Intensitat del camp d'un sistema de masses

El camp gravitatori $\vec{g}$ en un punt es defineix com la força per unitat de massa que actuaria sobre una massa de prova col·locada en aquest punt: $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$.

1. a) A partir d'aquesta definició, demostra que $1\ \text{N/kg} = 1\ \text{m/s}^2$.
2. b) Explica amb les teves paraules què significa que en un punt de l'espai el camp valgui $g = 3,7\ \text{N/kg}$: quina força patiria una massa de $1\ \text{kg}$? I una de $10\ \text{kg}$?

El camp gravitatori és una magnitud vectorial.

1. a) Indica la direcció i el sentit del vector $\vec{g}$ creat per la Terra en un punt qualsevol del seu entorn.
2. b) Dibuixa al teu quadern el vector camp gravitatori en vuit punts repartits al voltant del planeta (un mapa del camp): què tenen en comú les direccions de tots els vectors i com canvia el mòdul en allunyar-se del planeta?
3. c) Explica per què es diu que el camp gravitatori és central i atractiu.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El valor de la gravetat a la superfície terrestre es pot obtenir a partir de la llei de la gravitació universal, com es mostra a la figura.

1. a) Partint de la llei de la gravitació universal i de la definició de camp gravitatori (força per unitat de massa), dedueix l'expressió del mòdul del camp gravitatori $g$ que crea un planeta esfèric de massa $M$ i radi $R$ a la seva superfície.
2. b) Calcula el seu valor per a la Terra. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.
3. c) Compara el resultat amb el valor habitual $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

Abans d'enviar una missió tripulada a Mart convé conèixer la gravetat a la seva superfície.

1. a) Calcula el mòdul del camp gravitatori a la superfície de Mart. Dades: massa de Mart $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$, radi de Mart $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) El radi de Mart és aproximadament la meitat del terrestre i, tanmateix, la seva gravetat és bastant menor que la meitat de la terrestre: explica a què es deu fixant-te en la massa.

Els astronautes del programa Apol·lo van comprovar que a la Lluna els objectes pesen molt menys que a la Terra.

1. a) Calcula el camp gravitatori a la superfície de la Lluna. Dades: massa de la Lluna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, radi lunar $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Calcula el quocient $\frac{g_T}{g_L}$ prenent $g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$ i comprova que val aproximadament $6$.

Dues masses puntuals, $m_1 = 5,0\ \text{kg}$ i $m_2 = 10\ \text{kg}$, estan fixes en una bancada de laboratori, en les posicions $x_1 = 0$ i $x_2 = 2,0\ \text{m}$, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula el camp que crea cada massa en el punt $x = 0,50\ \text{m}$, indicant mòdul i sentit ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Aplica el principi de superposició per obtenir el camp total en aquest punt.
3. c) Raona cap a on s'acceleraria una petita massa de prova que es deixés anar allà en repòs.

Tres masses puntuals iguals, de $6,0\ \text{kg}$, estan alineades en les posicions $x = 0$, $x = 1,0\ \text{m}$ i $x = 3,0\ \text{m}$ d'un regle de laboratori, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula el camp que crea cadascuna d'elles en el punt $x = 2,0\ \text{m}$, indicant mòdul i sentit ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Aplica la superposició i calcula el camp total en aquest punt.
3. c) Sense resoldre l'equació, raona si ha d'existir algun punt entre $x = 2,0\ \text{m}$ i $x = 3,0\ \text{m}$ on el camp total s'anul·li: fixa't en el sentit del camp total a $x = 2,0\ \text{m}$ i en el que passa en acostar-se a la massa situada a $x = 3,0\ \text{m}$.

Quan Júpiter està més a prop de la Terra es troba a uns $6,3\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcula el camp gravitatori que Júpiter crea llavors a la Terra ($M_J = 1,90\cdot10^{27}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcula la força amb què Júpiter atrau una persona de $70\ \text{kg}$ ($F = m\cdot g$) i compara-la amb el seu pes a la Terra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) En vista del resultat, comenta críticament l'afirmació astrològica que «la posició de Júpiter influeix en les persones».

Entre la Terra i la Lluna hi ha un punt en què els seus camps gravitatoris es cancel·len. L'esquema mostra la situació:

1. a) Amb l'origen al centre de la Terra, escriu la condició d'anul·lació: $G\cdot\frac{M_T}{x^2} = G\cdot\frac{M_L}{(d - x)^2}$, on $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ és la distància Terra-Lluna.
2. b) Simplifica $G$, pren arrels quadrades i aïlla $x$ fent servir $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ (observa que $\frac{M_T}{M_L} \approx 81$, l'arrel de la qual és $9$).
3. c) A quina distància de la Lluna queda aquest punt? Raona per què està molt més a prop de la Lluna que de la Terra.

Una nau de $1,2\cdot10^{4}\ \text{kg}$ viatja de la Terra a la Lluna per la recta que uneix els seus centres.

1. a) Calcula a quina distància del centre de la Terra s'anul·la el camp gravitatori total (Terra més Lluna). Dades: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; pren $\sqrt{\frac{M_T}{M_L}} \approx 9$.
2. b) Quina força gravitatòria neta exerceixen entre la Terra i la Lluna sobre la nau quan està en aquest punt?
3. c) Amb els motors apagats, la nau es desplaça $10^{6}\ \text{m}$ des d'aquest punt cap a la Lluna: calcula-hi el camp total (mòdul i sentit) i raona si el punt d'anul·lació és una posició d'equilibri estable o inestable.

Dues masses puntuals iguals, $m = 2,0\ \text{kg}$, estan en els punts $(0; 0)$ i $(2; 0)\ \text{m}$ del pla, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula la distància de cada massa al punt $P(1; 1)\ \text{m}$ i el mòdul del camp que cadascuna crea a $P$ ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Dibuixa al teu quadern els dos vectors camp a $P$ i raona quines components es cancel·len per simetria.
3. c) Sabent que cada vector forma $45^\circ$ amb la vertical ($\cos 45^\circ \approx 0,71$), calcula el camp total a $P$: mòdul, direcció i sentit.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Tres masses puntuals iguals, $m = 100\ \text{kg}$, ocupen tres vèrtexs d'un quadrat de costat $L = 2,0\ \text{m}$, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula el mòdul del camp que crea cada massa en el quart vèrtex (atenció: la massa del vèrtex oposat dista $L\cdot\sqrt{2}$). Dada: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Descompon els tres vectors camp en les direccions dels costats del quadrat i calcula les components del camp total ($\cos 45^\circ \approx 0,71$).
3. c) Calcula el mòdul del camp total i raona, per simetria, per què la seva direcció és la de la diagonal.
4. d) Quina força patiria una massa de prova de $50\ \text{kg}$ col·locada en aquest vèrtex?

En una versió moderna de l'experiment de Cavendish s'empren dues esferes de tungstè de $500\ \text{kg}$ cadascuna, col·locades en els punts $(0; 0)$ i $(3; 0)\ \text{m}$.

1. a) Demostra que el punt $P(1,5; 2)\ \text{m}$ dista $2,5\ \text{m}$ de cada esfera i calcula el mòdul del camp que cada esfera crea a $P$ ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) L'angle que forma cada vector camp amb la perpendicular al segment que uneix les esferes compleix $\sen\theta = 0,6$ i $\cos\theta = 0,8$: raona quines components es cancel·len i calcula el camp total a $P$ (mòdul, direcció i sentit).
3. c) Calcula la força sobre una petita esfera de $20\ \text{g}$ col·locada a $P$ i comenta per què aquest experiment exigeix una sensibilitat extraordinària.