Exercicis: Contracció de la longitud, dilatació del temps i energia relativista

Un fenomen dura $\Delta t_0 = 10\ \text{s}$ mesurat en el seu propi sistema de referència. Per a un observador que el veu passar a gran velocitat, el factor de Lorentz val $\gamma = 2$. Sabent que la dilatació del temps és $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$, quant dura el fenomen per a aquest observador?

La contracció de la longitud és $L = \frac{L_0}{\gamma}$. Una nau mesura $L_0 = 100\ \text{m}$ en repòs i viatja amb $\gamma = 2$. Quina longitud mesura un observador a la Terra?

L'energia associada a una massa en repòs és $E = m \cdot c^2$, amb $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$. Calcula l'energia corresponent a $1\ \text{kg}$ de massa i expressa-la en notació científica.

Una vareta té una longitud pròpia de $2\ \text{m}$ i es mou respecte al laboratori amb $\gamma = 1,25$. Utilitzant $L = \frac{L_0}{\gamma}$, calcula la seva longitud mesurada des del laboratori.

Un muó té una vida mitjana en repòs de $2,2\ \mu\text{s}$. Un feix de muons viatja per un anell d'emmagatzematge amb $\gamma = 10$. Aplicant $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$, quina és la vida mitjana dels muons mesurada des del laboratori?

Calcula l'energia de la massa en repòs d'un electró, $m = 9,11 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$, utilitzant $E = m \cdot c^2$ amb $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$. Expressa el resultat en notació científica amb dues xifres significatives.

La contracció de la longitud només afecta la dimensió paral·lela al moviment. Una nau de $50\ \text{m}$ de llargària pròpia i $20\ \text{m}$ d'alçada viatja horitzontalment amb $\gamma = 1,25$. La figura mostra les seves dimensions pròpies.

1. a) Quina longitud mesura des de la Terra ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) Quina alçada mesura des de la Terra? Justifica-ho.

Un rellotge viatja en una nau amb $\gamma = 1,5$. Quan per al viatger han passat $6$ anys, quants anys han transcorregut a la Terra? Aplica $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$ i indica quin dels dos temps és el temps propi del viatge.

Un astronauta viatja en una nau amb $\gamma = 1,25$. Des de la Terra es mesura que el viatge dura $8$ anys.

1. a) Utilitzant $\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$, quants anys envelleix l'astronauta?
2. b) Si va partir amb $30$ anys, quina edat té en tornar i quina edat té el seu germà bessó, que es va quedar a la Terra?

Un muó es crea a l'alta atmosfera viatjant a $v = 0,998c$ amb $\gamma = 15$; la seva vida mitjana pròpia és $2,2\ \mu\text{s}$ (dada: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la seva vida mitjana mesurada des de la Terra ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$).
2. b) Calcula la distància mitjana que recorre segons un observador terrestre.
3. c) Si el muó s'hagués creat a $30\ \text{km}$ d'alçada, arribaria de mitjana a la superfície? Justifica-ho amb el resultat anterior.

Una nau de longitud pròpia $L_0 = 120\ \text{m}$ viatja amb $\gamma = 1,5$.

1. a) Quina longitud mesura un observador terrestre ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) Si el viatge dura $10$ anys per a la Terra, quant dura per a la tripulació ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
3. c) Raona quin dels dos observadors mesura el temps propi del viatge i per què.

Un quilowatt-hora, la unitat d'energia de les factures elèctriques, equival a $3,6 \cdot 10^{6}\ \text{J}$.

1. a) Utilitzant $E = m \cdot c^2$ amb $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, calcula a quina massa equival $1\ \text{kW} \cdot \text{h}$ d'energia.
2. b) Compara aquesta massa amb la d'un gra de sorra ($10^{-5}\ \text{kg}$): quantes vegades més gran és el gra de sorra? Comenta el resultat.

El Sol radia una potència de $3,9 \cdot 10^{26}\ \text{W}$ convertint part de la seva massa en energia.

1. a) Calcula l'energia que emet cada segon.
2. b) Utilitzant $E = m \cdot c^2$ amb $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, calcula la massa que el Sol converteix en energia cada segon.
3. c) Expressa el resultat en tones ($1\ \text{t} = 10^{3}\ \text{kg}$).

Un pió té una vida pròpia de $2,6 \cdot 10^{-8}\ \text{s}$. En un accelerador lineal viatja a $v = 0,98c$ amb $\gamma = 5$ (dada: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Quina és la seva vida mitjana mesurada al laboratori ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
2. b) Quina distància mitjana recorre a l'accelerador abans de desintegrar-se?
3. c) Explica per què sense la dilatació del temps els pions amb prou feines recorrerien uns $8\ \text{m}$ i quina conseqüència tindria això per a la seva detecció.

El factor de Lorentz és $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$, d'on $v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$.

1. a) Calcula la velocitat d'una nau que viatja amb $\gamma = 2$, expressada com a fracció de $c$.
2. b) Expressa aquesta velocitat en $\text{m/s}$ (dada: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

Una bombeta de $100\ \text{W}$ roman encesa durant $10$ anys, és a dir, $3,2 \cdot 10^{8}\ \text{s}$.

1. a) Calcula l'energia elèctrica consumida.
2. b) Utilitzant $E = m \cdot c^2$ amb $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$, calcula la massa equivalent a aquesta energia.
3. c) Compara aquesta massa amb la d'un bacteri ($10^{-15}\ \text{kg}$): quantes vegades més gran és?

Proxima Centauri, l'estel més proper al Sol, està a $4,2$ anys llum mesurats des de la Terra. Una nau viatja cap allà amb $\gamma = 2$, la qual cosa correspon a $v = 0,866c$ (s'obté de $v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$). Recorda que un any llum és la distància que recorre la llum en un any. L'esquema resumeix el viatge.

1. a) Quant dura el viatge per als observadors terrestres?
2. b) Quant dura per a la tripulació ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
3. c) Quina distància Terra-estel mesura la tripulació ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
4. d) Comprova la coherència dels resultats: la tripulació ha de recórrer la distància contreta de l'apartat c) a la velocitat $0,866c$ en el temps de l'apartat b). Verifica-ho numèricament.

El Sol té una massa de $2 \cdot 10^{30}\ \text{kg}$ i radia una potència de $3,9 \cdot 10^{26}\ \text{W}$ convertint massa en energia ($E = m \cdot c^2$; $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula la massa que el Sol perd cada segon.
2. b) Calcula la massa perduda en $10^{10}$ anys ($3,2 \cdot 10^{17}\ \text{s}$), de l'ordre de la seva vida total.
3. c) Quina fracció de la massa solar representa? Expressa-la en tant per cent.
4. d) Conclou si la radiació canvia apreciablement la massa del Sol al llarg de la seva vida i comenta per què la seva gravetat amb prou feines es veu afectada.

Al Sol, cada reacció de la cadena protó-protó converteix quatre protons en un nucli d'heli amb un defecte de massa de $\Delta m = 4,7 \cdot 10^{-29}\ \text{kg}$ ($c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula l'energia alliberada en cada reacció ($E = \Delta m \cdot c^2$).
2. b) El Sol radia $3,9 \cdot 10^{26}\ \text{W}$: calcula quantes d'aquestes reaccions tenen lloc cada segon.
3. c) Si cada reacció consumeix quatre protons de $1,67 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$ cadascun, calcula la massa d'hidrogen que el Sol fusiona cada segon.
4. d) Compara la massa fusionada de l'apartat c) amb la massa convertida en energia de l'apartat a) i b): quin percentatge de la massa es transforma en energia?

Una nau de longitud pròpia $100\ \text{m}$ travessa una estació espacial amb $\gamma = 7,09$. L'estació disposa d'un hangar de $15\ \text{m}$. L'esquema representa la situació.

1. a) Quina longitud mesura el personal de l'estació per a la nau ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)? Hi cap la nau sencera dins de l'hangar, encara que sigui durant un instant, segons ells?
2. b) Per al pilot és l'estació la que es mou: quina longitud mesura el pilot per a l'hangar? Hi cap la nau segons ell?
3. c) La contradicció aparent es dissol perquè «la nau és sencera a dins alhora» no significa el mateix per a ambdós observadors. Anomena i explica el concepte relativista que resol la paradoxa.

Un quilogram de gasolina allibera en cremar-se $4,6 \cdot 10^{7}\ \text{J}$ ($c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$).

1. a) Calcula l'energia corresponent a la massa en repòs de $1\ \text{kg}$ segons $E = m \cdot c^2$.
2. b) A quants quilograms de gasolina equivaldria aquesta energia?
3. c) Quina fracció de la seva massa en repòs converteix la gasolina en energia en cremar?
4. d) En vista del resultat, explica per què l'equivalència massa-energia passa desapercebuda en les reaccions químiques i quin tipus de processos sí que converteixen una fracció apreciable de massa en energia.

Un muó es crea a $15\ \text{km}$ d'alçada, viatja a $v = 0,9995c$ amb $\gamma = 31,6$ i la seva vida mitjana pròpia és $2,2\ \mu\text{s}$ (dada: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). La figura compara els dos punts de vista.

1. a) Calcula la seva vida mitjana vista des de la Terra ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$).
2. b) Calcula la distància mitjana que recorre segons la Terra i conclou si pot arribar a la superfície.
3. c) Des del punt de vista del muó, la seva vida és de $2,2\ \mu\text{s}$ però l'atmosfera es contreu: calcula el gruix d'atmosfera que travessa ($L = \frac{L_0}{\gamma}$) i la distància que recorre en la seva vida pròpia, i comprova que arriba a la mateixa conclusió que a b).
4. d) Explica per què ambdós observadors estan d'acord en el resultat final (el muó arriba a terra) encara que ho expliquin de manera diferent.

Una agència espacial estudia que una nau de $50\ \text{m}$ de longitud pròpia mesuri només $10\ \text{m}$ des de la Terra.

1. a) Quin factor $\gamma$ fa falta per a això ($L = \frac{L_0}{\gamma}$)?
2. b) Calcula la velocitat corresponent amb $v = c \cdot \sqrt{1 - \frac{1}{\gamma^2}}$ i expressa-la com a fracció de $c$.
3. c) Amb aquest factor $\gamma$, quants anys transcorrerien a la Terra per cada any que envelleix la tripulació ($\Delta t = \gamma \cdot \Delta t_0$)?
4. d) Valora, a la vista dels resultats, què tindria el viatge interestel·lar a aquestes velocitats d'avantatge i de problema per a l'exploració humana.

En una tomografia per emissió de positrons (PET), un positró emès per un traçador radioactiu s'anihila amb un electró del teixit i tota la seva massa es converteix en energia, emesa en dos fotons gamma. La massa de cada partícula és $9,11 \cdot 10^{-31}\ \text{kg}$ (dada: $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$). L'esquema representa el procés.

1. a) Calcula la massa total que s'anihila en el succés.
2. b) Calcula l'energia alliberada ($E = m \cdot c^2$).
3. c) Quina energia porta cada fotó, si tots dos es reparteixen l'energia a parts iguals?
4. d) Explica per què l'anihilació matèria-antimatèria és el procés de conversió de massa en energia més eficient possible i compara'l amb la fusió solar, que converteix menys de l'$1\ \%$ de la massa.

Repte del tema. Dissenya un informe científic modelitzant el pas de muons còsmics pel teu propi entorn quotidià.

1. Mesura experimental: Mesura amb una cinta mètrica l'alçària de la teva habitació o de les escales de casa teva ($L_0$). Realitza 5 repeticions per calcular el valor mitjà i la seva incertesa absoluta ($L_0 \pm \Delta L_0$).

2. Tractament de dades i modelització: Suposant que un muó ($m = 1,88 \cdot 10^{-28}\text{ kg}$) travessa aquesta distància a diferents velocitats ($v = 0,5c; 0,8c; 0,95c; 0,99c$), elabora una taula i una gràfica que representin la contracció de la longitud ($L$), la dilatació temporal (temps de recorregut en el teu sistema, $\Delta t = L_0/v$, i temps propi del muó, $\Delta \tau = \Delta t/\gamma$) i l'energia total relativista ($E = \gamma m c^2$) enfront de $v/c$.

3. Anàlisi crítica: Redacta una conclusió fonamentant els postulats d'Einstein, explicant per què la partícula no arriba a $c$ mitjançant el balanç energètic i contrastant la perspectiva del muó enfront de la teva.

Es valorarà:

• Precisió en la presa de mesures casolanes i expressió correcta d'incerteses.

• Rigor matemàtic en el càlcul de magnituds relativistes i claredat en la gràfica.

• Aplicació coherent dels postulats de la relativitat i del concepte d'energia relativista.