División sintética (regla de Ruffini)
Wilkin quiere saber si un polinomio de grado 5 se anula en $x=3$. Sustituir y operar con potencias grandes es lento y se presta a errores. La división sintética (regla de Ruffini) hace la misma división de siempre, pero trabajando solo con números: una fila de coeficientes, un valor $a$ y una tabla de tres filas. ¿Podrá decirnos también si $3$ es raíz? Lo veremos al final.
Mecánica de la división sintética
Se escriben los coeficientes de $P(x)$ en fila, con $0$ en los grados que falten, y el valor $a$ aparte. El primer coeficiente baja igual. Cada resultado siguiente se obtiene multiplicando el último número de la fila de abajo por $a$ y sumando el coeficiente de su columna.
Divide el polinomio $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ entre el binomio $x - 2$ utilizando la regla de Ruffini e indica el cociente y el residuo resultantes.
Divide el polinomio $P(x) = 3x^3 - 2x^2 + 5x - 4$ entre el binomio $x - 2$ utilizando la regla de Ruffini e indica el cociente y el residuo resultantes.
Aplica la regla de Ruffini para realizar la división de $P(x) = x^4 - 16$ entre $x + 2$. Escribe claramente el polinomio cociente y el valor del residuo.
Aplica la regla de Ruffini para realizar la división de $P(x) = x^4 - 16$ entre $x + 2$. Escribe claramente el polinomio cociente y el valor del residuo.
Halla el residuo de la división del polinomio $P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^2 + 7$ entre $x + 3$ aplicando la regla de Ruffini.
Halla el residuo de la división del polinomio $P(x) = x^5 + 3x^4 - 2x^2 + 7$ entre $x + 3$ aplicando la regla de Ruffini.
Evaluar y confirmar raíces
El último número de la tabla es el residuo, y por el teorema del residuo, el residuo de dividir entre $x-a$ es $P(a)$. Así, la división sintética sirve para calcular el valor numérico de un polinomio sin sustituir término a término, y para comprobar si un número es raíz: si el residuo es $0$, lo es.
Comprueba, utilizando la regla de Ruffini, si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
Comprueba, utilizando la regla de Ruffini, si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + x + 6$.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ para $x = -1$ aplicando el teorema del resto mediante la regla de Ruffini.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 1$ para $x = -1$ aplicando el teorema del resto mediante la regla de Ruffini.
Determina, sin realizar la división completa y utilizando el teorema del resto o la regla de Ruffini, si el binomio $x + 1$ es un factor del polinomio…
Determina, sin realizar la división completa y utilizando el teorema del resto o la regla de Ruffini, si el binomio $x + 1$ es un factor del polinomio $P(x) = x^4 + x^3 - x^2 + x + 2$.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = x^4 - 2.5x^3 + 1.5x^2 - 3x + 2$ para $x = 2$ utilizando exclusivamente la disposición de la regla de Ruffini.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = x^4 - 2.5x^3 + 1.5x^2 - 3x + 2$ para $x = 2$ utilizando exclusivamente la disposición de la regla de Ruffini.
Factorizar con una raíz conocida
Si ya conoces una raíz $a$, la tabla da directamente el cociente, un polinomio de un grado menos. Repite el proceso con ese cociente cuando aparezca otra raíz, hasta llegar a factores de grado 1 o a un factor de grado 2 sin raíces reales.
Factoriza el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabiendo de antemano que $x = 1$ es una de sus raíces.
Factoriza el polinomio $P(x) = x^3 - 2x^2 - 5x + 6$ sabiendo de antemano que $x = 1$ es una de sus raíces.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ hallando todas sus raíces.
Factoriza completamente el polinomio $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 8x + 3$ hallando todas sus raíces.
Factoriza completamente el polinomio de quinto grado $P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ en polinomios irreducibles sobre los números reales.
Factoriza completamente el polinomio de quinto grado $P(x) = x^5 - 5x^4 + 7x^3 - 2x^2 + 4x - 8$ en polinomios irreducibles sobre los números reales.
Problemas del contexto
Volúmenes, beneficios y movimientos se modelan con polinomios. Hallar cuándo valen cero, o descomponerlos en factores, se hace con la división sintética.
El volumen de una caja con forma de prisma rectangular recto viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Si se sabe que la altura de la caja es $x - 1$,…
El volumen de una caja con forma de prisma rectangular recto viene dado por el polinomio $V(x) = x^3 + 5x^2 + 2x - 8$. Si se sabe que la altura de la caja es $x - 1$, determina el polinomio que representa el área de la base $A(x)$.
Los beneficios de una empresa, en miles de pesos, se modelan durante sus primeros años de actividad mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, donde $x$…
Los beneficios de una empresa, en miles de pesos, se modelan durante sus primeros años de actividad mediante el polinomio $B(x) = -x^3 + 10x^2 - 31x + 30$, donde $x$ representa el tiempo en años. Encuentra los años exactos en los que el beneficio de la empresa fue nulo (puntos de equilibrio).
La posición de una partícula en movimiento rectilíneo viene dada por la ecuación $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Determina en qué…
La posición de una partícula en movimiento rectilíneo viene dada por la ecuación $s(t) = t^3 - 7t^2 + 14t - 8$, donde $t$ es el tiempo en segundos. Determina en qué instantes de tiempo la partícula pasa por el origen de coordenadas ($s(t) = 0$).
El área de un panel solar de forma rectangular se describe mediante el polinomio $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 4x + 3$. Si se conoce que la medida del ancho del panel es…
El área de un panel solar de forma rectangular se describe mediante el polinomio $A(x) = 2x^3 + 7x^2 + 4x + 3$. Si se conoce que la medida del ancho del panel es $x + 3$, encuentra el polinomio que representa su longitud.
La temperatura de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos) se modeliza mediante el polinomio $T(t) = -t^4 + 8t^3 - 17t^2 + 10t$. Determina en qué…
La temperatura de una reacción química en función del tiempo $t$ (en minutos) se modeliza mediante el polinomio $T(t) = -t^4 + 8t^3 - 17t^2 + 10t$. Determina en qué instantes de tiempo la temperatura de la reacción es exactamente de $0^\circ\text{C}$.
El volumen de un casquete esférico está dado por la fórmula $V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, donde $R$ es el radio de la esfera y $h$ la altura del casquete. Si el radio…
El volumen de un casquete esférico está dado por la fórmula $V = \frac{\pi h^2}{3}(3R - h)$, donde $R$ es el radio de la esfera y $h$ la altura del casquete. Si el radio de una esfera es $R = 5\text{ cm}$ y se quiere obtener un casquete con un volumen de $V = \frac{52\pi}{3}\text{ cm}^3$, plantea la ecuación correspondiente y utiliza la regla de Ruffini para encontrar la altura $h$.
Patrones, ecuaciones e inecuaciones
La división sintética también sirve para descubrir patrones. Al dividir $x^3-27$ entre $x-3$ con coeficientes $1,0,0,-27$ sale $1$; $3$; $9$; $0$. El cociente es $x^2+3x+9$: cada coeficiente es una potencia de $3$.
Para resolver una ecuación polinómica como $x^3-7x^2+14x-8=0$, factoriza con la tabla y anula cada factor. Para una inecuación como $P(x)\ge0$, factoriza, ubica las raíces en la recta real y estudia el signo del producto en cada intervalo.
Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ entre $x - 2$. A partir del patrón observado en los coeficientes del cociente, deduce y escribe la…
Aplica la regla de Ruffini para dividir el polinomio $P(x) = x^5 - 32$ entre $x - 2$. A partir del patrón observado en los coeficientes del cociente, deduce y escribe la expresión general del polinomio cociente al dividir $x^n - a^n$ entre $x - a$.
Resuelve la inecuación polinómica $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Para ello, factoriza primero el polinomio utilizando la regla de Ruffini y luego estudia el signo…
Resuelve la inecuación polinómica $x^4 - 5x^3 + 5x^2 + 5x - 6 \ge 0$. Para ello, factoriza primero el polinomio utilizando la regla de Ruffini y luego estudia el signo en los intervalos correspondientes de la recta real.
Ampliación: parámetros a partir del residuo
Si un coeficiente es desconocido, una condición como «es divisible por $x-a$» o «el residuo es $c$» se convierte en una ecuación: el último número de la tabla debe valer lo que diga la condición.
Con dos parámetros se plantean dos condiciones y se resuelve el sistema de dos ecuaciones. Si piden divisibilidad por $(x-a)^2$, divide dos veces: ambos residuos deben ser $0$.
Determina el valor de la constante $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sea divisible exactamente por $x - 1$.
Determina el valor de la constante $k$ para que el polinomio $P(x) = x^3 - kx^2 + 3x - 2$ sea divisible exactamente por $x - 1$.
Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sea divisible exactamente por $x - 2$ y, al mismo tiempo, dé un…
Determina los valores de los parámetros $m$ y $n$ para que el polinomio $P(x) = x^4 - 3x^3 + mx + n$ sea divisible exactamente por $x - 2$ y, al mismo tiempo, dé un resto de $4$ al dividirlo entre $x + 1$.
Encuentra los valores de $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sea divisible por $(x - 2)^2$.
Encuentra los valores de $a$ y $b$ para que el polinomio $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 - 12x + 4$ sea divisible por $(x - 2)^2$.
Encuentra la expresión de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyo coeficiente principal sea $1$, sabiendo que se anula para $x = 1$ y $x = 2$, y que al dividirlo entre…
Encuentra la expresión de un polinomio de tercer grado $P(x)$ cuyo coeficiente principal sea $1$, sabiendo que se anula para $x = 1$ y $x = 2$, y que al dividirlo entre $x - 3$ se obtiene un resto de $10$.
Ampliación: cuando el divisor no es $x-a$
Dividir entre $x-\frac12$ no da problema: $a=\frac12$. Pero para dividir entre $2x-3$ hay que sacar el $2$ como factor: $2x-3=2\left(x-\frac32\right)$. Se aplica la tabla con $a=\frac32$ y el cociente de la tabla se divide entre 2.
Divide el polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ entre el binomio $x - \frac{1}{2}$ empleando la regla de Ruffini. Expresa el resultado final indicando cociente y…
Divide el polinomio $P(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 1$ entre el binomio $x - \frac{1}{2}$ empleando la regla de Ruffini. Expresa el resultado final indicando cociente y residuo.
Realiza la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ entre el binomio $2x - 3$ utilizando la regla de Ruffini. Ten en cuenta que debes adaptar el divisor para…
Realiza la división del polinomio $P(x) = 4x^3 - 8x^2 + 7x - 3$ entre el binomio $2x - 3$ utilizando la regla de Ruffini. Ten en cuenta que debes adaptar el divisor para poder aplicar el algoritmo y, posteriormente, ajustar el cociente y el residuo obtenidos.