Conservació del moment angular

Una patinadora artística gira sobre el gel amb els braços estesos. En un moment determinat recull els braços enganxant-los al cos i, sense impulsar-se de nou, comença a girar molt més de pressa.

1. a) Quines forces exteriors actuen sobre la patinadora i per què el seu moment respecte de l'eix de gir és pràcticament nul?
2. b) Enuncia el principi de conservació del moment angular i aplica'l a aquest cas.
3. c) En recollir els braços, quina magnitud disminueix: el moment d'inèrcia $I$ o la velocitat angular $\omega$? Dedueix per què augmenta l'altra.

Una patinadora gira amb un moment d'inèrcia $I_1 = 5\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$ i una velocitat angular $\omega_1 = 4\ \text{rad/s}$. En encongir els braços, el seu moment d'inèrcia es redueix a $I_2 = 2\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. La figura resumeix el canvi:

1. a) Calcula el seu moment angular inicial, $L = I_1 \cdot \omega_1$.
2. b) Aplica la conservació del moment angular, $I_1 \cdot \omega_1 = I_2 \cdot \omega_2$, i calcula la velocitat angular final $\omega_2$.
3. c) Expressa el resultat com a «vegades més ràpid»: quantes voltes fa ara per cada volta que feia abans?

El moment angular d'un cos no es conserva en totes les situacions. Contesta raonadament:

1. a) Quina és la condició sobre el moment de les forces exteriors perquè el moment angular es conservi?
2. b) Una baldufa gira recolzada a terra i al cap d'un temps s'acaba aturant: s'ha conservat el seu moment angular? Quin moment de força n'és el responsable?
3. c) Un planeta fa milions d'anys que gira al voltant de la seva estrella sense canvis apreciables: relaciona aquest fet amb la condició de l'apartat a).

Una saltadora de trampolí inicia un salt mortal girant a una volta per segon amb el cos estés, amb un moment d'inèrcia de $12\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. En agrupar-se a l'aire, el seu moment d'inèrcia es redueix a $4\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$.

1. a) Expressa la velocitat angular inicial en $\text{rad/s}$ (una volta equival a $2 \cdot \pi\ \text{rad}$).
2. b) Aplica la conservació del moment angular i calcula la velocitat angular final, en $\text{rad/s}$.
3. c) Expressa-la en voltes per segon i explica per què les gimnastes s'agrupen per fer diverses tombarelles i s'estiren abans d'arribar a l'aigua.

Quan una estrella esgota el seu combustible, el seu nucli pot col·lapsar conservant pràcticament el seu moment angular. Modela el nucli com una esfera el moment d'inèrcia de la qual és proporcional al quadrat del seu radi, $I \propto R^2$. La figura resumeix el col·lapse:

1. a) Si el radi del nucli es redueix a la meitat, raona en quin factor canvia el seu moment d'inèrcia.
2. b) Aplica la conservació del moment angular i dedueix en quin factor canvia la seva velocitat angular.
3. c) Si inicialment el nucli girava amb un període de $10\ \text{h}$, calcula el seu període de gir final.

Una patinadora gira amb un moment d'inèrcia $I_1 = 5\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$ i una velocitat angular $\omega_1 = 6\ \text{rad/s}$. En recollir els braços, el seu moment d'inèrcia queda $I_2 = 2\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. L'energia cinètica de rotació val $E_c = \frac{1}{2} \cdot I \cdot \omega^2$.

1. a) Calcula la velocitat angular final aplicant la conservació del moment angular.
2. b) Calcula l'energia cinètica de rotació inicial i final.
3. c) Comprova que l'energia final és més gran que la inicial: d'on ha sortit aquesta energia extra si ningú empeny la patinadora des de fora? Raona la resposta pensant en el treball que fan els seus músculs en apropar els braços a l'eix.

Un nen de $30\ \text{kg}$ corre a $3\ \text{m/s}$ en direcció tangent a la vora d'un cavallet de $2\ \text{m}$ de radi i hi salta a sobre, quedant-se agafat a la vora. El cavallet estava en repòs i el seu moment d'inèrcia és $I = 400\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. Considera el nen una massa puntual. L'esquema mostra la situació vista des de dalt:

1. a) Calcula el moment angular del nen respecte de l'eix del cavallet just abans de saltar, $L = m \cdot v \cdot r$.
2. b) Calcula el moment d'inèrcia total després del salt, $I_{total} = I + m \cdot r^2$.
3. c) Aplica la conservació del moment angular i calcula la velocitat angular amb què comença a girar el conjunt.

En un laboratori es dispara un dard de $0,05\ \text{kg}$ a $40\ \text{m/s}$ que es clava a la vora d'un disc horitzontal de $0,25\ \text{m}$ de radi, lliure de girar al voltant del seu eix vertical. El disc estava en repòs i el seu moment d'inèrcia és $I = 0,2\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$. El dard impacta en direcció tangent a la vora; menysprea el moment d'inèrcia del dard clavat.

1. a) Calcula el moment angular del dard respecte de l'eix del disc just abans de l'impacte.
2. b) Justifica que en el xoc es conserva el moment angular encara que no es conservi l'energia cinètica, pel fet de ser un xoc inelàstic.
3. c) Calcula la velocitat angular del disc amb el dard clavat.

Una plataforma giratòria d'un parc ($I = 100\ \text{kg} \cdot \text{m}^2$) gira lliurement a $\omega_1 = 2\ \text{rad/s}$ amb un nen de $40\ \text{kg}$ assegut a la vora, a $1,5\ \text{m}$ de l'eix (considera'l una massa puntual). El nen s'arrossega a poc a poc fins al centre de la plataforma.

1. a) Calcula el moment d'inèrcia total inicial, $I_{total} = I + m \cdot r^2$.
2. b) Calcula el moment angular inicial del sistema.
3. c) Amb el nen al centre, on el seu moment d'inèrcia és negligible, calcula la velocitat angular final de la plataforma.
4. d) Si el nen tornés a la vora, recuperaria la plataforma la seva velocitat inicial? Justifica-ho i comenta què li respondries a qui afirmi que «la plataforma es queda per sempre girant més ràpid».

Un planeta descriu una òrbita el·líptica al voltant de la seva estrella, que ocupa un dels focus de l'el·lipse. Anomena $r_a$ la distància en el punt més allunyat (afeli) i $r_p$ la del punt més proper (periheli).

1. a) Justifica, pel caràcter central de la força gravitatòria, que el moment angular del planeta és el mateix en tota l'òrbita.
2. b) Escriu la igualtat de conservació entre afeli i periheli: $m \cdot v_a \cdot r_a = m \cdot v_p \cdot r_p$.
3. c) Raona, a partir d'aquesta igualtat, en quin punt el planeta es mou més ràpid i en quin més a poc a poc.

El cometa 67P, visitat per la sonda Rosetta, passa pel periheli a $1,86 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ del Sol i per l'afeli a $8,5 \cdot 10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Escriu la conservació del moment angular entre tots dos punts i aïlla el quocient $\frac{v_p}{v_a}$.
2. b) Calcula aquest quocient i interpreta'l: quantes vegades més ràpid va el cometa a prop del Sol que lluny d'ell?
3. c) El cometa triga uns $6$ anys i mig a fer la volta completa: raona en quina part de l'òrbita passa la major part d'aquest temps.

La Terra passa per l'afeli, el seu punt més allunyat del Sol, a $1,521 \cdot 10^{11}\ \text{m}$ amb una rapidesa de $29,3\ \text{km/s}$; pel periheli passa a $1,471 \cdot 10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Aplica la conservació del moment angular i calcula la rapidesa de la Terra en el periheli, en $\text{km/s}$.
2. b) Troba la diferència entre ambdues rapideses i comenta si és gran o petita en termes relatius.
3. c) Al gener la Terra és al periheli i tot i així és hivern a l'hemisferi nord: a la vista de les dades, comenta per què les estacions no es deuen a la distància al Sol.

L'exoplaneta HD 80606 b té una òrbita molt allargada: en el punt més proper a la seva estrella hi passa a $4,5 \cdot 10^{9}\ \text{m}$ amb una rapidesa de $1,2 \cdot 10^{5}\ \text{m/s}$, i en el més allunyat s'allunya fins a $1,35 \cdot 10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Justifica que el moment angular del planeta es conserva en tota l'òrbita.
2. b) Calcula la seva rapidesa en el punt més allunyat, en notació científica.
3. c) Calcula el quocient de distàncies $\frac{r_{lejos}}{r_{cerca}}$ i compara'l amb el quocient de rapideses: quina relació hi ha entre tots dos?
4. d) El planeta triga uns $111$ dies a fer la volta completa, però passa la major part del temps lluny de la seva estrella: explica aquest fet amb la conservació del moment angular.