El moviment harmònic simple

Un gronxador oscil·la lliurement després d'una empenta. Comptant amb un cronòmetre, completa $15$ oscil·lacions completes en $30\ \text{s}$. La figura mostra el gronxador en tres posicions de la seva oscil·lació.

1. a) Defineix, aplicant-los al gronxador, els conceptes d'elongació, amplitud, període i freqüència.
2. b) Calcula el període $T$ i la freqüència $f$ de l'oscil·lació.

Un electrocardiograma registra un ritme cardíac de $75$ batecs per minut, perfectament regular. La figura representa el senyal registrat.

1. a) Calcula la freqüència del batec, en $\text{Hz}$.
2. b) Calcula el seu període, en segons: quant de temps passa entre dos batecs consecutius?

L'elongació d'una massa que oscil·la en una molla horitzontal ve donada, en unitats del Sistema Internacional, per $x = 0,1 \cdot \sen(20 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Quant valen l'amplitud $A$ i la freqüència angular $\omega$?
2. b) Calcula el període $T$ i la freqüència $f$ del moviment, recordant que $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega}$ i $f = \frac{1}{T}$.

Dos oscil·ladors idèntics vibren segons les equacions, en unitats del Sistema Internacional, $x_1 = 0,05 \cdot \sen(3 \cdot \pi \cdot t)$ i $x_2 = 0,05 \cdot \sen(3 \cdot \pi \cdot t + \frac{\pi}{2})$.

1. a) Quines magnituds tenen en comú tots dos moviments?
2. b) Calcula l'elongació inicial (en $t = 0$) de cadascun i explica en què es diferencien.

L'agulla d'una màquina de cosir puja i baixa amb un moviment harmònic simple d'amplitud $6\ \text{cm}$ i període $0,5\ \text{s}$. En l'instant inicial l'agulla passa per la posició d'equilibri movent-se en el sentit positiu, de manera que $\varphi_0 = 0$.

1. a) Calcula la freqüència angular $\omega$.
2. b) Escriu l'equació completa de l'elongació, $x = A \cdot \sen(\omega \cdot t + \varphi_0)$, expressant l'amplitud en metres.

Un punt del centre d'una corda de guitarra vibra amb un moviment harmònic simple d'amplitud $A = 2\ \text{mm}$ i freqüència $f = 440\ \text{Hz}$ (la nota «la» d'afinació). La velocitat màxima d'un oscil·lador és $v_{max} = A \cdot \omega$.

1. a) Calcula la freqüència angular $\omega$ de la vibració.
2. b) Expressa l'amplitud en metres i calcula la velocitat màxima del punt de la corda.

L'agulla enregistradora d'un sismògraf oscil·la segons l'equació $x = 0,06 \cdot \sen(8 \cdot \pi \cdot t)$, en unitats del Sistema Internacional. La velocitat en el moviment harmònic simple és $v = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t + \varphi_0)$. La gràfica de l'elongació en funció del temps és la de la figura.

1. a) Calcula el primer instant en què l'elongació val $x = 0,03\ \text{m}$ (la meitat de l'amplitud).
2. b) Calcula la velocitat de l'agulla en aquest instant.
3. c) En quina posició la velocitat és màxima i quant val?

El període d'un oscil·lador massa-molla és $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$. Al laboratori, un bloc de $m = 0,25\ \text{kg}$ oscil·la unit a una molla de constant elàstica $k = 100\ \text{N/m}$. Calcula el període de l'oscil·lació.

El període d'un pèndol simple és $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$. El llum del vestíbul d'un museu penja d'un cable de $l = 1\ \text{m}$ de longitud i oscil·la lleugerament després d'un corrent d'aire (pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Calcula el seu període d'oscil·lació.

Un pont penjant té una freqüència pròpia d'oscil·lació de $0,5\ \text{Hz}$. El vent, en envoltar els pilars, genera remolins que empenyen lateralment el pont un cop cada $2,0\ \text{s}$. La figura mostra com depèn l'amplitud de l'oscil·lació forçada de la freqüència de les empentes.

1. a) Calcula el període i la freqüència angular propis del pont.
2. b) Calcula la freqüència de les empentes del vent i compara-la amb la freqüència pròpia del pont.
3. c) Explica què és la ressonància i per què és perillosa en aquesta situació, encara que cada empenta sigui feble.
4. d) Proposa una modificació de disseny que eviti el problema i justifica-la indicant quina magnitud física canvia.