Energia i potencial elèctrics

Dues càrregues puntuals $q_1 = 1\,\mu\text{C}$ i $q_2 = 2\,\mu\text{C}$ estan separades $0,3\ \text{m}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula l'energia potencial elèctrica del sistema, $E_p = K \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r}$.
2. b) Interpreta el signe del resultat: en separar les càrregues fins a l'infinit, cal aportar energia o s'allibera? Relaciona-ho amb el fet que les càrregues es repel·leixen.

Perquè dos protons puguin fusionar-se a l'interior del Sol han de vèncer la seva repulsió elèctrica i apropar-se moltíssim (dades: càrrega elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$; $1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}$). La figura mostra l'energia potencial del parell de protons en funció de la seva distància.

1. a) Calcula l'energia potencial elèctrica de dos protons separats una distància $r = 1\ \text{nm}$.
2. b) Expressa el resultat en electrons-volt.
3. c) Raona per què la repulsió elèctrica dificulta la fusió i quin paper juga l'altíssima temperatura de l'interior solar per superar-la.

Dues càrregues $q_1 = 2\,\mu\text{C}$ i $q_2 = 3\,\mu\text{C}$, subjectes amb suports aïllants, passen d'estar separades $1\ \text{m}$ a estar separades $0,25\ \text{m}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula l'energia potencial elèctrica inicial i final del sistema.
2. b) Calcula el treball que ha de realitzar un agent extern en el procés, $W_{ext} = \Delta E_p$.
3. c) Raona el signe del resultat: per què cal aportar treball per apropar dues càrregues que es repel·leixen?
4. d) Quant val, en aquest mateix procés, el treball realitzat pel camp elèctric? Relaciona-ho amb el de l'agent extern.

Una petita esfera del laboratori té una càrrega $Q = 3\,\mu\text{C}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula el potencial elèctric a $0,5\ \text{m}$ de l'esfera, $V = K \cdot \frac{Q}{r}$.
2. b) Indica el signe del potencial i raona a quin lloc es pren, per conveni, $V = 0$.

El potencial elèctric és una magnitud escalar; el camp elèctric, vectorial.

1. a) Explica quina diferència pràctica té això a l'hora de sumar, en un punt, les contribucions de diverses càrregues.
2. b) Pot ser negatiu el potencial en un punt? Posa'n un exemple.
3. c) Quin signe té el potencial creat per una càrrega positiva?

Dues càrregues $q_1 = 4\ \text{nC}$ i $q_2 = -2\ \text{nC}$ estan, respectivament, a $0,3\ \text{m}$ i a $0,5\ \text{m}$ d'un punt P (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula el potencial que crea cada càrrega a P.
2. b) Calcula el potencial total a P.
3. c) Explica per què aquí les contribucions se sumen directament com a nombres, mentre que per al camp elèctric cal sumar vectors.

Una càrrega $q = 5\,\mu\text{C}$ es desplaça des d'un punt A, amb potencial $V_A = 200\ \text{V}$, fins a un punt B, amb $V_B = 80\ \text{V}$.

1. a) Calcula el treball realitzat pel camp elèctric, $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Raona, a partir del signe del resultat, si el camp «empeny» espontàniament la càrrega en aquest sentit del desplaçament.

Una càrrega $q = -3\,\mu\text{C}$ es desplaça des d'un punt A ($V_A = 500\ \text{V}$) fins a un punt B ($V_B = 100\ \text{V}$).

1. a) Calcula el treball realitzat pel camp, $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Interpreta el signe negatiu del resultat: és un desplaçament espontani o l'ha de realitzar un agent extern?
3. c) Raona cap a on es mouria espontàniament aquesta càrrega negativa: cap a potencials més alts o cap a potencials més baixos?

En una regió, les superfícies equipotencials són plans paral·lels. Dos d'ells, separats $2\ \text{cm}$, tenen potencials $V_1 = 300\ \text{V}$ i $V_2 = 100\ \text{V}$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula el camp elèctric entre els dos plans, suposant-lo uniforme, $E = \frac{\Delta V}{d}$, i indica la seva direcció i el seu sentit (el camp apunta cap als potencials decreixents).
2. b) Calcula el treball que realitza el camp en desplaçar una càrrega $q = 2\ \text{nC}$ des del pla de $300\ \text{V}$ fins al de $100\ \text{V}$.
3. c) Un alumne desplaça la càrrega primer «de costat», sense sortir del pla de $300\ \text{V}$, i només després la porta fins al pla de $100\ \text{V}$ per un camí trencat. Raona, fent servir que el camp elèctric és conservatiu (el treball només depèn dels punts inicial i final), que el treball total és el mateix que a l'apartat b), i calcula el treball del tram «de costat».

En física de partícules s'utilitza molt l'electró-volt: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$ (dada: càrrega elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$).

1. a) Expressa en joules una energia de $3\ \text{eV}$.
2. b) Justifica l'equivalència anterior calculant, amb $W = q \cdot \Delta V$, l'energia que guanya un electró en ser accelerat amb una diferència de potencial de $1\ \text{V}$.

En un microscopi electrònic, un electró parteix del repòs i s'accelera mitjançant una diferència de potencial $\Delta V = 2000\ \text{V}$ (dades: càrrega elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa de l'electró $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$). Observa l'esquema:

1. a) Calcula l'energia cinètica que guanya l'electró, en joules i en electrons-volt.
2. b) Aplica la conservació de l'energia, $\frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 = e \cdot \Delta V$, i calcula la seva velocitat final.

En un tub de raigs X d'un hospital, els electrons s'acceleren cap a l'ànode amb una diferència de potencial $\Delta V = 40\ \text{kV}$ (dades: càrrega elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa de l'electró $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; velocitat de la llum $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$). La figura mostra l'esquema del tub.

1. a) Expressa la diferència de potencial en volts i calcula l'energia cinètica de cada electró en arribar a l'ànode, en electrons-volt i en joules.
2. b) Calcula la velocitat final de l'electró utilitzant l'expressió clàssica $\frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 = e \cdot \Delta V$.
3. c) Compara el resultat amb la velocitat de la llum i comenta per què, a aquestes energies, l'aproximació clàssica comença a ser qüestionable.

Dues càrregues idèntiques $q = 5\ \text{nC}$ ocupen els punts $(0, 0)$ i $(0, 40)$, amb les coordenades en centímetres (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Raona, dibuixant els vectors al teu quadern, que el camp elèctric total en el punt mitjà $P(0, 20)$ és nul.
2. b) Calcula el potencial elèctric en aquest mateix punt P.
3. c) Treu una conclusió: és cert que on el camp és nul el potencial també ho és?

El teu company afirma: «si en un punt el camp elèctric és nul, el potencial també és nul; i si el potencial és nul, el camp també ho és» (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Refuta la primera part amb un exemple numèric: calcula el punt del segment entre les càrregues $q_1 = 9\ \text{nC}$ i $q_2 = 4\ \text{nC}$, separades $1\ \text{m}$, on el camp és nul, i calcula el potencial en aquest punt.
2. b) Refuta la segona part amb un altre exemple numèric: calcula el potencial i el camp en el punt mitjà entre les càrregues $q_1 = +5\ \text{nC}$ i $q_2 = -5\ \text{nC}$, separades $40\ \text{cm}$.
3. c) Explica, a partir de les definicions de camp (vectorial) i de potencial (escalar), per què les dues afirmacions són falses en general.

Durant una tempesta, la base d'un núvol pot estar a un potencial d'uns $10^{8}\ \text{V}$ respecte al terra, i un llamp arriba a transferir una càrrega de $20\ \text{C}$ (dada: $1\ \text{kW}\cdot\text{h} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

1. a) Calcula l'energia alliberada en el llamp, $E = Q \cdot \Delta V$.
2. b) Expressa-la en quilowatts-hora.
3. c) El consum elèctric mensual d'un habitatge és d'uns $200\ \text{kW}\cdot\text{h}$: compara ambdós valors i raona per què, tot i aquesta enorme energia, és tan difícil aprofitar la dels llamps (pensa en la potència instantània i en la impredictibilitat de les descàrregues).