Exercicis: Principis de la relativitat especial

Albert Einstein va publicar el 1905 la teoria especial de la relativitat a partir de dos postulats.

1. a) Enuncia amb les teves paraules el primer postulat, conegut com a principi de relativitat.
2. b) Enuncia el segon postulat, referit a la velocitat de la llum en el buit.
3. c) Indica a quin tipus de sistemes de referència s'aplica la teoria especial de la relativitat.

Un far a la costa emet un senyal lluminós. El mesuren dos observadors: el guardià del far, en repòs, i el patró d'un vaixell que s'apropa al far a $20\ \text{m/s}$ (dada: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Segons la física clàssica, quin valor mesuraria cadascun?
2. b) Segons la relativitat especial, quin valor mesura cadascun? Justifica-ho amb el postulat corresponent.

Indica quins dels següents sistemes de referència es poden considerar inercials i justifica cada resposta:

1. a) Un tren que frena en entrar a l'estació.
2. b) Una sonda que es desplaça per l'espai profund amb velocitat constant.
3. c) Una centrífuga de laboratori que gira amb velocitat angular constant.
4. d) Una estació de tren en repòs respecte al terra.

Un passatger d'un tren que circula a $30\ \text{m/s}$ llança una pilota cap endavant a $10\ \text{m/s}$ respecte al tren.

1. a) Segons la transformació de Galileu, amb quina velocitat veu la pilota un observador a l'andana?
2. b) Escriu la regla de suma de velocitats de la física clàssica que has utilitzat.

Una sonda espacial que es mou a velocitat $v$ respecte a la Terra encén el seu focus de proa. Segons la física clàssica, la llum d'aquest focus s'hauria de mesurar des de la Terra a $c + v$.

1. a) Explica per què aquesta predicció contradiu el segon postulat de la relativitat especial.
2. b) Quina velocitat mesura realment un observador terrestre per a la llum del focus?

Els muons es creen a l'alta atmosfera per la radiació còsmica i la seva vida mitjana en repòs és de $2,2\ \mu\text{s}$. Si el temps fos absolut, gairebé cap no arribaria a la superfície terrestre, però els detectors a terra en registren en gran nombre.

1. a) Quin efecte relativista explica que tants muons arribin a terra?
2. b) Quina magnitud deixa de ser absoluta en aquesta explicació?

El sistema GPS utilitza rellotges atòmics instal·lats en satèl·lits que orbiten a gran velocitat al voltant de la Terra.

1. a) Per què els rellotges dels satèl·lits no es poden mantenir sincronitzats amb els de terra sense correccions contínues?
2. b) Cita el fenomen relativista responsable d'aquest desajust.

Pot un cos amb massa assolir la velocitat de la llum en el buit? Respon i justifica-ho tenint en compte el segon postulat i que l'energia necessària per continuar accelerant el cos creixeria sense límit en apropar-se la seva velocitat a $c$.

Una nau s'allunya de la Terra a $0,6c$, és a dir, $1,8 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, i encén un focus de proa (dada: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). L'esquema resumeix la situació.

1. a) Quina velocitat prediria la física clàssica per a la llum del focus mesurada des de la Terra?
2. b) Quina velocitat mesura realment un observador terrestre?
3. c) Quina velocitat mesuraria aquest mateix observador si el focus estigués a la popa, apuntant cap a la Terra? Justifica-ho amb el segon postulat.

L'experiment de Michelson i Morley (1887) pretenia mesurar la velocitat de la Terra respecte a l'«èter», el medi en el qual se suposava que es propagava la llum, comparant la velocitat de la llum en direccions perpendiculars. L'esquema mostra l'interferòmetre emprat.

1. a) Quin resultat van obtenir?
2. b) Per què aquest resultat és incompatible amb la suma clàssica de velocitats?
3. c) Quin postulat d'Einstein el recull i què va passar amb la hipòtesi de l'èter?

Al Gran Col·lisionador d'Hadrons (LHC) els protons assoleixen velocitats de $0,9999c$ (dada: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la velocitat del protó en $\text{m/s}$.
2. b) Calcula quants $\text{m/s}$ li falten per assolir $c$.
3. c) L'accelerador continua subministrant energia al protó i, tanmateix, aquest mai no arriba a $c$. Explica per què i en què es manifesta aquesta energia extra.

En una nau en moviment, un llum situat en un punt del terra de la cabina s'encén i s'apaga: dos successos que tenen lloc al mateix lloc de la nau. La figura compara el que veuen la tripulació i un observador terrestre.

1. a) Quin observador mesura l'interval de temps propi entre ambdós successos: la tripulació de la nau o un observador a la Terra? Justifica-ho.
2. b) Quin dels dos observadors mesura un interval més gran i com s'anomena aquest efecte?

Un tren molt ràpid passa per davant d'una andana. En l'instant en què el centre del tren s'alinea amb un observador de l'andana, aquest veu dos centelleigs simultanis emesos des dels extrems del tren.

1. a) Els veurà també simultanis una viatgera asseguda al centre del tren?
2. b) Raona la resposta tenint en compte que el tren avança cap a un dels centelleigs i que la llum de tots dos viatja a $c$ també per a la viatgera.

L'avió tripulat més ràpid de la història va assolir uns $980\ \text{m/s}$ (dada: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula el quocient entre la seva velocitat i la velocitat de la llum.
2. b) En vista del resultat, explica per què els efectes relativistes són menyspreables en la vida quotidiana.
3. c) Indica a partir de quin tipus de velocitats, comparades amb $c$, comencen a ser apreciables.

La llum es propaga en l'aigua a $2,25 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, menor que en el buit ($c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Contradiu aquesta dada el segon postulat de la relativitat? Justifica la resposta precisant a què es refereix exactament el postulat.
2. b) A les piscines dels reactors nuclears hi ha partícules que es mouen en l'aigua més ràpid que $2,25 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ (encara que sempre per sota de $c$) i emeten una resplendor blavosa anomenada radiació de Txerenkov. Contradiu això la relativitat? Raona la diferència amb l'apartat anterior.

En la física clàssica el temps, la longitud i la massa són magnituds absolutes: el seu valor no depèn de l'observador que les mesuri.

1. a) D'aquestes tres magnituds, indica quines passen a ser relatives en la teoria especial de la relativitat.
2. b) Quina magnitud es manté invariant per a tots els observadors inercials segons el segon postulat?
3. c) Si ja no existeix un temps universal, què passa amb la idea que dos successos llunyans tinguin lloc «alhora» per a tothom?

Els muons atmosfèrics es produeixen a uns $10\ \text{km}$ d'alçada, viatgen a $v = 0,998c$ i la seva vida mitjana en repòs és de $2,2\ \mu\text{s}$ (dada: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la distància mitjana que recorreria un muó si el temps fos absolut, és a dir, utilitzant la seva vida mitjana en repòs.
2. b) Compara aquesta distància amb els $10\ \text{km}$ que descendeix i conclou si, segons la física clàssica, s'hauria de detectar a la superfície.
3. c) Anomena l'efecte relativista que explica que sí que es detectin i explica el raonament.

La paradoxa dels bessons: un es queda a la Terra i l'altre viatja en una nau molt ràpida durant uns anys i torna. El diagrama espaitemps resumeix el viatge.

1. a) Enuncia l'aparent paradoxa: si el moviment és relatiu, per què sembla que cada bessó hauria de veure envellir més a poc a poc l'altre?
2. b) Explica per què la situació no és realment simètrica: què li passa al bessó viatger en els punts d'acceleració i de gir que no li passa al que es queda?
3. c) Conclou quin dels dos envelleix menys en el retrobament.

La composició relativista de velocitats és $u = \frac{u' + v}{1 + \frac{u' \cdot v}{c^2}}$, on $u'$ és la velocitat d'un objecte respecte a un mòbil i $v$ la velocitat del mòbil respecte a terra. Una nau s'allunya de la Terra a $v = 0,8c$ i llança cap endavant una sonda a $u' = 0,5c$ respecte a la nau.

1. a) Calcula la velocitat de la sonda mesurada des de la Terra amb la fórmula clàssica de Galileu.
2. b) Calcula-la amb la fórmula relativista (pots treballar directament en unitats de $c$).
3. c) Comprova que el resultat relativista és menor que $c$ i demostra, substituint $u' = c$ a la fórmula, que si la sonda es mogués a la velocitat de la llum respecte a la nau, també es mesuraria a $c$ des de la Terra.

Si els rellotges dels satèl·lits GPS no es corregissin, acumularien un desfasament d'uns $38\ \mu\text{s}$ al dia. El posicionament es basa a mesurar el temps que triga a arribar el senyal de cada satèl·lit, que viatja a $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula l'error en distància que introdueix un desfasament de $38\ \mu\text{s}$ en la mesura del temps d'arribada.
2. b) En vista del resultat, quant trigaria el sistema a esdevenir inútil per a la navegació si no es corregís? Justifica-ho.
3. c) Explica per què el funcionament del GPS es considera una comprovació quotidiana de la relativitat.

El factor de Lorentz $\gamma$ mesura la intensitat dels efectes relativistes: val $1,005$ a $0,1c$; $1,15$ a $0,5c$; $2,29$ a $0,9c$ i $7,09$ a $0,99c$. La gràfica representa $\gamma$ enfront de la velocitat.

1. a) A quina velocitat de les citades supera la correcció relativista per primera vegada l'$5\ \%$?
2. b) Explica, a partir d'aquests valors, per què la mecànica de Newton funciona tan bé en l'enginyeria civil i aeronàutica.
3. c) Prediu, sense fer servir la calculadora, si el valor de $\gamma$ a $0,999c$ serà una mica més gran que $7$ o molt més gran, raonant a partir de la tendència de les dades i del que ha de passar quan $v$ s'apropa a $c$.

Els avions supersònics superen la velocitat del so en l'aire, però cap objecte amb massa no pot assolir ni superar la velocitat de la llum en el buit.

1. a) En què es diferencia físicament la barrera del so de la barrera de la llum? Pensa en quin medi es propaga cada senyal i en quin postulat es recolza una d'elles.
2. b) Justifica, en termes d'energia, per què assolir $c$ és impossible per a un cos amb massa i no es tracta només d'una dificultat tècnica com ho va ser la barrera del so.

Experiment mental d'Einstein: dos llamps cauen als extrems d'un vagó just quan el seu centre passa per un observador de l'andana, que veu els dos impactes al mateix temps. Una viatgera està dreta al centre del vagó. L'esquema representa la situació.

1. a) Descriu què veu la viatgera i explica per què, utilitzant que per a ella la llum de tots dos impactes també viatja a $c$ mentre ella avança cap a un d'ells.
2. b) Com s'anomena aquest fenomen pel qual dos successos simultanis per a un observador no ho són per a un altre?
3. c) Extreu una conclusió sobre l'existència d'un «ara» universal vàlid per a tota la galàxia.

Un protó ($m = 1,67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$) es mou a $0,99c$; a aquesta velocitat el factor de Lorentz val $\gamma = 7,09$. L'energia cinètica clàssica és $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$ i la relativista és $E_c = (\gamma - 1) \cdot m \cdot c^2$ (dada: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula l'energia cinètica que prediu la física clàssica.
2. b) Calcula la que prediu la relativitat especial.
3. c) Calcula el quocient entre ambdues prediccions i conclou per què la fórmula clàssica de l'energia cinètica no és vàlida a prop de $c$.