Tractament vectorial del camp elèctric

Una càrrega de prova $q = 2\,\mu\text{C}$, col·locada en un punt d'un dispositiu del laboratori, experimenta una força elèctrica de $0,06\ \text{N}$. La situació es representa a la figura.

1. a) Calcula la intensitat del camp elèctric en aquest punt, $E = \frac{F}{q}$, i indica la seva unitat en el Sistema Internacional.
2. b) Com que la càrrega és positiva, quina relació tenen la direcció i el sentit de $\vec{E}$ amb els de la força $\vec{F}$?

Per mesurar el camp elèctric en un punt es fa servir una càrrega de prova.

1. a) Explica què és una càrrega de prova i per què convé que el seu valor sigui petit, de manera que no pertorbi les càrregues que creen el camp.
2. b) Escriu l'expressió del camp que crea una càrrega puntual $Q$ a una distància $r$ i raona, a partir d'aquesta, per què el camp no depèn de la càrrega de prova que s'utilitzi per mesurar-lo.

Una petita esfera carregada amb $Q = 5\,\mu\text{C}$ crea un camp elèctric al seu voltant (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Observa l'esquema:

1. a) Calcula el mòdul del camp a $0,3\ \text{m}$ de l'esfera.
2. b) Indica la direcció i el sentit del camp en aquest punt, raonant-ho a partir del signe de la càrrega.

Una sonda espacial acumula, pel bombardeig de partícules solars, una càrrega neta de $2\ \text{nC}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Suposa la sonda aproximadament puntual.

1. a) Calcula el mòdul del camp elèctric que crea a $10\ \text{cm}$ de la seva superfície (expressa la distància en metres).
2. b) Calcula també el camp a $1\ \text{m}$ i comprova en quin factor s'ha reduït en multiplicar la distància per deu.

Un sensor mesura un camp elèctric de $4500\ \text{N/C}$ a $2\ \text{m}$ del centre d'una esfera metàl·lica carregada del laboratori; el camp apunta cap a l'esfera (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). La situació es representa a la figura.

1. a) Aïlla la càrrega de l'expressió $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$ i calcula el seu valor absolut.
2. b) Raona, a partir del sentit del camp mesurat, quin és el signe de la càrrega de l'esfera.

A partir de la definició $E = \frac{F}{q}$, indica quines d'aquestes expressions són unitats vàlides per a la intensitat del camp elèctric i raona cada resposta:

1. a) $\text{N/C}$
2. b) $\text{N}\cdot\text{C}$
3. c) $\text{V/m}$ (tingues en compte que $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$)
4. d) $\text{J/C}$

Entre les plaques d'un condensador hi ha un camp elèctric uniforme $\vec{E} = 3\cdot10^{4}\,\vec{j}\ \text{N/C}$. Al seu interior es col·loca una partícula amb càrrega $q = -4\,\mu\text{C}$, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula el vector força elèctrica sobre la partícula, $\vec{F} = q \cdot \vec{E}$, expressant-lo amb el vector unitari corresponent.
2. b) Raona per què, com que la càrrega és negativa, la força té sentit contrari al camp.

En un tub de raigs catòdics, un electró travessa una regió amb camp elèctric uniforme $E = 1000\ \text{N/C}$ (dades: càrrega elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa de l'electró $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$).

1. a) Calcula la força elèctrica sobre l'electró.
2. b) Calcula la seva acceleració aplicant la segona llei de Newton, $a = \frac{F}{m_e}$.

Dues càrregues puntuals $q_1 = 3\,\mu\text{C}$ i $q_2 = -2\,\mu\text{C}$ són sobre l'eix $x$, a $x_1 = 0$ i $x_2 = 1\ \text{m}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). La figura mostra la disposició de les càrregues.

1. a) Calcula el camp (mòdul i sentit) que crea cada càrrega en el punt $x = 3\ \text{m}$.
2. b) Aplica el principi de superposició i calcula el camp total en aquest punt, indicant-ne la direcció i el sentit.

Una càrrega $Q = 8\ \text{nC}$ està fixa en un suport aïllant del laboratori (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula el camp elèctric (mòdul, direcció i sentit) a $25\ \text{cm}$ de la càrrega.
2. b) Calcula la força (mòdul, direcció i sentit) que experimentaria una càrrega $q_0 = 3\,\mu\text{C}$ col·locada en aquest punt, utilitzant $\vec{F} = q_0 \cdot \vec{E}$.

Dues càrregues puntuals $q_1 = 4\,\mu\text{C}$ i $q_2 = -4\,\mu\text{C}$ ocupen, respectivament, l'origen de coordenades i el punt $(0, 3)$, amb les coordenades en metres (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Es vol trobar el camp en el punt $P(4, 0)$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula el vector $\vec{E}_1$ que crea $q_1$ a $P$.
2. b) Calcula el mòdul del camp que crea $q_2$ a $P$ i, tenint en compte que aquest camp apunta des de $P$ cap a la càrrega negativa (vector unitari $-\frac{4}{5}\,\vec{i} + \frac{3}{5}\,\vec{j}$), escriu el vector $\vec{E}_2$.
3. c) Aplica el principi de superposició: calcula el vector camp total a $P$ i el seu mòdul.

En una impressora d'injecció, les gotes de tinta carregades es desvien amb un camp elèctric. Per estudiar el principi, considera un electró que entra amb velocitat horitzontal $v_0 = 3\cdot10^{7}\ \text{m/s}$ en una regió de longitud $L = 10\ \text{cm}$ on hi ha un camp vertical uniforme $E = 10^{4}\ \text{N/C}$, perpendicular a la seva velocitat (dades: càrrega elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa de l'electró $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$). L'esquema mostra el muntatge.

1. a) Calcula l'acceleració de l'electró a la regió del camp i indica'n la direcció i el sentit.
2. b) Calcula el temps que triga a travessar la regió.
3. c) Suposant el moviment horitzontal uniforme i el vertical uniformement accelerat (com en el tir parabòlic), calcula la desviació vertical a la sortida, $y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.
4. d) Raona quina forma té la trajectòria dins del camp i quin tipus de moviment porta l'electró després de sortir-ne.

Dues càrregues puntuals $q_1 = q$ i $q_2 = -2 \cdot q$, amb $q > 0$, són sobre l'eix $x$, a $x_1 = 0$ i $x_2 = 3\ \text{m}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Prediu, justificant-ho amb el sentit dels camps i amb el valor absolut de les càrregues, en quina regió de l'eix es pot anul·lar el camp total: entre les càrregues o fora del segment?, i de quin costat?
2. b) Planteja l'equació de camp nul i resol-la, obtenint el punt exacte.
3. c) Explica per què el resultat no depèn del valor de $q$.

En una cambra d'un accelerador lineal de partícules hi ha un camp elèctric vertical uniforme $E = 5\cdot10^{3}\ \text{N/C}$. Hi entren, per separat i amb la mateixa velocitat horitzontal, un protó i un electró (dades: càrrega elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa de l'electró $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; massa del protó $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$).

1. a) Compara els mòduls de les forces elèctriques sobre ambdues partícules i raona per què són iguals.
2. b) Calcula l'acceleració de cadascuna.
3. c) Calcula el quocient $\frac{a_e}{a_p}$ i relaciona-ho amb el quocient de masses $\frac{m_p}{m_e}$.
4. d) Prediu i justifica: es desvien les dues partícules cap al mateix costat? En el mateix temps de vol, quina es desvia més i quantes vegades més?