagrama que ilustra la situación en la que las tres rectas se cortan en un único punto (haz de rectas concurrentes).
Tres ecuaciones con tres incógnitas: Gauss con parámetro
El método de Gauss consiste en eliminar incógnitas para dejar el sistema escalonado. Con un parámetro, la última ecuación queda de la forma $(\text{expresión en el parámetro})\cdot z = \text{número}$, y la discusión depende de si esa expresión se anula o no.
Dado el siguiente sistema escalonado, discute sus soluciones en función del parámetro $p$:…
Dado el siguiente sistema escalonado, discute sus soluciones en función del parámetro $p$:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 2 \\ 2y - z = 4 \\ (p - 3)z = 5 \end{array} \right. $
Aplica el método de Gauss para discutir el siguiente sistema en función del parámetro $m$:…
Aplica el método de Gauss para discutir el siguiente sistema en función del parámetro $m$:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + z = 1 \\ 2x - y + 3z = 4 \\ 3x + 2y + mz = 5 \end{array} \right. $
Un inversor reparte su capital en tres fondos de inversión. La rentabilidad del tercer fondo depende de una tasa de interés $r$. Las ecuaciones que modelan los…
Un inversor reparte su capital en tres fondos de inversión. La rentabilidad del tercer fondo depende de una tasa de interés $r$. Las ecuaciones que modelan los beneficios son:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y + z = 100 \\ 2x + y + 3z = 150 \\ x - y + rz = 50 \end{array} \right. $
Discute el sistema según los valores de la tasa $r$.
Casos más finos: factorizar el coeficiente
En los ejercicios difíciles, el coeficiente de la última ecuación puede ser un polinomio en el parámetro, como $a^2-1$ o $m^2+m-2$. Se factoriza o se resuelve la ecuación para hallar todos los valores que lo anulan, y cada uno es un caso aparte.
Discute la compatibilidad del siguiente sistema en función del parámetro $a$:…
Discute la compatibilidad del siguiente sistema en función del parámetro $a$:
$ \left\{ \begin{array}{l} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = 1 \\ x + y + az = 1 \end{array} \right. $
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$, utilizando el método de Gauss. Para el caso en que sea compatible indeterminado, halla…
Discute el siguiente sistema de ecuaciones lineales en función del parámetro $k$, utilizando el método de Gauss. Para el caso en que sea compatible indeterminado, halla la solución general expresada en función de un parámetro $\lambda$.
$ \left\{ \begin{array}{l} x + 2y - z = 1 \\ -x + y + 3z = 2 \\ 2x + y + kz = -1 \end{array} \right. $
Discute el siguiente sistema en función del parámetro $\alpha$. Presta especial atención a los valores que anulan los coeficientes principales durante el proceso de…
Discute el siguiente sistema en función del parámetro $\alpha$. Presta especial atención a los valores que anulan los coeficientes principales durante el proceso de triangulación de Gauss.
$ \left\{ \begin{array}{l} x + \alpha y - z = 2 \\ 2x - y + \alpha z = 5 \\ x + 10y - 6z = 1 \end{array} \right. $
Resolver en los casos compatibles
Muchas veces, además de discutir, se pide la solución para un valor del parámetro. Se sustituye ese valor en el sistema escalonado y se resuelve. Si es SCI, se llama $\lambda$ (o $t$) a una incógnita libre y se despeja el resto en función de ella.
Halla los valores del parámetro $m$ para los cuales el siguiente sistema de ecuaciones es incompatible, y resuélvelo para $m = 2$:…
Halla los valores del parámetro $m$ para los cuales el siguiente sistema de ecuaciones es incompatible, y resuélvelo para $m = 2$:
$ \left\{ \begin{array}{l} x - y + 2z = 3 \\ 2x + my - z = 1 \\ 3x - 2y + z = m \end{array} \right. $
Una empresa de logística distribuye tres tipos de mercancías utilizando una flota de camiones. Las restricciones de peso, volumen y tiempo de entrega generan el…
Una empresa de logística distribuye tres tipos de mercancías utilizando una flota de camiones. Las restricciones de peso, volumen y tiempo de entrega generan el siguiente sistema de ecuaciones, donde $t$ es un parámetro relacionado con el tiempo máximo permitido:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + y + tz = 1 \\ tx + y + z = t \\ x + ty + z = t^2 \end{array} \right. $
Discute el sistema según los valores de $t$ y resuelve para el caso $t = -2$.
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $m$ y halla la solución cuando sea compatible indeterminado:…
Discute el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro $m$ y halla la solución cuando sea compatible indeterminado:
$ \left\{ \begin{array}{l} 3x - y + 2z = 1 \\ x + 4y + z = m \\ 2x - 5y + mz = 0 \end{array} \right. $
Problemas con contexto y posición relativa
Cuando el enunciado viene de un contexto (tráfico, ecosistema, mezclas), el trabajo es el mismo: triangular y estudiar cuándo se anula el coeficiente. Al final, interpreta el resultado en el contexto: SCD es una única situación posible, SCI son infinitas y SI es que los datos son incompatibles.
Si el enunciado pide la «posición relativa» de las ecuaciones, la respuesta sale directamente de la discusión. Con tres incógnitas, cada ecuación representa un plano en el espacio (como las paredes y el techo de un cuarto), y la discusión dice cómo se colocan:
| Tipo de sistema | Posición de los tres planos |
|---|---|
| SCD | Se cortan en un único punto |
| SCI | Comparten una recta (como las hojas de un libro abierto) o son el mismo plano |
| SI | No hay ningún punto común a los tres: dos o los tres son paralelos, o se cortan de dos en dos formando un prisma triangular |
En el análisis de una red de tráfico urbano, el flujo de vehículos por hora en tres intersecciones principales se modela mediante un sistema de ecuaciones. Debido a unas…
En el análisis de una red de tráfico urbano, el flujo de vehículos por hora en tres intersecciones principales se modela mediante un sistema de ecuaciones. Debido a unas obras, una de las vías tiene una capacidad variable $m$. El sistema que rige el flujo es:
$ \left\{ \begin{array}{l} mx + y + z = m \\ x + my + z = m \\ x + y + mz = m \end{array} \right. $
Discute el flujo de la red (compatibilidad del sistema) para todos los valores reales de $m$.
Estudia la posición relativa de los tres planos en el espacio tridimensional dados por el siguiente sistema, en función del parámetro $a$:…
Estudia la posición relativa de los tres planos en el espacio tridimensional dados por el siguiente sistema, en función del parámetro $a$:
$ \left\{ \begin{array}{l} 2x - y + 3z = 1 \\ x + ay - z = 2 \\ 3x + 2y + 2z = a \end{array} \right. $
En un estudio de dinámica de poblaciones, la interacción entre tres especies (depredador, presa y planta) en estado de equilibrio se describe con el siguiente sistema,…
En un estudio de dinámica de poblaciones, la interacción entre tres especies (depredador, presa y planta) en estado de equilibrio se describe con el siguiente sistema, donde $\beta$ representa la tasa de consumo de la presa por el depredador:
$ \left\{ \begin{array}{l} \beta x + y + z = 4 \\ x + y + z = \beta + 2 \\ x - y + \beta z = 2 \end{array} \right. $
Determina los valores de $\beta$ para los que el ecosistema tiene un único punto de equilibrio, infinitos o ninguno.
Sistemas homogéneos
En dos ecuaciones hay soluciones no triviales cuando las rectas coinciden. En tres ecuaciones, cuando al triangular el último coeficiente se anula.
Determina el valor de $c$ para que el siguiente sistema homogéneo tenga infinitas soluciones: $ \left\{ \begin{array}{l} cx + y = 0 \\ x + cy = 0 \end{array} \right. $
Determina el valor de $c$ para que el siguiente sistema homogéneo tenga infinitas soluciones:
$ \left\{ \begin{array}{l} cx + y = 0 \\ x + cy = 0 \end{array} \right. $
En un experimento químico se mezclan tres sustancias. Las condiciones de equilibrio del experimento dependen de un catalizador cuya concentración es $c$. El modelo…
En un experimento químico se mezclan tres sustancias. Las condiciones de equilibrio del experimento dependen de un catalizador cuya concentración es $c$. El modelo matemático es el siguiente sistema homogéneo:
$ \left\{ \begin{array}{l} x + y - z = 0 \\ 2x - cy + 3z = 0 \\ cx + 2y - 2z = 0 \end{array} \right. $
Determina para qué valores de la concentración $c$ el sistema tiene soluciones distintas a la trivial ($x=0, y=0, z=0$).
Vuelve al principio: si los precios del colmado de Wilkin dependen de $m$, discutir el sistema dice para qué valores de $m$ se pueden averiguar los precios de forma única (SCD), cuáles dejan infinitas posibilidades (SCI) y cuáles hacen que los datos se contradigan (SI).