Teorema del residuo
Yaritza trabaja en un taller de Santiago y quiere saber cuánto sobra al dividir un polinomio de costos entre $x-3$. Hacer la división completa es largo y se presta a errores. Hay un atajo: con una sola sustitución, el problema se resuelve en segundos. Ese atajo es el teorema del residuo, la base de todo el análisis de las raíces de una ecuación polinómica.
El teorema del residuo
Calcula, sin efectuar la división, el resto de dividir el polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$.
Calcula, sin efectuar la división, el resto de dividir el polinomio $P(x) = 3x^4 - 2x^3 + 5x - 7$ entre $x - 2$.
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -x^5 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5$ para $x = -1$ e indica qué significado tiene este valor respecto a la división polinómica de…
Calcula el valor numérico del polinomio $P(x) = -x^5 + 3x^3 - 2x^2 + x - 5$ para $x = -1$ e indica qué significado tiene este valor respecto a la división polinómica de $P(x)$ entre $x + 1$.
Determina el resto de la división de $P(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x - \frac{1}{2}$ entre $x - 2$ evaluando el polinomio.
Determina el resto de la división de $P(x) = \frac{1}{2}x^3 - \frac{3}{2}x^2 + x - \frac{1}{2}$ entre $x - 2$ evaluando el polinomio.
El teorema del factor: cuando el residuo es cero
Si el residuo $P(a)$ sale $0$, la división es exacta: $(x-a)$ es un factor de $P(x)$ y $a$ es una raíz. Es el mismo teorema aplicado al caso en que el residuo se anula.
Gráficamente, las raíces reales son los puntos donde la curva corta el eje $x$.
Determina si el polinomio $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ es divisible por $x + 4$ aplicando el teorema del resto.
Determina si el polinomio $Q(x) = x^3 + 4x^2 - x - 4$ es divisible por $x + 4$ aplicando el teorema del resto.
Comprueba mediante el teorema del resto si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.
Comprueba mediante el teorema del resto si $x = 3$ es una raíz del polinomio $P(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 6$.
Hallar un parámetro con una condición
Cuando un coeficiente es desconocido y se da el residuo (o se exige que la división sea exacta), se sustituye igual y la condición se convierte en una ecuación para esa incógnita. También puedes comparar dos residuos, como en «el residuo de $P$ entre $x-2$ es igual al de $Q$ entre $x+1$»: evalúas cada uno e igualas.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de dividir $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ entre $x - 1$ sea $4$.
Halla el valor del parámetro $k$ para que el resto de dividir $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 3x + 1$ entre $x - 1$ sea $4$.
Encuentra el valor de $m$ sabiendo que la división del polinomio $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ entre $x - 2$ es exacta.
Encuentra el valor de $m$ sabiendo que la división del polinomio $R(x) = x^4 + mx^3 - 2x^2 + 5x - 6$ entre $x - 2$ es exacta.
Sabiendo que el resto de dividir $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ entre $x + 2$ es $-7$, calcula el valor del coeficiente $a$.
Sabiendo que el resto de dividir $P(x) = x^3 - 2x^2 + ax + 5$ entre $x + 2$ es $-7$, calcula el valor del coeficiente $a$.
Determina el valor de $k$ para que el resto de dividir el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + x - k$ entre $x - 2$ sea idéntico al resto de dividir el polinomio…
Determina el valor de $k$ para que el resto de dividir el polinomio $P(x) = 2x^3 - kx^2 + x - k$ entre $x - 2$ sea idéntico al resto de dividir el polinomio $Q(x) = x^2 - kx + 3$ entre $x + 1$.
Construir un polinomio a partir de sus raíces
Si sabes que $r_1$, $r_2$ y $r_3$ son raíces de un polinomio de tercer grado, el teorema del factor dice que $(x-r_1)$, $(x-r_2)$ y $(x-r_3)$ son factores. Como el grado es $3$, no caben más factores que esos, salvo un número que multiplica todo: el coeficiente principal.
Si una de las raíces no se conoce, se deja como incógnita y se halla con otra condición, por ejemplo un valor $P(b)$ dado.
Un truco útil: si un polinomio deja el mismo residuo $c$ al dividir entre varios binomios $(x-a)$, entonces $P(a)=c$ para todos esos valores, y por tanto $P(x)-c$ se anula en ellos: $P(x)-c$ tiene esos factores.
Un polinomio $P(x)$ de tercer grado tiene como coeficiente principal $2$. Sabiendo que es divisible por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$, y que al dividirlo por $(x - 2)$ da un…
Un polinomio $P(x)$ de tercer grado tiene como coeficiente principal $2$. Sabiendo que es divisible por $(x - 1)$ y por $(x + 2)$, y que al dividirlo por $(x - 2)$ da un resto de $16$, determina la expresión completa del polinomio $P(x)$ en su forma desarrollada.
Encuentra la expresión desarrollada de un polinomio $P(x)$ de tercer grado tal que, al dividirlo por $x+1$, $x-2$ y $x+3$, deje en todos los casos el mismo resto igual a…
Encuentra la expresión desarrollada de un polinomio $P(x)$ de tercer grado tal que, al dividirlo por $x+1$, $x-2$ y $x+3$, deje en todos los casos el mismo resto igual a $5$, y que al dividirlo por $x-1$ deje un resto de $-7$.
Nota: Piensa en la relación entre el polinomio auxiliar $P(x) - 5$ y el teorema del factor.
Aplicaciones: valores de un modelo y raíces
Muchos modelos (posición, costo, crecimiento) son polinomios. Evaluar $P(a)$ da el valor del modelo en $a$, y el teorema del residuo lo interpreta: es el residuo de dividir entre $x-a$. Si $P(a)=0$, el modelo vale cero en ese punto y $a$ es raíz.
La posición de un móvil en línea recta en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por el polinomio $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (en metros). Utiliza el teorema…
La posición de un móvil en línea recta en función del tiempo $t$ (en segundos) viene dada por el polinomio $x(t) = -2t^3 + 8t^2 - 5t + 3$ (en metros). Utiliza el teorema del residuo para calcular la posición del móvil en el instante $t = 3$ y explica la relación conceptual entre el valor hallado y la división polinómica de $x(t)$ entre $t - 3$.
El costo de producción de $q$ miles de unidades de un componente electrónico sigue la ley $C(q) = 30q^4 - 180q^3 + 300q^2 + 720$ (en miles de pesos). Aplica el teorema…
El costo de producción de $q$ miles de unidades de un componente electrónico sigue la ley $C(q) = 30q^4 - 180q^3 + 300q^2 + 720$ (en miles de pesos). Aplica el teorema del resto para determinar el costo exacto de fabricar $4000$ unidades ($q=4$).
El crecimiento de una colonia de bacterias en un medio controlado se modela con el polinomio $P(t) = t^4 - 7t^3 + 17t^2 - 17t + 6$, donde $t$ es el tiempo en días y…
El crecimiento de una colonia de bacterias en un medio controlado se modela con el polinomio $P(t) = t^4 - 7t^3 + 17t^2 - 17t + 6$, donde $t$ es el tiempo en días y $P(t)$ representa la desviación respecto a la población inicial. Demuestra, utilizando el teorema del factor, que en los días $t=1$, $t=2$ y $t=3$ la población vuelve exactamente a su nivel inicial.
La deflexión de una viga en un punto $x$ (en metros) viene dada por el polinomio $D(x) = kx^4 - 2x^3 + 3x^2$. Sabiendo que la deflexión en $x = 2$ es de $20$ mm, halla…
La deflexión de una viga en un punto $x$ (en metros) viene dada por el polinomio $D(x) = kx^4 - 2x^3 + 3x^2$. Sabiendo que la deflexión en $x = 2$ es de $20$ mm, halla el valor de la constante $k$ apoyándote en el teorema del resto y determina cuál será la deflexión en la coordenada $x = -1$.
Ampliación: exponentes enormes
El teorema no distingue entre un polinomio de grado $3$ y uno de grado $2024$: sustituir cuesta igual. Solo hay que cuidar las potencias, y a veces los términos se cancelan.
En un sistema de seguridad criptográfico, una clave se genera evaluando un polinomio de grado muy alto. La clave corresponde exactamente al resto de dividir el polinomio…
En un sistema de seguridad criptográfico, una clave se genera evaluando un polinomio de grado muy alto. La clave corresponde exactamente al resto de dividir el polinomio $P(x) = x^{2024} - 3x^{2023} + 2x^5 - 7x + 4$ entre el binomio $x - 3$. Calcula el valor numérico de dicha clave de seguridad justificando tu respuesta.
Demuestra, aplicando el teorema del resto, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n$. Utiliza este resultado…
Demuestra, aplicando el teorema del resto, que el polinomio $P(x) = x^n - a^n$ es siempre divisible por $x - a$ para cualquier número natural $n$. Utiliza este resultado para deducir razonadamente el resto de la división de $x^5 - 32$ entre $x - 2$.
Ampliación: residuo al dividir entre un polinomio de grado 2
Si el divisor tiene grado $2$, el residuo puede ser de grado $1$: $R(x)=mx+n$. Si conoces las dos raíces $r_1$ y $r_2$ del divisor, evalúa en cada una.
Halla el resto de dividir el polinomio $P(x) = (x - 2)^{200} + (x - 1)^{100} - 5$ entre el polinomio de segundo grado $Q(x) = (x - 1)(x - 2)$. Nota: Recuerda que el…
Halla el resto de dividir el polinomio $P(x) = (x - 2)^{200} + (x - 1)^{100} - 5$ entre el polinomio de segundo grado $Q(x) = (x - 1)(x - 2)$.
Nota: Recuerda que el resto de dividir por un polinomio de grado 2 es, a lo sumo, de la forma $mx + n$. Aplica el teorema del resto evaluando estratégicamente en las raíces del divisor.
Vuelve al principio: Yaritza no necesita dividir. Basta con evaluar el polinomio en $x=3$.