Principis de la relativitat especial

Albert Einstein va publicar el 1905 la teoria especial de la relativitat a partir de dos postulats.

1. a) Enuncia amb les teves paraules el primer postulat, conegut com a principi de relativitat.
2. b) Enuncia el segon postulat, referit a la velocitat de la llum en el buit.
3. c) Indica a quin tipus de sistemes de referència s'aplica la teoria especial de la relativitat.

Indica quins dels següents sistemes de referència es poden considerar inercials i justifica cada resposta:

1. a) Un tren que frena en entrar a l'estació.
2. b) Una sonda que es desplaça per l'espai profund amb velocitat constant.
3. c) Una centrífuga de laboratori que gira amb velocitat angular constant.
4. d) Una estació de tren en repòs respecte al terra.

L'experiment de Michelson i Morley (1887) pretenia mesurar la velocitat de la Terra respecte a l'«èter», el medi en el qual se suposava que es propagava la llum, comparant la velocitat de la llum en direccions perpendiculars. L'esquema mostra l'interferòmetre emprat.

1. a) Quin resultat van obtenir?
2. b) Per què aquest resultat és incompatible amb la suma clàssica de velocitats?
3. c) Quin postulat d'Einstein el recull i què va passar amb la hipòtesi de l'èter?

Un passatger d'un tren que circula a $30\ \text{m/s}$ llança una pilota cap endavant a $10\ \text{m/s}$ respecte al tren.

1. a) Segons la transformació de Galileu, amb quina velocitat veu la pilota un observador a l'andana?
2. b) Escriu la regla de suma de velocitats de la física clàssica que has utilitzat.

Una nau s'allunya de la Terra a $0,6c$, és a dir, $1,8 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, i encén un focus de proa (dada: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). L'esquema resumeix la situació.

1. a) Quina velocitat prediria la física clàssica per a la llum del focus mesurada des de la Terra?
2. b) Quina velocitat mesura realment un observador terrestre?
3. c) Quina velocitat mesuraria aquest mateix observador si el focus estigués a la popa, apuntant cap a la Terra? Justifica-ho amb el segon postulat.

La composició relativista de velocitats és $u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u' \cdot v}{c^2}}$, on $u'$ és la velocitat d'un objecte respecte a un mòbil i $v$ la velocitat del mòbil respecte a terra. Una nau s'allunya de la Terra a $v = 0,8c$ i llança cap endavant una sonda a $u' = 0,5c$ respecte a la nau.

1. a) Calcula la velocitat de la sonda mesurada des de la Terra amb la fórmula clàssica de Galileu.
2. b) Calcula-la amb la fórmula relativista (pots treballar directament en unitats de $c$).
3. c) Comprova que el resultat relativista és menor que $c$ i demostra, substituint $u' = c$ a la fórmula, que si la sonda es mogués a la velocitat de la llum respecte a la nau, també es mesuraria a $c$ des de la Terra.

Un tren molt ràpid passa per davant d'una andana. En l'instant en què el centre del tren s'alinea amb un observador de l'andana, aquest veu dos centelleigs simultanis emesos des dels extrems del tren.

1. a) Els veurà també simultanis una viatgera asseguda al centre del tren?
2. b) Raona la resposta tenint en compte que el tren avança cap a un dels centelleigs i que la llum de tots dos viatja a $c$ també per a la viatgera.

Experiment mental d'Einstein: dos llamps cauen als extrems d'un vagó just quan el seu centre passa per un observador de l'andana, que veu els dos impactes al mateix temps. Una viatgera està dreta al centre del vagó. L'esquema representa la situació.

1. a) Descriu què veu la viatgera i explica per què, utilitzant que per a ella la llum de tots dos impactes també viatja a $c$ mentre ella avança cap a un d'ells.
2. b) Com s'anomena aquest fenomen pel qual dos successos simultanis per a un observador no ho són per a un altre?
3. c) Extreu una conclusió sobre l'existència d'un «ara» universal vàlid per a tota la galàxia.

Pot un cos amb massa assolir la velocitat de la llum en el buit? Respon i justifica-ho tenint en compte el segon postulat i que l'energia necessària per continuar accelerant el cos creixeria sense límit en apropar-se la seva velocitat a $c$.

Al Gran Col·lisionador d'Hadrons (LHC) els protons assoleixen velocitats de $0,9999c$ (dada: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la velocitat del protó en $\text{m/s}$.
2. b) Calcula quants $\text{m/s}$ li falten per assolir $c$.
3. c) L'accelerador continua subministrant energia al protó i, tanmateix, aquest mai no arriba a $c$. Explica per què i en què es manifesta aquesta energia extra.

Els avions supersònics superen la velocitat del so en l'aire, però cap objecte amb massa no pot assolir ni superar la velocitat de la llum en el buit.

1. a) En què es diferencia físicament la barrera del so de la barrera de la llum? Pensa en quin medi es propaga cada senyal i en quin postulat es recolza una d'elles.
2. b) Justifica, en termes d'energia, per què assolir $c$ és impossible per a un cos amb massa i no es tracta només d'una dificultat tècnica com ho va ser la barrera del so.