Exercicis: L'energia en el moviment oscil·latori

Una massa oscil·la horitzontalment unida a una molla, sense fregament, entre les posicions $x = -A$ i $x = +A$. La figura mostra l'oscil·lador amb aquestes posicions marcades.

1. a) En quina posició o posicions és màxima l'energia potencial elàstica?
2. b) En quina posició és màxima l'energia cinètica?
3. c) En quines posicions l'energia cinètica és nul·la? Justifica les teves respostes amb les fórmules $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ i $E_c = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$.

Les politges i l'arc d'un arc de tir esportiu es comporten en conjunt com una molla de constant equivalent $k = 300\ \text{N/m}$. En tensar-lo, la corda es desplaça $x = 0,1\ \text{m}$. Calcula l'energia potencial elàstica emmagatzemada, $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$.

L'energia mecànica d'un oscil·lador massa-molla és $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, on $A$ és l'amplitud. Al laboratori, un oscil·lador té $k = 200\ \text{N/m}$ i oscil·la amb amplitud $A = 0,05\ \text{m}$. Calcula la seva energia mecànica.

El vibrador d'un telèfon mòbil emmagatzema una energia mecànica de $2\ \text{J}$ mentre oscil·la.

1. a) Quant val la seva energia cinètica màxima? En quina posició s'assoleix?
2. b) Quant val la seva energia potencial elàstica màxima? En quines posicions s'assoleix?
3. c) Quina relació hi ha entre aquests dos valors i l'energia mecànica? Justifica-ho.

Un carro de $m = 0,5\ \text{kg}$ unit a una molla passa per la posició d'equilibri amb una velocitat de $2\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la seva energia cinètica en aquest punt.
2. b) Quant val en aquest punt la seva energia potencial elàstica? I la seva energia mecànica? Justifica-ho.

En un bressol de Newton (el pèndol de boles d'acer dels despatxos), una bola de $m = 0,3\ \text{kg}$ s'eleva $h = 0,2\ \text{m}$ sobre el seu punt més baix abans de deixar-la anar (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura mostra la bola elevada, a punt de deixar-se anar.

1. a) Calcula la seva energia potencial gravitatòria respecte al punt més baix, $E_p = m \cdot g \cdot h$.
2. b) En què es transformarà aquesta energia en deixar anar la bola? Quant valdrà l'energia cinètica en passar pel punt més baix?

Un oscil·lador massa-molla té una energia mecànica constant $E_m$.

1. a) Descriu com varia l'energia potencial elàstica $E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot x^2$ amb la posició: quina forma té la seva gràfica enfront de $x$ entre $-A$ i $+A$?
2. b) L'energia cinètica a cada punt és $E_c = E_m - E_p$. Descriu com varia $E_c$ amb la posició.
3. c) Què representa el punt on es creuen les gràfiques de $E_c$ i $E_p$? Dibuixa al teu quadern les tres gràfiques ($E_p$, $E_c$ i $E_m$) enfront de la posició.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Una gimnasta salta sobre un llit elàstic i oscil·la verticalment, sense perdre el contacte amb la lona, entre un punt més alt i un punt més baix.

1. a) En quin punt de l'oscil·lació és màxima la seva energia potencial gravitatòria?
2. b) En quin punt és màxima l'energia potencial elàstica emmagatzemada per la lona?
3. c) On és màxima la seva energia cinètica? Justifica les tres respostes per l'intercanvi d'energies.

Un carro de $m = 0,5\ \text{kg}$ oscil·la sobre una taula sense fregament unit a una molla de $k = 400\ \text{N/m}$, amb amplitud $A = 0,1\ \text{m}$. La figura mostra com es reparteix l'energia de l'oscil·lador en funció de la posició.

1. a) Calcula l'energia mecànica de l'oscil·lador, $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Calcula l'energia potencial elàstica quan l'elongació és $x = 0,06\ \text{m}$.
3. c) Calcula l'energia cinètica en aquest mateix punt i, a partir d'aquesta, la velocitat del carro.

Un oscil·lador massa-molla oscil·la amb amplitud $A = 0,1\ \text{m}$. Es vol trobar la posició on l'energia cinètica i l'energia potencial elàstica són iguals.

1. a) Planteja la condició $E_c = E_p$ tenint en compte que $E_c + E_p = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, i demostra que en aquest punt $E_p = \frac{1}{4} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Aïlla l'elongació i calcula'n el valor numèric.
3. c) Comprova que el resultat és menor que l'amplitud: és raonable?

La membrana d'un altaveu es pot modelar com un oscil·lador massa-molla de massa $m = 0,4\ \text{kg}$ i constant elàstica efectiva $k = 250\ \text{N/m}$, que vibra amb amplitud $A = 0,08\ \text{m}$.

1. a) Calcula l'energia mecànica de la vibració.
2. b) Tota aquesta energia és cinètica en passar per l'equilibri: calcula la velocitat màxima de la membrana.
3. c) Comprova que coincideix amb el valor que dóna l'expressió $v_{max} = A \cdot \sqrt{\frac{k}{m}}$.

La bola d'acer d'una màquina de demolició penja d'un cable de $l = 2\ \text{m}$ i es deixa anar des del repòs quan el cable forma un angle de $60^\circ$ amb la vertical (pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). L'altura que descendeix respecte al punt més baix és $h = l \cdot (1 - \cos 60^\circ)$. La situació es mostra a la figura.

1. a) Calcula aquesta altura $h$.
2. b) Aplica la conservació de l'energia, $m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2$, i calcula la velocitat de la bola en passar pel punt més baix.
3. c) Depèn aquesta velocitat de la massa de la bola? Justifica-ho.

La molla del llançador d'un pinball té una constant elàstica $k = 100\ \text{N/m}$. La figura mostra com creix l'energia potencial elàstica amb la compressió.

1. a) Calcula l'energia potencial elàstica emmagatzemada quan es comprimeix $0,1\ \text{m}$ i quan es comprimeix $0,2\ \text{m}$.
2. b) Quina energia addicional cal aportar per passar d'una compressió a l'altra?
3. c) Per què no val dir que «el doble de compressió és el doble d'energia»? Raona amb la fórmula.

El tambor d'una rentadora, durant el centrifugat, vibra amb una energia mecànica de $1,44\ \text{J}$. Els amortidors que el subjecten es comporten com una molla de constant efectiva $k = 200\ \text{N/m}$.

1. a) Aïlla l'amplitud de la fórmula $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$.
2. b) Calcula l'amplitud de la vibració, en metres, i expressa-la també en centímetres.

El martell d'un timbre elèctric oscil·la amb amplitud $A = 5\ \text{cm}$ impulsat per una molla de constant $k = 800\ \text{N/m}$; la seva massa és $m = 0,1\ \text{kg}$.

1. a) Expressa l'amplitud en metres i calcula l'energia mecànica de l'oscil·lador.
2. b) Calcula l'energia cinètica màxima del martell.
3. c) Calcula la velocitat màxima del martell.

Una persona es balanceja en una liana de $l = 2\ \text{m}$ i passa pel punt més baix a $3\ \text{m/s}$ (pren $g = 10\ \text{m/s}^2$). La figura mostra el balanceig.

1. a) Calcula l'altura màxima que assoleix sobre el punt més baix, aplicant $\frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = m \cdot g \cdot h$.
2. b) L'altura i l'angle màxim $\theta$ amb la vertical compleixen $h = l \cdot (1 - \cos\theta)$. Calcula el valor de $\cos\theta$ i dedueix l'angle màxim que assoleix la liana.

Un oscil·lador massa-molla té $k = 100\ \text{N/m}$ i oscil·la amb amplitud $A = 0,1\ \text{m}$.

1. a) Calcula l'energia mecànica i l'energia potencial elàstica en els punts $x = 0$, $x = 0,05\ \text{m}$ i $x = 0,1\ \text{m}$.
2. b) Calcula l'energia cinètica en aquests mateixos tres punts.
3. c) Amb aquests valors, dibuixa al teu quadern les gràfiques de $E_p(x)$, $E_c(x)$ i $E_m(x)$ entre $-A$ i $+A$ i descriu-les: forma de cada corba, punts de tall amb els eixos i punt d'encreuament entre $E_p$ i $E_c$.
4. d) Calcula la posició exacta on les gràfiques de $E_p$ i $E_c$ es creuen.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Un oscil·lador real amb fregament perd el $10\ \%$ de la seva energia mecànica a cada cicle. Parteix amb una energia inicial $E_0 = 2\ \text{J}$. La figura mostra com decreix l'amplitud de l'oscil·lació amb el temps.

1. a) Calcula l'energia mecànica que li queda després de $5$ cicles.
2. b) Tenint en compte que $E_m = \frac{1}{2} \cdot k \cdot A^2$, és a dir, que l'energia és proporcional al quadrat de l'amplitud, calcula en quin factor s'ha reduït l'amplitud després d'aquests $5$ cicles.
3. c) En què s'ha transformat l'energia perduda? Explica per què el període de l'oscil·lació, tanmateix, gairebé no canvia encara que l'amplitud disminueixi (pista: de quines magnituds depèn $T$?).

Un oscil·lador de $m = 0,2\ \text{kg}$ i $k = 50\ \text{N/m}$ oscil·la amb amplitud $A = 0,2\ \text{m}$.

1. a) Calcula la seva energia mecànica.
2. b) Calcula l'energia potencial, l'energia cinètica i la velocitat quan l'elongació és $x = 0,16\ \text{m}$.
3. c) Demostra, fent servir $E_c = \frac{1}{2} \cdot k \cdot (A^2 - x^2)$, que la velocitat és la meitat de la màxima quan $x = A \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$, i calcula aquesta posició.

Un pèndol de demostració de laboratori té una longitud $l = 1\ \text{m}$ i es deixa anar des del repòs formant $60^\circ$ amb la vertical (pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Recorda que l'altura sobre el punt més baix és $h = l \cdot (1 - \cos\theta)$. La figura mostra el pèndol en les tres posicions considerades.

1. a) Calcula la velocitat màxima que assoleix en passar pel punt més baix.
2. b) Calcula la seva velocitat quan el fil forma $30^\circ$ amb la vertical, aplicant la conservació de l'energia entre els punts de $60^\circ$ i $30^\circ$.
3. c) Compara les dues velocitats: per què la velocitat a $30^\circ$ és més de la meitat de la màxima encara que l'angle sigui just la meitat?

Un oscil·lador de $m = 1\ \text{kg}$ i $k = 100\ \text{N/m}$ oscil·la primer amb amplitud $A = 0,1\ \text{m}$ i després amb amplitud $A' = 0,2\ \text{m}$.

1. a) Calcula l'energia mecànica en cada cas i el seu quocient $\frac{E_m'}{E_m}$.
2. b) Calcula la velocitat màxima en cada cas i el seu quocient $\frac{v_{max}'}{v_{max}}$.
3. c) Generalitza el resultat: si l'amplitud es multiplica per un factor $n$, per quin factor es multipliquen l'energia mecànica i la velocitat màxima? Justifica-ho amb les fórmules.

En un oscil·lador harmònic es mesura que, quan l'elongació val $x = \frac{A}{2}$, l'energia cinètica és de $6\ \text{J}$.

1. a) Demostra que en aquest punt l'energia potencial elàstica val la quarta part de l'energia mecànica, és dir, $E_p = \frac{E_m}{4}$.
2. b) A partir de la mesura, calcula l'energia mecànica de l'oscil·lador.
3. c) Calcula l'energia cinètica en passar per l'equilibri i l'energia potencial en els extrems.

Una esfera d'acer de $m = 2\ \text{kg}$ penja d'una corda de $l = 2,5\ \text{m}$ i es deixa anar des del repòs formant $30^\circ$ amb la vertical (pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$; recorda $h = l \cdot (1 - \cos\theta)$).

1. a) Calcula l'energia mecànica del pèndol respecte al punt més baix de la trajectòria.
2. b) Calcula la velocitat màxima en passar pel punt més baix.
3. c) Si l'esfera tingués el doble de massa i es deixés anar des del mateix angle, com canviarien l'energia mecànica i la velocitat màxima? Justifica-ho amb les fórmules i explica per què una d'elles no canvia.

Una joguina llança verticalment una bola de $m = 0,05\ \text{kg}$ mitjançant una molla de constant $k = 500\ \text{N/m}$ que es comprimeix $x = 0,1\ \text{m}$ abans de deixar-se anar (pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). El llançament es mostra a la figura.

1. a) Calcula l'energia potencial elàstica emmagatzemada a la molla comprimida.
2. b) Suposant que tota aquesta energia es converteix en energia cinètica de la bola, calcula la seva velocitat de sortida.
3. c) Calcula l'altura màxima que assolirà la bola, aplicant de nou la conservació de l'energia.
4. d) La joguina real assoleix menys altura de la calculada. Esmenta almenys dues causes energètiques que ho expliquin.

Repte del tema. Es conserva l'energia mecànica en un oscil·lador real? Analitza el comportament d'un pèndol casolà aplicant el moviment harmònic simple (MAS) i el balanç energètic.

1. Muntatge i presa de dades: Penja un objecte petit i dens (unes claus) d'un fil prim ($L \approx 0,70\text{ m}$). Separa'l amb un angle petit ($\theta \le 10^\circ$) per assegurar el règim de MAS. Mesura amb el mòbil el temps de $10$ oscil·lacions completes i repeteix-ho $5$ vegades per determinar el període amb la seva incertesa ($T \pm \Delta T$). Registra la massa amb una balança de cuina ($m \pm \Delta m$). Anota també l'angle inicial $\theta_0$ i calcula l'amplitud $A = L\theta_0$ (amb $\theta_0$ en radiants).

2. Cinemàtica del MAS: Calcula la freqüència angular $\omega = 2\pi/T$ i escriu l'equació d'elongació $x(t) = A\cos(\omega t)$. Compara el període mesurat amb el teòric ($T = 2\pi\sqrt{L/g}$, amb $g = 9,80\text{ m/s}^2$) justificant les diferències.

3. Energia i gràfica: Calcula l'energia cinètica màxima, $E_{c,\text{max}} = \frac{1}{2}m\omega^2 A^2$, i compara-la amb la potencial inicial. Elabora una taula amb $E_c(t)$, $E_p(t)$ i $E_m(t)$ en $8$ instants d'una oscil·lació i representa les seves corbes en una mateixa gràfica.

4. Informe final: Mesura (per exemple, gravant un vídeo) l'amplitud inicial i l'amplitud després de $10$ oscil·lacions, estima la pèrdua d'energia mecànica i lliura una proposta raonada que expliqui les pèrdues observades per fregament.

Es valorarà:

• Rigor en l'obtenció experimental de mesures i incerteses.

• Correcció en les equacions del MAS i el càlcul d'energies.

• Qualitat tècnica de la taula i la gràfica comparativa.

• Anàlisi crítica sobre la degradació de l'energia mecànica.