Flux elèctric i teorema de Gauss

Un dipol elèctric és un conjunt de dues càrregues iguals i de signe contrari, $+q$ i $-q$, molt properes entre si; la molècula d'aigua, per exemple, es comporta com un dipol. Dibuixa al teu quadern les línies de camp d'un dipol.

1. a) En quina càrrega neixen les línies de camp i en quina acaben?
2. b) Assenyala al teu dibuix una zona on el camp sigui intens i una altra on sigui feble, justificant-ho per la densitat de línies.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Dues càrregues positives iguals són properes entre si. Dibuixa al teu quadern les seves línies de camp.

1. a) Què li passa al camp total en el punt mitjà del segment que uneix les càrregues? Relaciona-ho amb l'aspecte del teu dibuix.
2. b) Es poden creuar dues línies de camp en un punt? Raona què significaria un encreuament per al vector $\vec{E}$ en aquest punt.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Considera un dipol format per les càrregues $+q$ i $-q$, i aquests punts de l'espai: els de l'eix que uneix les càrregues (fora del segment) i els de la mediatriu (la recta perpendicular al segment pel seu punt mitjà). Dibuixa al teu quadern els vectors camp de cada càrrega en aquests punts.

1. a) Raona cap a on apunta el camp total en un punt de l'eix situat fora del segment (analitza quin camp domina i el seu sentit).
2. b) Raona cap a on apunta el camp total en un punt de la mediatriu (pista: fixa't en quines components es cancel·len i quines se sumen).

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un camp elèctric uniforme $E = 500\ \text{N/C}$ travessa perpendicularment una superfície plana de $0,2\ \text{m}^2$ (la normal a la superfície és paral·lela al camp, $\alpha = 0^\circ$). Calcula el flux del camp a través de la superfície.

Un full pla de $0,5\ \text{m}^2$ es troba dins d'un camp elèctric uniforme $E = 300\ \text{N/C}$, orientat de manera que les línies de camp són paral·leles al full. Observa l'esquema:

1. a) Quant val l'angle $\alpha$ entre el camp i la normal al full?
2. b) Calcula el flux a través del full i explica, pensant en les línies de camp, per què surt aquest valor.

Un camp elèctric uniforme $E = 200\ \text{N/C}$ travessa una superfície plana de $0,5\ \text{m}^2$ la normal de la qual forma un angle de $60^\circ$ amb el camp ($\cos 60^\circ = 0,5$). Calcula el flux del camp a través de la superfície.

El teorema de Gauss afirma que el flux net del camp elèctric a través d'una superfície tancada depèn únicament de la càrrega neta continguda al seu interior. La figura mostra una càrrega exterior propera a una superfície tancada.

1. a) Si una superfície tancada no conté cap càrrega, quant val el flux net a través d'ella?
2. b) Significa això que el camp elèctric és nul en tots els punts de la superfície? Raona la teva resposta considerant una càrrega puntual situada fora de la superfície, però molt a prop d'ella.

Una caixa cúbica d'aresta $a = 10\ \text{cm}$ està immersa en un camp elèctric uniforme $E = 3\cdot10^{3}\ \text{N/C}$, paral·lel a una de les seves arestes. La caixa no conté cap càrrega. Observa l'esquema:

1. a) Calcula el flux a través de cadascuna de les sis cares del cub, indicant el signe en cada cas (conveni: el flux és positiu quan les línies surten de la superfície tancada i negatiu quan hi entren).
2. b) Calcula el flux net a través de tota la superfície del cub i explica, amb el teorema de Gauss, per què té aquest valor.

Una càrrega puntual $Q = 6\ \text{nC}$ és a l'interior d'una superfície esfèrica (pren $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$).

1. a) Aplica el teorema de Gauss, $\Phi = \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}$, i calcula el flux net del camp a través de l'esfera.
2. b) Canviaria el resultat si l'esfera tingués el doble de radi? Justifica-ho.

Una càrrega puntual $Q = 4\ \text{nC}$ està situada fora d'una superfície esfèrica tancada, a una certa distància d'aquesta (dades: $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$).

1. a) Quant val el flux net del camp a través de l'esfera? Aplica el teorema de Gauss i justifica el resultat.
2. b) És nul també el camp elèctric en els punts de la superfície? Raona la diferència entre flux net i camp en cada punt.
3. c) Calcula el camp que crea $Q$ en el punt de l'esfera més proper a ella, situat a $30\ \text{cm}$ de la càrrega.

Una superfície tancada conté les càrregues $Q_1 = 7\ \text{nC}$ i $Q_2 = -2\ \text{nC}$; una tercera càrrega $Q_3 = 8\ \text{nC}$ està situada fora de la superfície (pren $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$). Observa l'esquema:

1. a) Calcula la càrrega neta continguda per la superfície.
2. b) Calcula el flux net del camp a través d'ella.
3. c) Justifica per què $Q_3$ no intervé en el càlcul, tot i que sí que contribueix al camp elèctric en cada punt de la superfície.
4. d) Si $Q_2$ passés a valer $-7\ \text{nC}$, quant valdria el flux net? Significaria això que el camp és nul a la superfície? Raona la resposta.

Un mesurador registra el flux del camp elèctric a través d'una superfície tancada dividida en dues regions: per la regió 1 el flux és $\Phi_1 = -200\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}$ (les línies hi entren) i per la regió 2 és $\Phi_2 = +350\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}$ (les línies en surten); no hi ha més regions (pren $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$). La figura mostra les dues regions i el sentit de les línies.

1. a) Calcula el flux net a través de la superfície completa.
2. b) Dedueix el signe de la càrrega neta continguda i calcula el seu valor aplicant el teorema de Gauss.
3. c) Raona què els passaria als dos fluxos mesurats si la càrrega continguda es dupliqués, mantenint-se tota la resta igual.

Una cúpula semiesfèrica de radi $R = 0,3\ \text{m}$, amb la base horitzontal, està immersa en un camp elèctric uniforme i vertical $E = 400\ \text{N/C}$. Observa l'esquema:

1. a) Raona que el flux a través de la superfície corba de la cúpula és el mateix que a través de la seva projecció horitzontal (el cercle de la base): les línies de camp que creuen la semiesfera són exactament les que creuen la seva base.
2. b) Calcula aquest flux.
3. c) Si la cúpula es tanqués amb la seva base plana, formant una superfície tancada sense càrrega a l'interior, quant valdria el flux net? Explica com es compensen els fluxos de la part corba i de la base.

Un programa de simulació dibuixa el mapa de línies del camp elèctric d'una distribució de càrregues: en una regió A, $12$ línies creuen cada $\text{cm}^2$ perpendicular al camp, i en una regió B, només $4$ línies. Observa l'esquema:

1. a) Quina relació tenen els mòduls del camp a A i a B? Justifica-ho a partir del significat de la densitat de línies.
2. b) Si a la regió B el camp val $200\ \text{N/C}$, calcula el flux a través d'una superfície de $0,05\ \text{m}^2$, perpendicular al camp, situada a la regió A.
3. c) El nombre de línies que travessen una superfície és proporcional al flux, i les línies només neixen o acaben on hi ha càrregues: utilitza aquestes dues idees per explicar qualitativament el teorema de Gauss, és a dir, per què el flux net a través d'una superfície tancada «compta» la càrrega tancada.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una càrrega puntual $Q = 4\ \text{nC}$ està al centre d'una superfície esfèrica de radi $R = 0,2\ \text{m}$ (dades: $\varepsilon_0 = 8,85\cdot10^{-12}\ \frac{\text{C}^2}{\text{N}\cdot\text{m}^2}$; $K = \frac{1}{4 \cdot \pi \cdot \varepsilon_0} = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula el flux net a través de l'esfera aplicant el teorema de Gauss.
2. b) Per simetria, el camp és radial i té el mateix mòdul en tots els punts de l'esfera, de manera que $\Phi = E \cdot 4 \cdot \pi \cdot R^2$. Aïlla $E$ i calcula-la.
3. c) Calcula el mateix camp amb la llei de Coulomb, $E = K \cdot \frac{Q}{R^2}$, i comprova que coincideix.
4. d) Extreu una conclusió sobre la relació entre el teorema de Gauss i la llei de Coulomb.