La energía en el movimiento oscilatorio

Una masa oscila horizontalmente unida a un muelle, sin rozamiento, entre las posiciones $x = -A$ y $x = +A$. La figura muestra el oscilador con esas posiciones marcadas.

1. a) ¿En qué posición o posiciones es máxima la energía potencial elástica?
2. b) ¿En qué posición es máxima la energía cinética?
3. c) ¿En qué posiciones la energía cinética es nula? Justifica tus respuestas con las fórmulas $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ y $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$.

Las poleas y el arco de un arco de tiro deportivo se comportan en conjunto como un muelle de constante equivalente $k = 300\ \text{N/m}$. Al tensarlo, la cuerda se desplaza $x = 0,1\ \text{m}$. Calcula la energía potencial elástica almacenada, $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$.

La energía mecánica de un oscilador masa-muelle es $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, donde $A$ es la amplitud. En el laboratorio, un oscilador tiene $k = 200\ \text{N/m}$ y oscila con amplitud $A = 0,05\ \text{m}$. Calcula su energía mecánica.

Un carro de $m = 0,5\ \text{kg}$ unido a un muelle pasa por la posición de equilibrio con una velocidad de $2\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula su energía cinética en ese punto.
2. b) ¿Cuánto vale en ese punto su energía potencial elástica? ¿Y su energía mecánica? Justifícalo.

La membrana de un altavoz se puede modelar como un oscilador masa-muelle de masa $m = 0,4\ \text{kg}$ y constante elástica efectiva $k = 250\ \text{N/m}$, que vibra con amplitud $A = 0,08\ \text{m}$.

1. a) Calcula la energía mecánica de la vibración.
2. b) Toda esa energía es cinética al pasar por el equilibrio: calcula la velocidad máxima de la membrana.
3. c) Comprueba que coincide con el valor que da la expresión $v_{max} = A \cdot \sqrt{\frac{k}{m}}$.

Un oscilador masa-muelle tiene una energía mecánica constante $E_m$.

1. a) Describe cómo varía la energía potencial elástica $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ con la posición: ¿qué forma tiene su gráfica frente a $x$ entre $-A$ y $+A$?
2. b) La energía cinética en cada punto es $E_c = E_m - E_p$. Describe cómo varía $E_c$ con la posición.
3. c) ¿Qué representa el punto donde se cruzan las gráficas de $E_c$ y $E_p$? Dibuja en tu cuaderno las tres gráficas ($E_p$, $E_c$ y $E_m$) frente a la posición.

Un carro de $m = 0,5\ \text{kg}$ oscila sobre una mesa sin rozamiento unido a un muelle de $k = 400\ \text{N/m}$, con amplitud $A = 0,1\ \text{m}$. La figura muestra cómo se reparte la energía del oscilador en función de la posición.

1. a) Calcula la energía mecánica del oscilador, $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Calcula la energía potencial elástica cuando la elongación es $x = 0,06\ \text{m}$.
3. c) Calcula la energía cinética en ese mismo punto y, a partir de ella, la velocidad del carro.

Un oscilador masa-muelle tiene $k = 100\ \text{N/m}$ y oscila con amplitud $A = 0,1\ \text{m}$.

1. a) Calcula la energía mecánica y la energía potencial elástica en los puntos $x = 0$, $x = 0,05\ \text{m}$ y $x = 0,1\ \text{m}$.
2. b) Calcula la energía cinética en esos mismos tres puntos.
3. c) Con esos valores, dibuja en tu cuaderno las gráficas de $E_p(x)$, $E_c(x)$ y $E_m(x)$ entre $-A$ y $+A$ y descríbelas: forma de cada curva, puntos de corte con los ejes y punto de cruce entre $E_p$ y $E_c$.
4. d) Calcula la posición exacta donde las gráficas de $E_p$ y $E_c$ se cruzan.

La bola de acero de una máquina de demolición cuelga de un cable de $l = 2\ \text{m}$ y se suelta desde el reposo cuando el cable forma un ángulo de $60^\circ$ con la vertical (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). La altura que desciende respecto al punto más bajo es $h = l \cdot (1 - \cos 60^\circ)$. La situación se muestra en la figura.

1. a) Calcula esa altura $h$.
2. b) Aplica la conservación de la energía, $m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$, y calcula la velocidad de la bola al pasar por el punto más bajo.
3. c) ¿Depende esa velocidad de la masa de la bola? Justifícalo.

El tambor de una lavadora, durante el centrifugado, vibra con una energía mecánica de $1,44\ \text{J}$. Los amortiguadores que lo sujetan se comportan como un muelle de constante efectiva $k = 200\ \text{N/m}$.

1. a) Despeja la amplitud de la fórmula $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Calcula la amplitud de la vibración, en metros, y exprésala también en centímetros.

Un oscilador real con rozamiento pierde el $10\ \%$ de su energía mecánica en cada ciclo. Parte con una energía inicial $E_0 = 2\ \text{J}$. La figura muestra cómo decrece la amplitud de la oscilación con el tiempo.

1. a) Calcula la energía mecánica que le queda después de $5$ ciclos.
2. b) Teniendo en cuenta que $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, es decir, que la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud, calcula en qué factor se ha reducido la amplitud tras esos $5$ ciclos.
3. c) ¿En qué se ha transformado la energía perdida? Explica por qué el periodo de la oscilación, sin embargo, apenas cambia aunque la amplitud disminuya (pista: ¿de qué magnitudes depende $T$?).