El principi d'incertesa

El $1927$, Heisenberg va enunciar el principi d'incertesa.

1. a) Enuncia'l amb les teves paraules.
2. b) Quin parell de magnituds relaciona? Escriu la seva expressió matemàtica.
3. c) Explica què signifiquen $\Delta x$ i $\Delta p$ en aquesta expressió: què representa cada incertesa?

Un company afirma: «El principi d'incertesa es deu al fet que els nostres instruments de mesura són imperfectes; amb aparells millors desapareixeria».

1. a) Explica si aquesta afirmació és correcta: és el principi una limitació tecnològica o una propietat intrínseca de la naturalesa?
2. b) Assenyala la diferència entre la incertesa quàntica $\Delta x$ i l'error de mesura ordinari d'un regle o d'un cronòmetre.

Parteix de l'expressió $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$ i raona sense calculadora:

1. a) Si la incertesa en la posició es redueix a la meitat, què li passa a la incertesa mínima del moment?
2. b) I si $\Delta x$ es multiplica per deu?
3. c) Resumeix la relació entre ambdues incerteses: poden ser totes dues arbitràriament petites alhora?

Un electró està confinat en una regió de mida $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ (la mida d'un àtom). El principi d'incertesa estableix $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$, amb $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula la incertesa mínima del seu moment lineal, $\Delta p$.
2. b) Si l'electró estigués confinat en una regió deu vegades menor, $\Delta x = 10^{-11}\ \text{m}$, quant valdria $\Delta p$? Raona la proporcionalitat.

Un electró està confinat en un àtom, de mida $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ i $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la incertesa mínima del seu moment lineal, $\Delta p$.
2. b) Calcula la incertesa en la seva velocitat, $\Delta v = \frac{\Delta p}{m_e}$.
3. c) La velocitat típica de l'electró a l'àtom és de l'ordre de $10^{6}\ \text{m/s}$ (dada): compara $\Delta v$ amb aquesta velocitat i explica per què no té sentit assignar a l'electró una òrbita precisa.

Un electró i un protó estan confinats cadascun en una regió de la mateixa mida, $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ i $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Quina de les dues partícules té major incertesa mínima en el moment lineal? Justifica-ho mirant la fórmula: hi apareix la massa?
2. b) Calcula la incertesa en la velocitat de cada partícula.
3. c) Explica per què la massa no influeix en $\Delta p$ però sí en $\Delta v$, i quina conseqüència té això per a la partícula més pesant.

Una pilota de futbol es mou pel camp i, en principi, també està sotmesa al principi d'incertesa.

1. a) Explica, recolzant-te en el valor de $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, per què el principi no té conseqüències pràctiques en els objectes quotidians.
2. b) Quines dues característiques dels objectes macroscòpics (massa i mida) fan que les incerteses quàntiques siguin menyspreables enfront de les mesures ordinàries?

Una bala de $10\ \text{g}$ travessa un detector que determina la seva posició amb una incertesa $\Delta x = 10^{-5}\ \text{m}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula la incertesa mínima del moment lineal de la bala.
2. b) Calcula la incertesa de la seva velocitat.
3. c) La bala porta una velocitat de $400\ \text{m/s}$: calcula el quocient $\frac{\Delta v}{v}$ i conclou si la incertesa quàntica és apreciable en aquesta mesura.

Confinem en la mateixa regió, $\Delta x = 10^{-6}\ \text{m}$, un borrissol de pols de $10^{-15}\ \text{kg}$ i un electró. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ i $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la incertesa mínima del moment lineal: és la mateixa per a tots dos? Justifica-ho.
2. b) Calcula la incertesa de la velocitat del borrissol de pols i la de l'electró.
3. c) Raona, a la vista dels resultats, quina magnitud decideix si els efectes quàntics són rellevants per a un objecte: la seva mida de confinament, la seva massa o totes dues.
4. d) Extrapola: explica per què cap experiment de laboratori no ha observat mai incertesa quàntica apreciable en objectes visibles a simple vista.

En mecànica clàssica, una partícula segueix una trajectòria: en cada instant té una posició i una velocitat exactes. En mecànica quàntica es parla de probabilitats i d'orbitals.

1. a) Explica, utilitzant el principi d'incertesa, per què el concepte de trajectòria exacta perd sentit per a un electró.
2. b) Quina informació dóna un orbital sobre l'electró, en lloc de la seva trajectòria?
3. c) Relaciona l'anterior amb el pas del model de Bohr (òrbites) al model quàntic actual (orbitals).

Abans de descobrir-se el neutró es va pensar que el nucli podia contenir electrons. Comprova amb el principi d'incertesa què passaria si un electró estigués confinat en un nucli de mida $\Delta x = 10^{-15}\ \text{m}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ i $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la incertesa mínima del moment lineal de l'electró.
2. b) Calcula la incertesa de la seva velocitat.
3. c) Compara $\Delta v$ amb la velocitat de la llum i extreu-ne la conclusió: pot un electró estar confinat de manera estable al nucli?

El principi d'incertesa permet estimar l'energia mínima d'una partícula confinada: si el moment és de l'ordre de $\Delta p$, la seva energia cinètica és de l'ordre de $E_c \approx \frac{\Delta p^2}{2\cdot m}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ i $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Estima l'energia cinètica mínima d'un electró confinat en un àtom, $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$, i expressa-la en electrons-volt. Compara-la amb les energies típiques dels enllaços químics, d'uns pocs electrons-volt (dada).
2. b) Estima l'energia cinètica mínima d'un protó confinat en un nucli, $\Delta x = 10^{-15}\ \text{m}$, i expressa-la en $\text{MeV}$ ($1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$).
3. c) Conclou: explica com el principi d'incertesa justifica que les energies dels processos nuclears siguin milions de vegades superiors a les dels processos atòmics.