L'equació d'ones i la seva relació amb el MHS

L'equació $y(x, t) = A \cdot \sen(k \cdot x - \omega \cdot t)$ descriu una pertorbació doblement periòdica: en el temps i en l'espai. Les dues gràfiques de la figura representen aquesta doble periodicitat.

1. a) Si triem un punt fix del medi (fixem $x$), amb quin període oscil·la? Expressa'l en funció de $\omega$.
2. b) Si observem el perfil de la pertorbació en un instant fix (fixem $t$), cada quina distància es repeteix? Expressa'l en funció de $k$.
3. c) Explica, a partir del que s'ha dit anteriorment, per què es diu que el moviment ondulatori combina una oscil·lació en el temps amb una periodicitat en l'espai.

Quan una ona harmònica travessa un medi, cada punt del medi oscil·la amb un moviment harmònic simple (MAS).

1. a) Indica quines magnituds del MAS de cada punt coincideixen amb les de l'ona: pensa en l'amplitud i en la freqüència.
2. b) Indica quina magnitud distingeix l'oscil·lació d'un punt proper al focus de la d'un punt més allunyat.
3. c) Explica la diferència entre la velocitat d'oscil·lació d'un punt del medi i la velocitat de propagació de l'ona.

En un laboratori es genera en una corda tensa una ona transversal l'equació de la qual, en unitats del Sistema Internacional, és $y(x, t) = 0,05 \cdot \sen(4 \cdot \pi \cdot x - 20 \cdot \pi \cdot t)$. La figura mostra el perfil de la corda en un instant.

1. a) Indica els valors de l'amplitud $A$, del nombre d'ona $k$ i de la freqüència angular $\omega$.
2. b) Raona, a partir del signe que acompanya el terme en $t$ dins de la fase, en quin sentit de l'eix $x$ es propaga l'ona.

Una ona transversal viatja per una corda segons l'equació, en unitats del Sistema Internacional, $y(x, t) = 0,03 \cdot \sen(5 \cdot x + 20 \cdot t)$.

1. a) Determina en quin sentit de l'eix $x$ es propaga l'ona i justifica-ho a partir del signe de la fase.
2. b) Calcula la seva velocitat de propagació a partir de $k$ i $\omega$.
3. c) Reescriu l'equació canviant l'imprescindible perquè l'ona viatgi en el sentit positiu de l'eix.

La fotografia instantània d'una corda mostra un perfil sinusoïdal les crestes del qual s'eleven $5\ \text{cm}$ sobre la posició d'equilibri i disten entre si $80\ \text{cm}$; la pertorbació avança per la corda a $2\ \text{m/s}$. La figura mostra aquesta fotografia instantània.

1. a) Determina l'amplitud i la longitud d'ona a partir de la descripció de la fotografia, expressant-les en metres.
2. b) Calcula la freqüència, el període, la freqüència angular i el nombre d'ona.
3. c) Escriu l'equació d'ones amb fase inicial nul·la i propagació en el sentit positiu de l'eix $x$, amb totes les magnituds en unitats del Sistema Internacional.

Per estudiar la fase d'una ona sonora de $f = 85\ \text{Hz}$ que viatja per l'aire a $340\ \text{m/s}$ es col·loquen dos micròfons alineats amb l'altaveu que l'emet, tal com es mostra a la figura.

1. a) Calcula la longitud d'ona del so.
2. b) Calcula la diferència de fase entre les oscil·lacions de dos punts separats $1\ \text{m}$, fent servir $\Delta \varphi = \frac{2 \cdot \pi}{\lambda} \cdot \Delta x$.
3. c) Els micròfons es col·loquen finalment separats $2\ \text{m}$: calcula el nou desfasament i raona si en aquest cas els punts oscil·len en fase o en oposició de fase.

Per una corda de laboratori viatja una ona harmònica de $f = 50\ \text{Hz}$ a $200\ \text{m/s}$. A la figura es representa el perfil de l'ona amb tres punts P, Q i R assenyalats.

1. a) Calcula la seva longitud d'ona.
2. b) Calcula la distància mínima entre dos punts de la corda que oscil·len en fase i justifica el resultat.
3. c) Calcula la distància mínima entre dos punts que oscil·len en oposició de fase.
4. d) Determina el desfasament entre dos punts separats $3\ \text{m}$ i descriu com oscil·la l'un respecte de l'altre.

Per una molla espiral tensa es propaga una ona longitudinal l'equació de la qual, en unitats del Sistema Internacional, és $y(x, t) = 0,04 \cdot \sen(2 \cdot \pi \cdot x - 10 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Calcula la seva freqüència $f$ i el seu període $T$.
2. b) Calcula la seva longitud d'ona $\lambda$.
3. c) Calcula la seva velocitat de propagació fent servir $v = \frac{\omega}{k}$.

Un cable d'acer d'un banc d'assaigs de vibracions té una densitat lineal $\mu = 4\cdot10^{-3}\ \text{kg/m}$ i se sotmet a una tensió $T = 40\ \text{N}$; la velocitat de les ones transversals al cable és $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$. Es genera una ona harmònica d'amplitud $0,02\ \text{m}$ i freqüència $f = 100\ \text{Hz}$ que viatja en el sentit positiu de l'eix $x$ amb fase inicial nul·la.

1. a) Calcula la velocitat de propagació de l'ona.
2. b) Calcula la longitud d'ona, el nombre d'ona i la freqüència angular.
3. c) Escriu l'equació d'ones.
4. d) Si es dupliqués la tensió mantenint la mateixa freqüència, calcula les noves velocitat i longitud d'ona, i raona per què canvien aquestes magnituds i no la freqüència.

Una ona harmònica de $f = 2\ \text{Hz}$ i amplitud $0,05\ \text{m}$ viatja en el sentit positiu de l'eix $x$ per una corda lleugera a $6\ \text{m/s}$ i passa a una segona corda més densa, unida a la primera, on la seva velocitat és de $3\ \text{m/s}$. En el canvi de medi la freqüència es conserva. Observa l'esquema de les dues cordes unides:

1. a) Calcula la longitud d'ona a cada corda.
2. b) Escriu l'equació d'ones a cadascuna de les cordes, amb fase inicial nul·la.
3. c) Indica quines magnituds es conserven i quines canvien en passar d'una corda a l'altra.
4. d) Raona, pensant en com oscil·la el punt d'unió entre les dues cordes, per què la freqüència no pot canviar en aquest punt.