Integración por cambio de variable
Un entrenador dominicano modela con una función la rapidez con que cambia el volumen de aire en los pulmones de un pelotero durante un entrenamiento. Para saber cuánto aire se movió en total necesita una antiderivada, pero la función es una expresión compuesta, con una raíz y un logaritmo juntos. ¿Cómo se integra algo así? Con un truco: ponerle nombre a lo que molesta.
La cadena al revés: reconocer g(u(x))·u'(x)
La regla de la cadena dice que $\big(G(u(x))\big)' = G'(u(x))\cdot u'(x)$. Leída al revés: si el integrando tiene la forma $g(u(x))\cdot u'(x)$, su antiderivada es $G(u(x))$, donde $G$ es una antiderivada de $g$. Cambiar de variable es ponerle nombre a esa $u(x)$ para no perderla de vista.
A veces, el cambio de variable nos ayuda a simplificar expresiones donde una función y su derivada aparecen multiplicadas. Resuelve la siguiente integral eligiendo el…
A veces, el cambio de variable nos ayuda a simplificar expresiones donde una función y su derivada aparecen multiplicadas. Resuelve la siguiente integral eligiendo el cambio $t = x^2 + 3$:
$$\int 2x \times (x^2 + 3)^4 \, dx$$Calcula la primitiva de la siguiente función utilizando el cambio de variable $t = e^x$. Observa cómo la presencia de la derivada de la exponencial en el numerador…
Calcula la primitiva de la siguiente función utilizando el cambio de variable $t = e^x$. Observa cómo la presencia de la derivada de la exponencial en el numerador facilita la resolución:
$$\int \frac{e^x}{e^x + 4} \, dx$$Determina la primitiva de la función $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ mediante el cambio de variable $t = \ln(x)$. Este ejercicio es fundamental para identificar patrones donde…
Determina la primitiva de la función $f(x) = \frac{\ln(x)}{x}$ mediante el cambio de variable $t = \ln(x)$. Este ejercicio es fundamental para identificar patrones donde el diferencial $dt$ consume parte de la expresión original.
Cambio lineal: u = ax + b
El cambio más sencillo ocurre cuando dentro de una función aparece $ax+b$. Si $u=ax+b$, entonces $du=a\,dx$, o sea $dx=\dfrac{du}{a}$.
Un equipo de ingenieros de sonido está analizando la onda de presión de un nuevo sintetizador. La función que describe la acumulación de energía viene dada por la…
Un equipo de ingenieros de sonido está analizando la onda de presión de un nuevo sintetizador. La función que describe la acumulación de energía viene dada por la integral de una potencia compuesta. Calcula la siguiente primitiva utilizando el cambio de variable $t = 3x - 5$:
$$\int (3x - 5)^7 \, dx$$Para calcular el área de una sección de un panel solar curvo, un arquitecto necesita resolver una integral irracional. Obtén la primitiva de la siguiente función…
Para calcular el área de una sección de un panel solar curvo, un arquitecto necesita resolver una integral irracional. Obtén la primitiva de la siguiente función realizando el cambio de variable sugerido $t = 2x + 1$:
$$\int \sqrt{2x + 1} \, dx$$Calcula la primitiva de la función $f(x) = \frac{1}{5x + 2}$ realizando el cambio de variable $t = 5x + 2$. Recuerda que este método te permitirá obtener una integral de…
Calcula la primitiva de la función $f(x) = \frac{1}{5x + 2}$ realizando el cambio de variable $t = 5x + 2$. Recuerda que este método te permitirá obtener una integral de tipo logarítmico de forma más estructurada.
El cambio explícito paso a paso
Cuando la estructura no se ve a simple vista, se nombra $u=u(x)$ por escrito, se despeja $dx$ y se sustituye todo, incluido el $dx$, en función de $u$.
Un laboratorio biológico estudia la velocidad de crecimiento de una población de bacterias. La función de crecimiento viene dada por una expresión que requiere integrar…
Un laboratorio biológico estudia la velocidad de crecimiento de una población de bacterias. La función de crecimiento viene dada por una expresión que requiere integrar el siguiente cociente. Calcula la primitiva utilizando el cambio de variable $t = e^x$:
$$\int \frac{e^{2x}}{e^x + 1} \, dx$$En el estudio de circuitos de corriente alterna, aparece con frecuencia la necesidad de integrar funciones trigonométricas combinadas. Halla la primitiva de la siguiente…
En el estudio de circuitos de corriente alterna, aparece con frecuencia la necesidad de integrar funciones trigonométricas combinadas. Halla la primitiva de la siguiente función realizando el cambio de variable $t = \cos x$:
$$\int \frac{\sin x}{1 + \cos^2 x} \, dx$$Para analizar la intensidad de una señal acústica en decibelios, un técnico de sonido debe encontrar la función integral de la presión sonora. Calcula la siguiente…
Para analizar la intensidad de una señal acústica en decibelios, un técnico de sonido debe encontrar la función integral de la presión sonora. Calcula la siguiente integral indefinida aplicando el cambio de variable $t = \ln x$:
$$\int \frac{1}{x(1 + \ln^2 x)} \, dx$$Calcula la siguiente integral indefinida mediante el cambio de variable $t = \sin x$. Presta atención a cómo transformar el diferencial y las potencias restantes de…
Calcula la siguiente integral indefinida mediante el cambio de variable $t = \sin x$. Presta atención a cómo transformar el diferencial y las potencias restantes de $\cos x$ utilizando la identidad fundamental de la trigonometría:
$$\int \cos^3 x \, dx$$Cambios con raíces y logaritmos
En el diseño de una rampa para un skatepark, los ingenieros han determinado que el perfil lateral sigue la pendiente de una función cuya primitiva requiere resolver la…
En el diseño de una rampa para un skatepark, los ingenieros han determinado que el perfil lateral sigue la pendiente de una función cuya primitiva requiere resolver la siguiente integral. Utiliza el cambio de variable $t^2 = x + 3$ para calcular la familia de funciones primitivas de:
$$\int \frac{x}{\sqrt{x+3}} \, dx$$Halla la familia de primitivas de la siguiente función racional que contiene una raíz cuadrada en el denominador. Se sugiere emplear el cambio de variable…
Halla la familia de primitivas de la siguiente función racional que contiene una raíz cuadrada en el denominador. Se sugiere emplear el cambio de variable $t = \sqrt{x - 1}$ para simplificar la expresión:
$$\int \frac{x+2}{x \sqrt{x-1}} \, dx$$Un dron de vigilancia se desplaza de modo que su velocidad en cada instante $t > 1$ viene dada por la función $v(t) = \frac{1}{t \sqrt{\ln t}}$. Si se sabe que la…
Un dron de vigilancia se desplaza de modo que su velocidad en cada instante $t > 1$ viene dada por la función $v(t) = \frac{1}{t \sqrt{\ln t}}$. Si se sabe que la posición es la integral de la velocidad, halla la expresión de la distancia recorrida mediante el cambio $u = \ln t$:
$$\int \frac{1}{t \sqrt{\ln t}} \, dt$$Calcula la integral indefinida de la siguiente función, que representa la tasa de variación del volumen de aire en los pulmones de un deportista durante un entrenamiento…
Calcula la integral indefinida de la siguiente función, que representa la tasa de variación del volumen de aire en los pulmones de un deportista durante un entrenamiento de alta intensidad:
$$\int \frac{1}{x \sqrt{1+\ln x}} dx$$Para resolverla, propón un cambio de variable que elimine la raíz cuadrada del denominador.
Cambios más elaborados
A veces el cambio produce una expresión que hay que transformar o hay que encadenar dos cambios. La idea es la misma: elimina lo que molesta, calcula $dx$ con cuidado e integra.
Calcula la primitiva de la siguiente función con radicales de distinto índice. Para ello, utiliza un cambio de variable del tipo $x = t^n$, donde $n$ sea el mínimo común…
Calcula la primitiva de la siguiente función con radicales de distinto índice. Para ello, utiliza un cambio de variable del tipo $x = t^n$, donde $n$ sea el mínimo común múltiplo de los índices de las raíces:
$$\int \frac{\sqrt{x}}{\sqrt[3]{x} + 1} \, dx$$Determina la familia de primitivas de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[3]{x}}$.
Determina la familia de primitivas de la función $f(x) = \frac{\sqrt{x}}{1+\sqrt[3]{x}}$.
En el diseño de una rampa para un skatepark, un ingeniero necesita hallar la primitiva de la función de pendiente definida por: $$\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^2…
En el diseño de una rampa para un skatepark, un ingeniero necesita hallar la primitiva de la función de pendiente definida por:
$$\int \frac{\cos x}{\operatorname{sen}^2 x - 5\operatorname{sen} x + 6} dx$$Realiza el cambio de variable adecuado para transformar esta integral trigonométrica en una integral racional y resuélvela mediante descomposición en fracciones simples.
Halla la primitiva de la función $f(x) = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}}$ que pasa por el punto $(0, 0)$. Para ello, utiliza el cambio de variable $t^2 = e^x + 1$ y…
Halla la primitiva de la función $f(x) = \frac{e^{2x}}{\sqrt{e^x + 1}}$ que pasa por el punto $(0, 0)$. Para ello, utiliza el cambio de variable $t^2 = e^x + 1$ y recuerda deshacer el cambio al finalizar el proceso.
La velocidad de un dron de reconocimiento viene dada por la expresión $v(t) = \frac{1}{t(1+\ln^2 t)}$, donde $t$ es el tiempo en segundos ($t > 0$). Si se sabe que en el…
La velocidad de un dron de reconocimiento viene dada por la expresión $v(t) = \frac{1}{t(1+\ln^2 t)}$, donde $t$ es el tiempo en segundos ($t > 0$). Si se sabe que en el instante inicial de la medición ($t=1$) el dron se encontraba en la posición $s=0$, obtén la función de posición $s(t)$ mediante el cambio de variable $u = \ln t$.
Calcula la integral indefinida $\int \sqrt{e^x - 1} dx$. Sugerencia: Realiza el cambio de variable $\sqrt{e^x - 1} = t$. Deberás despejar $x$ y calcular su diferencial…
Calcula la integral indefinida $\int \sqrt{e^x - 1} dx$.
Sugerencia: Realiza el cambio de variable $\sqrt{e^x - 1} = t$. Deberás despejar $x$ y calcular su diferencial $dx$ con cuidado.
Un equipo de arquitectos está modelando la curvatura de un nuevo túnel cuya sección transversal responde a la integral: $$\int \frac{1}{1 + \sqrt{x+1}} dx$$ Calcula la…
Un equipo de arquitectos está modelando la curvatura de un nuevo túnel cuya sección transversal responde a la integral:
$$\int \frac{1}{1 + \sqrt{x+1}} dx$$Calcula la primitiva general utilizando la sustitución $t = \sqrt{x+1}$.
Resuelve la siguiente integral que combina logaritmos anidados, típica de los desafíos de fin de unidad de nivel avanzado: $$\int \frac{\ln(\ln x)}{x \ln x} dx$$ Indica…
Resuelve la siguiente integral que combina logaritmos anidados, típica de los desafíos de fin de unidad de nivel avanzado:
$$\int \frac{\ln(\ln x)}{x \ln x} dx$$Indica paso a paso los dos cambios de variable sucesivos que realizarías para simplificar la expresión hasta convertirla en una integral inmediata.
Vuelve al principio: para el volumen de aire con $\frac{1}{x\sqrt{1+\ln x}}$, el cambio $u=1+\ln x$ elimina la raíz y deja $2\sqrt{1+\ln x}+C$.