Moment angular i forces centrals

Al laboratori d'un hospital, una centrífuga fa girar un tub d'assaig de $0,02\ \text{kg}$ que descriu una circumferència de $0,15\ \text{m}$ de radi amb una rapidesa de $9\ \text{m/s}$. L'esquema mostra el gir vist des de dalt:

1. a) Escriu l'expressió del moment angular d'una partícula respecte d'un punt, $L = m \cdot v \cdot r$, vàlida quan la velocitat és perpendicular al radi.
2. b) Calcula el moment angular del tub respecte de l'eix de gir, expressat en $\text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$.

Una atleta fa girar una fona: una pedra de $0,1\ \text{kg}$ descriu una circumferència horitzontal de $0,8\ \text{m}$ de radi amb una rapidesa de $12\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula el moment lineal de la pedra, $p = m \cdot v$.
2. b) Calcula el seu moment angular respecte del centre de la circumferència, $L = m \cdot v \cdot r$.

Un nanosatèl·lit de $4\ \text{kg}$ descriu una òrbita circular de $7 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ de radi al voltant de la Terra amb una rapidesa de $7,5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$. L'esquema mostra l'òrbita:

1. a) Calcula el seu moment angular respecte del centre de la Terra, expressant el resultat en notació científica.
2. b) Indica la direcció i el sentit del vector $\vv{L}$ respecte del pla de l'òrbita.

La nau Orió, de $2,5 \cdot 10^{4}\ \text{kg}$, passa per un punt situat a $2 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ del centre de la Lluna amb una rapidesa de $1,5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$, en una direcció que forma $30^\circ$ amb la recta que la uneix amb la Lluna ($\sen 30^\circ = 0,5$). La figura mostra aquest instant:

1. a) Escriu l'expressió general del mòdul del moment angular, $L = m \cdot v \cdot r \cdot \sen\theta$, i explica el significat de cada terme.
2. b) Calcula el moment angular de la nau respecte del centre de la Lluna.
3. c) Si la nau passés pel mateix punt amb la velocitat apuntant directament cap a la Lluna, quant valdria el seu moment angular? Raona la resposta.

En la prova de llançament de martell, la bola de $7,26\ \text{kg}$ gira amb una rapidesa de $25\ \text{m/s}$ i el seu moment angular respecte de l'eix de gir val $290\ \text{kg} \cdot \text{m}^2/\text{s}$.

1. a) Aïlla el radi de gir de l'expressió $L = m \cdot v \cdot r$.
2. b) Calcula el radi de gir de la bola, amb dues xifres significatives.
3. c) Compara el resultat amb la longitud del cable reglamentari, que és d'uns $1,2\ \text{m}$, i explica a què es deu la diferència.

Dos cossos de prova, A i B, giren al laboratori al voltant del mateix eix. El cos A té una massa de $0,3\ \text{kg}$, una rapidesa de $4\ \text{m/s}$ i un radi de gir de $0,5\ \text{m}$; el cos B té una massa de $0,6\ \text{kg}$, una rapidesa de $2\ \text{m/s}$ i un radi de gir de $1\ \text{m}$. L'esquema mostra tots dos cossos vistos des de dalt:

1. a) Calcula el moment angular de cada cos respecte de l'eix.
2. b) Calcula el quocient $\frac{L_B}{L_A}$ i interpreta'l: quantes vegades és més gran el moment angular de B?
3. c) Sense repetir càlculs, raona com canviaria aquest quocient si la rapidesa d'A es doblés.

Una força és central quan la seva direcció passa sempre per un punt fix anomenat centre de forces. Indica quines de les forces següents són centrals i quines no, raonant cada resposta:

1. a) L'atracció gravitatòria del Sol sobre un planeta.
2. b) La tensió de la corda d'una bola que gira lligada a un pal.
3. c) La força elèctrica que el nucli d'un àtom exerceix sobre un electró.
4. d) El fregament de l'aire sobre un satèl·lit artificial en òrbita baixa.
5. e) L'empenta del motor d'un coet que accelera en la direcció del moviment.

En el model atòmic de Bohr, l'electró d'un àtom d'hidrogen descriu una òrbita circular de $5,3 \cdot 10^{-11}\ \text{m}$ de radi amb una rapidesa de $2,2 \cdot 10^{6}\ \text{m/s}$ (massa de l'electró: $9,1 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$). L'esquema representa el model:

1. a) Calcula el moment angular de l'electró respecte del nucli, en notació científica i amb dues xifres significatives.
2. b) Indica quina força actua com a força centrípeta en aquest cas i justifica que es tracta d'una força central.

Sobre una barra que pot girar al voltant d'un eix s'apliquen dues forces de $20\ \text{N}$ en punts situats a $0,4\ \text{m}$ de l'eix: la força A apunta radialment cap a l'eix i la força B és perpendicular a la barra ($\sen 90^\circ = 1$, $\sen 0^\circ = 0$). L'esquema mostra la barra i les dues forces:

1. a) Calcula el moment de cada força respecte de l'eix, $M = r \cdot F \cdot \sen\theta$.
2. b) A partir de $\frac{\Delta \vv{L}}{\Delta t} = \vv{M}$, indica quina de les dues forces canvia el moment angular de la barra i quina no.
3. c) Relaciona el resultat amb el comportament de les forces centrals: a quina de les dues s'assembla una força central?

Es vol situar un satèl·lit d'observació terrestre de $500\ \text{kg}$ en una òrbita circular de $7 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ de radi mesurat des del centre de la Terra. Dades: $G = 6,67 \cdot 10^{-11}\ \text{N} \cdot \text{m}^2/\text{kg}^2$ i $M_{Tierra} = 5,98 \cdot 10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) L'única força sobre el satèl·lit és la gravitatòria, que actua com a força centrípeta. Iguala $G \cdot \frac{M \cdot m}{r^2} = m \cdot \frac{v^2}{r}$ i dedueix l'expressió $v = \sqrt{\frac{G \cdot M}{r}}$.
2. b) Calcula la rapidesa orbital del satèl·lit.
3. c) Calcula el seu moment angular respecte del centre de la Terra.
4. d) Justifica, a partir del caràcter central de la força gravitatòria, que aquest moment angular roman constant durant tota l'òrbita.

Un protó ($m = 1,67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$) es mou en línia recta amb rapidesa constant de $2 \cdot 10^{6}\ \text{m/s}$ dins de la cambra d'un accelerador de partícules. La seva trajectòria passa a una distància mínima $d = 3 \cdot 10^{-9}\ \text{m}$ d'un sensor situat en el punt O.

1. a) El moment angular respecte d'O val $L = m \cdot v \cdot r \cdot \sen\theta$. Dibuixa al teu quadern la situació i raona que, encara que $r$ i $\theta$ canvien al llarg del trajecte, el producte $r \cdot \sen\theta$ és sempre igual a $d$.
2. b) Calcula el moment angular del protó respecte d'O, en notació científica.
3. c) El protó es mou lliurement, sense forces: és coherent que el seu moment angular sigui constant encara que no descrigui cap corba? Justifica-ho.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una sonda de $800\ \text{kg}$ amb els motors apagats s'aproxima a Mart. En el punt de màxima aproximació es troba a $4 \cdot 10^{6}\ \text{m}$ del centre del planeta i porta una rapidesa de $5 \cdot 10^{3}\ \text{m/s}$, perpendicular a la recta que la uneix amb Mart.

1. a) Calcula el moment angular de la sonda en aquest punt.
2. b) Mentre els motors estan apagats, l'única força sobre la sonda és l'atracció gravitatòria de Mart: justifica per què el moment angular es manté constant durant tota la maniobra.
3. c) Quan la sonda s'allunya de nou i es troba a $1,6 \cdot 10^{7}\ \text{m}$ del centre de Mart, movent-se perpendicularment a la recta que els uneix, calcula la rapidesa que porta.