Operaciones con sucesiones. Indeterminaciones
Un canal de videos de un joven de Santiago suma seguidores cada mes según una fórmula, y quiere saber si algún día se va a estabilizar. Eso es calcular el límite de una sucesión. Pero cuando la fórmula mezcla varias sucesiones que crecen sin parar, el resultado no es evidente: aparecen las indeterminaciones, y hace falta una técnica para destaparlas.
Álgebra de límites
Estas reglas también valen cuando uno de los límites es infinito, siempre que el resultado esté determinado:
| Operación | Resultado |
|---|---|
| $\infty+\infty$ | $+\infty$ |
| $k\times\infty$ con $k>0$ | $+\infty$ |
| $\dfrac{k}{\infty}$ | $0$ |
| $\dfrac{k}{0^+}$ con $k>0$ | $+\infty$ |
Dadas las sucesiones $a_n = \frac{2n}{n+1}$ y $b_n = 3n^2$, calcula los límites $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ y $\lim_{n \to \infty} (a_n \times b_n)$.
Dadas las sucesiones $a_n = \frac{2n}{n+1}$ y $b_n = 3n^2$, calcula los límites $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ y $\lim_{n \to \infty} (a_n \times b_n)$.
El número de seguidores de un canal de divulgación científica crece según la sucesión $S_n = \frac{1200n^2 + 50n}{3n^2 + 25}$, donde $n$ es el tiempo en meses y $S_n$ el…
El número de seguidores de un canal de divulgación científica crece según la sucesión $S_n = \frac{1200n^2 + 50n}{3n^2 + 25}$, donde $n$ es el tiempo en meses y $S_n$ el número de seguidores en miles. ¿Hacia qué valor se estabiliza la audiencia del canal a muy largo plazo?
El catálogo de indeterminaciones
Resolver $\frac{\infty}{\infty}$: comparar grados
Para un cociente de polinomios en $n$, se divide entre la mayor potencia de $n$ o, de forma equivalente, se comparan los grados.
Cuando hay potencias de binomios, primero se desarrolla, porque a veces los términos líderes se cancelan.
Calcula el límite de la sucesión $a_n = \frac{4n^3 - 2n + 1}{5n^3 + n^2 - 3}$.
Calcula el límite de la sucesión $a_n = \frac{4n^3 - 2n + 1}{5n^3 + n^2 - 3}$.
Determina el valor del límite de la sucesión $b_n = \frac{7n^2 - n}{n^3 + 4n - 1}$.
Determina el valor del límite de la sucesión $b_n = \frac{7n^2 - n}{n^3 + 4n - 1}$.
Un analista financiero estudia el rendimiento de un fondo de inversión cuya tasa de retorno en el mes $n$ sigue la sucesión…
Un analista financiero estudia el rendimiento de un fondo de inversión cuya tasa de retorno en el mes $n$ sigue la sucesión $R_n = \frac{(2n+1)^3 - 8n^3}{3n^2 + 5n - 1}$. Determina el rendimiento límite resolviendo la indeterminación correspondiente.
Factorización y la forma $\frac{0}{0}$
A veces numerador y denominador comparten un factor. Se factoriza, se simplifica y la indeterminación desaparece.
Una sucesión puede tener forma $\frac{0}{0}$ cuando numerador y denominador tienden a $0$. Se multiplica arriba y abajo por la potencia de $n$ que elimina los denominadores.
Otros cocientes: grados que se pasan, sumas y exponenciales
Si el numerador tiene mayor grado que el denominador, el límite es infinito y solo hay que averiguar el signo.
Si el numerador es una suma de términos que dependen de $n$, primero se calcula la suma. Recuerda que $1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$ (suma de una progresión aritmética).
Cuando aparecen potencias con $n$ en el exponente, se divide entre la que crece más rápido: $3^n$ gana a $2^n$, y $5^n$ gana a $3^n$. Los cocientes $\left(\frac{2}{3}\right)^n$ tienden a $0$.
Halla el límite de la sucesión $c_n = \frac{-2n^4 + 3n^2}{8n^2 + 5n - 2}$.
Halla el límite de la sucesión $c_n = \frac{-2n^4 + 3n^2}{8n^2 + 5n - 2}$.
Resuelve el siguiente límite que combina la suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética y una indeterminación polinómica:…
Resuelve el siguiente límite que combina la suma de los $n$ primeros términos de una progresión aritmética y una indeterminación polinómica:
$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{3n^2 + 2n - 1}$
La inflación acumulada en un modelo teórico macroeconómico está dada por la sucesión $I_n = \frac{3^n + 5^{n+1}}{5^n + 2^{n+2}}$. Determina el límite de la inflación…
La inflación acumulada en un modelo teórico macroeconómico está dada por la sucesión $I_n = \frac{3^n + 5^{n+1}}{5^n + 2^{n+2}}$. Determina el límite de la inflación cuando $n \to \infty$.
Resolver $\infty-\infty$ con fracciones
Si la resta es de fracciones algebraicas, se pone denominador común, se simplifica el numerador y se queda un cociente de polinomios.
Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ en la siguiente sucesión operando previamente las fracciones algebraicas: $d_n = \frac{n^2 + 1}{n} - \frac{n^2 - 2}{n+1}$
Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ en la siguiente sucesión operando previamente las fracciones algebraicas:
$d_n = \frac{n^2 + 1}{n} - \frac{n^2 - 2}{n+1}$
Calcula el límite de la diferencia de fracciones algebraicas: $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^3 + 2n^2}{n^2 - 1} - \frac{n^2 + 3}{n + 1} \right)$
Calcula el límite de la diferencia de fracciones algebraicas:
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^3 + 2n^2}{n^2 - 1} - \frac{n^2 + 3}{n + 1} \right)$
Resolver $\infty-\infty$ con radicales: el conjugado
Si la resta contiene una raíz, se multiplica y divide por el conjugado. Así aparece la diferencia de cuadrados $(A-B)(A+B)=A^2-B^2$ y la raíz desaparece del numerador.
Si la raíz está en un cociente, basta dividir entre $n$ la expresión completa.
Resuelve el siguiente límite con radicales multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada: $\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n} - n \right)$
Resuelve el siguiente límite con radicales multiplicando y dividiendo por la expresión conjugada:
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n} - n \right)$
La desviación en milímetros de un brazo robótico en su iteración $n$ viene dada por la sucesión $d_n = \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n$. Calcula el error de desviación límite…
La desviación en milímetros de un brazo robótico en su iteración $n$ viene dada por la sucesión $d_n = \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n$. Calcula el error de desviación límite cuando el número de iteraciones tiende a infinito.
Resuelve la indeterminación en la sucesión con radicales iterados en el numerador y denominador: $\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{16n^2 + 3n} - 2n}{5n + \sqrt{n^2 - 1}}$
Resuelve la indeterminación en la sucesión con radicales iterados en el numerador y denominador:
$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{16n^2 + 3n} - 2n}{5n + \sqrt{n^2 - 1}}$
Dos raíces y raíz multiplicada por $n$
Cuando se restan dos raíces, el conjugado es la suma de ambas.
Si la diferencia está multiplicada por $n$ (indeterminación $\infty\times0$), se resuelve igual: conjugado y después se divide.
El índice de migración neta de una región se estima según la sucesión $I_n = n \left( \sqrt{n^2 + 2} - \sqrt{n^2 - 2} \right)$. Determina la tendencia límite de este…
El índice de migración neta de una región se estima según la sucesión $I_n = n \left( \sqrt{n^2 + 2} - \sqrt{n^2 - 2} \right)$. Determina la tendencia límite de este índice cuando $n \to \infty$.
Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ generada por la diferencia de dos raíces cuadradas de polinomios cuadráticos:…
Resuelve la indeterminación $\infty - \infty$ generada por la diferencia de dos raíces cuadradas de polinomios cuadráticos:
$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n + 1} - \sqrt{n^2 - 3n + 2} \right)$
En el estudio de la energía cinética relativista a bajas velocidades, se utiliza una aproximación matemática que involucra la sucesión…
En el estudio de la energía cinética relativista a bajas velocidades, se utiliza una aproximación matemática que involucra la sucesión $E_n = n^2 \left( \sqrt{1 + \frac{2}{n^2}} - 1 \right)$. Determina el valor del límite de la sucesión $E_n$ cuando $n \to \infty$.
La indeterminación $1^{\infty}$
Cuando la base tiende a $1$ y el exponente a infinito, el resultado no es $1$ automáticamente. Por ejemplo, una cuenta de ahorro con interés compuesto: la base está apenas por encima de $1$, pero se eleva a muchos períodos.
Calcula el límite de la sucesión de tipo exponencial $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$.
Calcula el límite de la sucesión de tipo exponencial $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$.
Halla el límite de la sucesión $f_n = \left( \frac{n+4}{n} \right)^n$.
Halla el límite de la sucesión $f_n = \left( \frac{n+4}{n} \right)^n$.
$1^\infty$ con bases más complicadas
Identifica la indeterminación y calcula el límite de la sucesión $a_n = \left( \frac{3n^2 + 5}{3n^2 - 2} \right)^{4n^2}$.
Identifica la indeterminación y calcula el límite de la sucesión $a_n = \left( \frac{3n^2 + 5}{3n^2 - 2} \right)^{4n^2}$.
La temperatura de un componente electrónico en un proceso de enfriamiento iterativo sigue la sucesión $T_n = \left( \frac{n^2 - n}{n^2 + 3} \right)^{2n+1}$ en grados…
La temperatura de un componente electrónico en un proceso de enfriamiento iterativo sigue la sucesión $T_n = \left( \frac{n^2 - n}{n^2 + 3} \right)^{2n+1}$ en grados Celsius por encima de la temperatura ambiente. Determina el límite de esta temperatura.
Demuestra, calculando el límite, hacia qué valor tiende la sucesión definida por $a_n = \left( \frac{n^2 + 5n - 1}{n^2 + 2n + 3} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$.
Demuestra, calculando el límite, hacia qué valor tiende la sucesión definida por $a_n = \left( \frac{n^2 + 5n - 1}{n^2 + 2n + 3} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$.
Hallar parámetros a partir de un límite
Encuentra el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que el límite de la sucesión $a_n = \sqrt{4n^2 + kn} - 2n$ sea igual a $5$.
Encuentra el valor del parámetro $k \in \mathbb{R}$ para que el límite de la sucesión $a_n = \sqrt{4n^2 + kn} - 2n$ sea igual a $5$.
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la igualdad: $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 3n}{n + 1} - an - b \right) = 0$
Determina los valores de los parámetros $a$ y $b$ para que se cumpla la igualdad:
$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 3n}{n + 1} - an - b \right) = 0$
En un proceso de cristalización, la concentración de un reactivo sigue la sucesión $C_n = \left( \frac{n + a}{n + 2} \right)^{3n}$. Si se sabe que la concentración…
En un proceso de cristalización, la concentración de un reactivo sigue la sucesión $C_n = \left( \frac{n + a}{n + 2} \right)^{3n}$. Si se sabe que la concentración límite a largo plazo es $e^6$, ¿cuál debe ser el valor del parámetro $a$?
Resumen
Volviendo al canal del principio: una fórmula como $\frac{1200n^2+50n}{3n^2+25}$ es un cociente de grados iguales, y el número de seguidores se estabiliza en $\frac{1200}{3}=400$ (mil).