Contracció de la longitud, dilatació del temps i energia relativista

La contracció de la longitud és $L = \frac{L_0}{\gamma}$. Una nau mesura $L_0 = 100\ \text{m}$ en repòs i viatja amb $\gamma = 2$. Quina longitud mesura un observador a la Terra?

El factor de Lorentz és $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, d'on $v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$.

1. a) Calcula la velocitat d'una nau que viatja amb $\gamma = 2$, expressada com a fracció de $c$.
2. b) Expressa aquesta velocitat en $\text{m/s}$ (dada: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

Un fenomen dura $\Delta t_0 = 10\ \text{s}$ mesurat en el seu propi sistema de referència. Per a un observador que el veu passar a gran velocitat, el factor de Lorentz val $\gamma = 2$. Sabent que la dilatació del temps és $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$, quant dura el fenomen per a aquest observador?

Un astronauta viatja en una nau amb $\gamma = 1,25$. Des de la Terra es mesura que el viatge dura $8$ anys.

1. a) Utilitzant $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$, quants anys envelleix l'astronauta?
2. b) Si va partir amb $30$ anys, quina edat té en tornar i quina edat té el seu germà bessó, que es va quedar a la Terra?

Un muó es crea a $15\ \text{km}$ d'alçada, viatja a $v = 0,9995c$ amb $\gamma = 31,6$ i la seva vida mitjana pròpia és $2,2\ \mu\text{s}$ (dada: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). La figura compara els dos punts de vista.

1. a) Calcula la seva vida mitjana vista des de la Terra ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$).
2. b) Calcula la distància mitjana que recorre segons la Terra i conclou si pot arribar a la superfície.
3. c) Des del punt de vista del muó, la seva vida és de $2,2\ \mu\text{s}$ però l'atmosfera es contreu: calcula el gruix d'atmosfera que travessa ($L = \frac{L_0}{\gamma}$) i la distància que recorre en la seva vida pròpia, i comprova que arriba a la mateixa conclusió que a b).
4. d) Explica per què ambdós observadors estan d'acord en el resultat final (el muó arriba a terra) encara que ho expliquin de manera diferent.

La contracció de la longitud només afecta la dimensió paral·lela al moviment. Una nau de $50\ \text{m}$ de llargària pròpia i $20\ \text{m}$ d'alçada viatja horitzontalment amb $\gamma = 1,25$. La figura mostra les seves dimensions pròpies.

1. a) Quina longitud mesura des de la Terra ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) Quina alçada mesura des de la Terra? Justifica-ho.

Una nau de longitud pròpia $L_0 = 120\ \text{m}$ viatja amb $\gamma = 1,5$.

1. a) Quina longitud mesura un observador terrestre ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) Si el viatge dura $10$ anys per a la Terra, quant dura per a la tripulació ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
3. c) Raona quin dels dos observadors mesura el temps propi del viatge i per què.

Proxima Centauri, l'estel més proper al Sol, està a $4,2$ anys llum mesurats des de la Terra. Una nau viatja cap allà amb $\gamma = 2$, la qual cosa correspon a $v = 0,866c$ (s'obté de $v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$). Recorda que un any llum és la distància que recorre la llum en un any. L'esquema resumeix el viatge.

1. a) Quant dura el viatge per als observadors terrestres?
2. b) Quant dura per a la tripulació ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
3. c) Quina distància Terra-estel mesura la tripulació ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
4. d) Comprova la coherència dels resultats: la tripulació ha de recórrer la distància contreta de l'apartat c) a la velocitat $0,866c$ en el temps de l'apartat b). Verifica-ho numèricament.

L'energia associada a una massa en repòs és $E = m \cdot c^2$, amb $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$. Calcula l'energia corresponent a $1\ \text{kg}$ de massa i expressa-la en notació científica.

El Sol radia una potència de $3,9 \cdot 10^{26}\ \text{W}$ convertint part de la seva massa en energia.

1. a) Calcula l'energia que emet cada segon.
2. b) Utilitzant $E = m \cdot c^2$ amb $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, calcula la massa que el Sol converteix en energia cada segon.
3. c) Expressa el resultat en tones ($1\ \text{t} = 10^{3}\ \text{kg}$).

En una tomografia per emissió de positrons (PET), un positró emès per un traçador radioactiu s'anihila amb un electró del teixit i tota la seva massa es converteix en energia, emesa en dos fotons gamma. La massa de cada partícula és $9,11 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$ (dada: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). L'esquema representa el procés.

1. a) Calcula la massa total que s'anihila en el succés.
2. b) Calcula l'energia alliberada ($E = m \cdot c^2$).
3. c) Quina energia porta cada fotó, si tots dos es reparteixen l'energia a parts iguals?
4. d) Explica per què l'anihilació matèria-antimatèria és el procés de conversió de massa en energia més eficient possible i compara'l amb la fusió solar, que converteix menys de l'$1\ \%$ de la massa.

El Sol té una massa de $2 \cdot 10^{30}\ \text{kg}$ i radia una potència de $3,9 \cdot 10^{26}\ \text{W}$ convertint massa en energia ($E = m \cdot c^2$; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la massa que el Sol perd cada segon.
2. b) Calcula la massa perduda en $10^{10}$ anys ($3,2 \cdot 10^{17}\ \text{s}$), de l'ordre de la seva vida total.
3. c) Quina fracció de la massa solar representa? Expressa-la en tant per cent.
4. d) Conclou si la radiació canvia apreciablement la massa del Sol al llarg de la seva vida i comenta per què la seva gravetat amb prou feines es veu afectada.