Ecuaciones con valor absoluto
Un pasaje de guagua cuesta $\text{RD}\$50$ y el chofer te dice que el precio puede variar "en 5 pesos arriba o abajo" según la ruta. No importa si es más o menos: lo que importa es la distancia a 50. Eso es el valor absoluto, y una ecuación con valor absoluto esconde dos ecuaciones a la vez: lo de dentro puede ser positivo o negativo. Al final de la página vuelves a este pasaje.
Definición y el caso básico $|ax+b|=k$
Resuelve la siguiente ecuación lineal con valor absoluto: $|3x - 5| = 7$
Resuelve la siguiente ecuación lineal con valor absoluto:
$|3x - 5| = 7$
Encuentra los números cuya distancia al número $4$ en la recta real es exactamente $9$. Plantea y resuelve la ecuación con valor absoluto correspondiente.
Encuentra los números cuya distancia al número $4$ en la recta real es exactamente $9$. Plantea y resuelve la ecuación con valor absoluto correspondiente.
Resuelve la siguiente ecuación con coeficientes fraccionarios: $\left| \frac{2x}{3} - 1 \right| = 5$
Resuelve la siguiente ecuación con coeficientes fraccionarios:
$\left| \frac{2x}{3} - 1 \right| = 5$
Casos sin solución y dos valores absolutos iguales
Si lo de la derecha es $0$, hay un solo caso: $|2x+8|=0$ se reduce a $2x+8=0$, es decir, $x=-4$. Y si primero hay que despejar el valor absoluto, hazlo antes de separar: $2|x+4|-10=0$ pasa a $|x+4|=5$.
Despeja el valor absoluto y encuentra las soluciones de la ecuación: $2|x + 4| - 10 = 0$
Despeja el valor absoluto y encuentra las soluciones de la ecuación:
$2|x + 4| - 10 = 0$
Resuelve la ecuación considerando que los argumentos de los valores absolutos son iguales u opuestos: $|2x - 1| = |x + 3|$
Resuelve la ecuación considerando que los argumentos de los valores absolutos son iguales u opuestos:
$|2x - 1| = |x + 3|$
Analiza y resuelve la siguiente ecuación. Justifica tu respuesta: $|5x + 2| = -4$
Analiza y resuelve la siguiente ecuación. Justifica tu respuesta:
$|5x + 2| = -4$
Cuando el otro miembro lleva la incógnita
Resuelve la siguiente ecuación y comprueba la validez de las soluciones obtenidas, descartando aquellas que no tengan sentido: $|x - 5| = 2x - 1$
Resuelve la siguiente ecuación y comprueba la validez de las soluciones obtenidas, descartando aquellas que no tengan sentido:
$|x - 5| = 2x - 1$
Resuelve la siguiente ecuación racional con valor absoluto: $\left| \frac{x+2}{x-1} \right| = 3$
Resuelve la siguiente ecuación racional con valor absoluto:
$\left| \frac{x+2}{x-1} \right| = 3$
Durante un experimento químico, el margen de error en la medición del pH de una solución tampón viene dado por la ecuación $|2p - 14| = p - 4$, donde $p$ es el valor del…
Durante un experimento químico, el margen de error en la medición del pH de una solución tampón viene dado por la ecuación $|2p - 14| = p - 4$, donde $p$ es el valor del pH. Calcula los posibles valores de $p$ y descarta aquellos que carezcan de sentido físico o matemático en esta ecuación.
Ampliación: expresiones cuadráticas dentro del valor absoluto
Si dentro hay un polinomio de segundo grado, el método es el mismo: dos ecuaciones, y cada una puede dar hasta dos soluciones.
Halla los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación cuadrática con valor absoluto: $|x^2 - 9| = 0$
Halla los valores de $x$ que satisfacen la siguiente ecuación cuadrática con valor absoluto:
$|x^2 - 9| = 0$
Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación: $|x^2 - 5x| = 6$
Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación:
$|x^2 - 5x| = 6$
Encuentra los valores de $x$ que verifican la siguiente ecuación, comprobando las soluciones en la ecuación original: $|x^2 - 4x| = 3x - 6$
Encuentra los valores de $x$ que verifican la siguiente ecuación, comprobando las soluciones en la ecuación original:
$|x^2 - 4x| = 3x - 6$
Ampliación: casos según el signo de la variable
En $x^2-4|x|-5=0$ no basta con "separar en $\pm k$": se aplica la definición y se resuelve en cada zona.
Halla las soluciones de la siguiente ecuación realizando un cambio de variable adecuado o distinguiendo casos según el signo de $x$: $x^2 - 4|x| - 5 = 0$
Halla las soluciones de la siguiente ecuación realizando un cambio de variable adecuado o distinguiendo casos según el signo de $x$:
$x^2 - 4|x| - 5 = 0$
Una partícula oscila alrededor de un punto de equilibrio. Su posición $x$ en ciertos instantes críticos satisface la ecuación $|x^2 - 10| = 3x$. Encuentra las posiciones…
Una partícula oscila alrededor de un punto de equilibrio. Su posición $x$ en ciertos instantes críticos satisface la ecuación $|x^2 - 10| = 3x$. Encuentra las posiciones exactas $x$ donde esto ocurre, asegurándote de descartar las soluciones no válidas.
Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación combinada: $x^2 - 2|x - 1| = 2$
Encuentra todas las soluciones reales de la ecuación combinada:
$x^2 - 2|x - 1| = 2$
Ampliación: sumas y valores absolutos anidados
Si hay un valor absoluto dentro de otro, se despeja de fuera hacia dentro. Si hay dos valores absolutos sumados, se divide la recta en intervalos.
Resuelve la siguiente ecuación con valores absolutos anidados: $||2x - 1| - 4| = 5$
Resuelve la siguiente ecuación con valores absolutos anidados:
$||2x - 1| - 4| = 5$
Halla las soluciones de la ecuación dividiendo la recta real en intervalos según las raíces de los argumentos de los valores absolutos: $|x - 2| + |x + 3| = 7$
Halla las soluciones de la ecuación dividiendo la recta real en intervalos según las raíces de los argumentos de los valores absolutos:
$|x - 2| + |x + 3| = 7$
Un brazo robótico se mueve a lo largo de un riel lineal. Su distancia a dos balizas ubicadas en las posiciones $x=0$ y $x=10$ debe satisfacer la restricción dada por la…
Un brazo robótico se mueve a lo largo de un riel lineal. Su distancia a dos balizas ubicadas en las posiciones $x=0$ y $x=10$ debe satisfacer la restricción dada por la ecuación $2|x| - |x - 10| = 5$. Encuentra las coordenadas exactas $x$ donde el robot puede detenerse.
Resuelve la siguiente ecuación igualando el valor absoluto de una expresión cuadrática al valor absoluto de una expresión lineal: $|x^2 - 5x + 4| = |2x - 6|$
Resuelve la siguiente ecuación igualando el valor absoluto de una expresión cuadrática al valor absoluto de una expresión lineal:
$|x^2 - 5x + 4| = |2x - 6|$
Ampliación: la gráfica y las soluciones según un parámetro
Resolver $|f(x)|=k$ es buscar dónde la gráfica de $y=|f(x)|$ corta la recta horizontal $y=k$. La gráfica de $|f|$ se obtiene de la de $f$ reflejando hacia arriba lo que queda bajo el eje $x$. Mueve $k$ y cuenta los cortes.
Determina el valor del parámetro $k$ para el cual la ecuación $|x^2 - 4x + 3| = k$ tiene exactamente tres soluciones reales distintas. En la figura tienes la gráfica de…
Determina el valor del parámetro $k$ para el cual la ecuación $|x^2 - 4x + 3| = k$ tiene exactamente tres soluciones reales distintas.
En la figura tienes la gráfica de $f(x)=|x^2-4x+3|$. Úsala para razonar cuántas soluciones tiene la ecuación según la altura de la recta horizontal $y=k$, y justifica el valor de $k$ con cálculos.
Aplicaciones del valor absoluto
Una máquina corta cables de acero para un puente colgante. La longitud $L$ (en metros) de un cable se considera aceptable si satisface la ecuación de tolerancia…
Una máquina corta cables de acero para un puente colgante. La longitud $L$ (en metros) de un cable se considera aceptable si satisface la ecuación de tolerancia $|2L - 150| = 1.5$. Calcula las longitudes máxima y mínima aceptables para el cable.
En un modelo económico, la desviación del precio $P$ de una acción respecto a su valor de referencia de $7\,200$ pesos es proporcional al propio precio, modelado por la…
En un modelo económico, la desviación del precio $P$ de una acción respecto a su valor de referencia de $7\,200$ pesos es proporcional al propio precio, modelado por la ecuación $|P - 7\,200| = \frac{P}{5}$. Calcula los precios exactos que cumplen esta condición.
El perfil de la entrada de una tienda de campaña de diseño moderno se modeliza mediante la ecuación $y = |x - 4| + |x - 8|$, donde $x$ e $y$ están en metros. Para…
El perfil de la entrada de una tienda de campaña de diseño moderno se modeliza mediante la ecuación $y = |x - 4| + |x - 8|$, donde $x$ e $y$ están en metros. Para colocar una viga de soporte horizontal a una altura de $y = 6$ metros, resuelve la ecuación $|x - 4| + |x - 8| = 6$ para encontrar las coordenadas $x$ de los extremos del soporte.