L'energia en el moviment oscil·latori

Una massa oscil·la horitzontalment unida a una molla, sense fregament, entre les posicions $x = -A$ i $x = +A$. La figura mostra l'oscil·lador amb aquestes posicions marcades.

1. a) En quina posició o posicions és màxima l'energia potencial elàstica?
2. b) En quina posició és màxima l'energia cinètica?
3. c) En quines posicions l'energia cinètica és nul·la? Justifica les teves respostes amb les fórmules $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ i $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$.

Les politges i l'arc d'un arc de tir esportiu es comporten en conjunt com una molla de constant equivalent $k = 300\ \text{N/m}$. En tensar-lo, la corda es desplaça $x = 0,1\ \text{m}$. Calcula l'energia potencial elàstica emmagatzemada, $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$.

L'energia mecànica d'un oscil·lador massa-molla és $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, on $A$ és l'amplitud. Al laboratori, un oscil·lador té $k = 200\ \text{N/m}$ i oscil·la amb amplitud $A = 0,05\ \text{m}$. Calcula la seva energia mecànica.

Un carro de $m = 0,5\ \text{kg}$ unit a una molla passa per la posició d'equilibri amb una velocitat de $2\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la seva energia cinètica en aquest punt.
2. b) Quant val en aquest punt la seva energia potencial elàstica? I la seva energia mecànica? Justifica-ho.

La membrana d'un altaveu es pot modelar com un oscil·lador massa-molla de massa $m = 0,4\ \text{kg}$ i constant elàstica efectiva $k = 250\ \text{N/m}$, que vibra amb amplitud $A = 0,08\ \text{m}$.

1. a) Calcula l'energia mecànica de la vibració.
2. b) Tota aquesta energia és cinètica en passar per l'equilibri: calcula la velocitat màxima de la membrana.
3. c) Comprova que coincideix amb el valor que dóna l'expressió $v_{max} = A \cdot \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Un oscil·lador massa-molla té una energia mecànica constant $E_m$.

1. a) Descriu com varia l'energia potencial elàstica $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ amb la posició: quina forma té la seva gràfica enfront de $x$ entre $-A$ i $+A$?
2. b) L'energia cinètica a cada punt és $E_c = E_m - E_p$. Descriu com varia $E_c$ amb la posició.
3. c) Què representa el punt on es creuen les gràfiques de $E_c$ i $E_p$? Dibuixa al teu quadern les tres gràfiques ($E_p$, $E_c$ i $E_m$) enfront de la posició.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un carro de $m = 0,5\ \text{kg}$ oscil·la sobre una taula sense fregament unit a una molla de $k = 400\ \text{N/m}$, amb amplitud $A = 0,1\ \text{m}$. La figura mostra com es reparteix l'energia de l'oscil·lador en funció de la posició.

1. a) Calcula l'energia mecànica de l'oscil·lador, $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Calcula l'energia potencial elàstica quan l'elongació és $x = 0,06\ \text{m}$.
3. c) Calcula l'energia cinètica en aquest mateix punt i, a partir d'aquesta, la velocitat del carro.

Un oscil·lador massa-molla té $k = 100\ \text{N/m}$ i oscil·la amb amplitud $A = 0,1\ \text{m}$.

1. a) Calcula l'energia mecànica i l'energia potencial elàstica en els punts $x = 0$, $x = 0,05\ \text{m}$ i $x = 0,1\ \text{m}$.
2. b) Calcula l'energia cinètica en aquests mateixos tres punts.
3. c) Amb aquests valors, dibuixa al teu quadern les gràfiques de $E_p(x)$, $E_c(x)$ i $E_m(x)$ entre $-A$ i $+A$ i descriu-les: forma de cada corba, punts de tall amb els eixos i punt d'encreuament entre $E_p$ i $E_c$.
4. d) Calcula la posició exacta on les gràfiques de $E_p$ i $E_c$ es creuen.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

La bola d'acer d'una màquina de demolició penja d'un cable de $l = 2\ \text{m}$ i es deixa anar des del repòs quan el cable forma un angle de $60^\circ$ amb la vertical (pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). L'altura que descendeix respecte al punt més baix és $h = l \cdot (1 - \cos 60^\circ)$. La situació es mostra a la figura.

1. a) Calcula aquesta altura $h$.
2. b) Aplica la conservació de l'energia, $m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$, i calcula la velocitat de la bola en passar pel punt més baix.
3. c) Depèn aquesta velocitat de la massa de la bola? Justifica-ho.

El tambor d'una rentadora, durant el centrifugat, vibra amb una energia mecànica de $1,44\ \text{J}$. Els amortidors que el subjecten es comporten com una molla de constant efectiva $k = 200\ \text{N/m}$.

1. a) Aïlla l'amplitud de la fórmula $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Calcula l'amplitud de la vibració, en metres, i expressa-la també en centímetres.

Un oscil·lador real amb fregament perd el $10\ \%$ de la seva energia mecànica a cada cicle. Parteix amb una energia inicial $E_0 = 2\ \text{J}$. La figura mostra com decreix l'amplitud de l'oscil·lació amb el temps.

1. a) Calcula l'energia mecànica que li queda després de $5$ cicles.
2. b) Tenint en compte que $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, és a dir, que l'energia és proporcional al quadrat de l'amplitud, calcula en quin factor s'ha reduït l'amplitud després d'aquests $5$ cicles.
3. c) En què s'ha transformat l'energia perduda? Explica per què el període de l'oscil·lació, tanmateix, gairebé no canvia encara que l'amplitud disminueixi (pista: de quines magnituds depèn $T$?).