Contracción de la longitud, dilatación del tiempo y energía relativista

La contracción de la longitud es $L = \frac{L_0}{\gamma}$. Una nave mide $L_0 = 100\ \text{m}$ en reposo y viaja con $\gamma = 2$. ¿Qué longitud mide un observador en la Tierra?

El factor de Lorentz es $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, de donde $v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$.

1. a) Calcula la velocidad de una nave que viaja con $\gamma = 2$, expresada como fracción de $c$.
2. b) Expresa esa velocidad en $\text{m/s}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

Un fenómeno dura $\Delta t_0 = 10\ \text{s}$ medido en su propio sistema de referencia. Para un observador que lo ve pasar a gran velocidad, el factor de Lorentz vale $\gamma = 2$. Sabiendo que la dilatación del tiempo es $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$, ¿cuánto dura el fenómeno para ese observador?

Un astronauta viaja en una nave con $\gamma = 1,25$. Desde la Tierra se mide que el viaje dura $8$ años.

1. a) Usando $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$, ¿cuántos años envejece el astronauta?
2. b) Si partió con $30$ años, ¿qué edad tiene al regresar y qué edad tiene su hermano gemelo, que se quedó en la Tierra?

Un muón se crea a $15\ \text{km}$ de altura, viaja a $v = 0,9995c$ con $\gamma = 31,6$ y su vida media propia es $2,2\ \mu\text{s}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). La figura compara los dos puntos de vista.

1. a) Calcula su vida media vista desde la Tierra ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$).
2. b) Calcula la distancia media que recorre según la Tierra y concluye si puede llegar a la superficie.
3. c) Desde el punto de vista del muón, su vida es de $2,2\ \mu\text{s}$ pero la atmósfera se contrae: calcula el espesor de atmósfera que atraviesa ($L = \frac{L_0}{\gamma}$) y la distancia que recorre en su vida propia, y comprueba que llega a la misma conclusión que en b).
4. d) Explica por qué ambos observadores están de acuerdo en el resultado final (el muón llega al suelo) aunque lo expliquen de forma distinta.

La contracción de la longitud solo afecta a la dimensión paralela al movimiento. Una nave de $50\ \text{m}$ de largo propio y $20\ \text{m}$ de alto viaja horizontalmente con $\gamma = 1,25$. La figura muestra sus dimensiones propias.

1. a) ¿Qué longitud mide desde la Tierra ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) ¿Qué altura mide desde la Tierra? Justifícalo.

Una nave de longitud propia $L_0 = 120\ \text{m}$ viaja con $\gamma = 1,5$.

1. a) ¿Qué longitud mide un observador terrestre ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) Si el viaje dura $10$ años para la Tierra, ¿cuánto dura para la tripulación ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
3. c) Razona cuál de los dos observadores mide el tiempo propio del viaje y por qué.

Próxima Centauri, la estrella más cercana al Sol, está a $4,2$ años luz medidos desde la Tierra. Una nave viaja hacia allí con $\gamma = 2$, lo que corresponde a $v = 0,866c$ (se obtiene de $v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$). Recuerda que un año luz es la distancia que recorre la luz en un año. El esquema resume el viaje.

1. a) ¿Cuánto dura el viaje para los observadores terrestres?
2. b) ¿Cuánto dura para la tripulación ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
3. c) ¿Qué distancia Tierra-estrella mide la tripulación ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
4. d) Comprueba la coherencia de los resultados: la tripulación debe recorrer la distancia contraída del apartado c) a la velocidad $0,866c$ en el tiempo del apartado b). Verifícalo numéricamente.

La energía asociada a una masa en reposo es $E = m \cdot c^2$, con $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$. Calcula la energía correspondiente a $1\ \text{kg}$ de masa y exprésala en notación científica.

El Sol radia una potencia de $3,9 \cdot 10^{26}\ \text{W}$ convirtiendo parte de su masa en energía.

1. a) Calcula la energía que emite cada segundo.
2. b) Usando $E = m \cdot c^2$ con $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, calcula la masa que el Sol convierte en energía cada segundo.
3. c) Expresa el resultado en toneladas ($1\ \text{t} = 10^{3}\ \text{kg}$).

En una tomografía por emisión de positrones (PET), un positrón emitido por un trazador radiactivo se aniquila con un electrón del tejido y toda su masa se convierte en energía, emitida en dos fotones gamma. La masa de cada partícula es $9,11 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$ (dato: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). El esquema representa el proceso.

1. a) Calcula la masa total que se aniquila en el suceso.
2. b) Calcula la energía liberada ($E = m \cdot c^2$).
3. c) ¿Qué energía lleva cada fotón, si los dos se reparten la energía por igual?
4. d) Explica por qué la aniquilación materia-antimateria es el proceso de conversión de masa en energía más eficiente posible y compáralo con la fusión solar, que convierte menos del $1\ \%$ de la masa.

El Sol tiene una masa de $2 \cdot 10^{30}\ \text{kg}$ y radia una potencia de $3,9 \cdot 10^{26}\ \text{W}$ convirtiendo masa en energía ($E = m \cdot c^2$; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la masa que el Sol pierde cada segundo.
2. b) Calcula la masa perdida en $10^{10}$ años ($3,2 \cdot 10^{17}\ \text{s}$), del orden de su vida total.
3. c) ¿Qué fracción de la masa solar representa? Exprésala en tanto por ciento.
4. d) Concluye si la radiación cambia apreciablemente la masa del Sol a lo largo de su vida y comenta por qué su gravedad apenas se ve afectada.