Exercicis: L'equació d'ones i la seva relació amb el MAS

En un laboratori es genera en una corda tensa una ona transversal l'equació de la qual, en unitats del Sistema Internacional, és $y(x, t) = 0,05 \cdot \sen(4 \cdot \pi \cdot x - 20 \cdot \pi \cdot t)$. La figura mostra el perfil de la corda en un instant.

1. a) Indica els valors de l'amplitud $A$, del nombre d'ona $k$ i de la freqüència angular $\omega$.
2. b) Raona, a partir del signe que acompanya el terme en $t$ dins de la fase, en quin sentit de l'eix $x$ es propaga l'ona.

Un diapasó vibra i genera a l'aire una ona harmònica de freqüència angular $\omega = 100 \cdot \pi\ \text{rad/s}$.

1. a) Calcula el seu període $T$, recordant que $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega}$.
2. b) Calcula la seva freqüència $f$, en $\text{Hz}$.

En una cubeta d'ones del laboratori es generen ones a la superfície de l'aigua amb un nombre d'ona $k = 2 \cdot \pi\ \text{rad/m}$. La figura mostra el perfil de la superfície en un instant.

1. a) Calcula la longitud d'ona $\lambda$, recordant que $\lambda = \frac{2 \cdot \pi}{k}$.
2. b) Explica amb les teves paraules què representa físicament la longitud d'ona observant el perfil de la superfície.

L'oïda humana percep sons d'entre $20\ \text{Hz}$ i $20\ \text{kHz}$, i el so viatja per l'aire a $340\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la longitud d'ona del so més greu que podem sentir fent servir $v = \lambda \cdot f$.
2. b) Calcula la longitud d'ona del so més agut que podem sentir, expressant abans $20\ \text{kHz}$ en hertzs.
3. c) Raona, a la vista dels resultats, com varia la longitud d'ona quan augmenta la freqüència si la velocitat no canvia.

L'equació $y(x, t) = A \cdot \sen(k \cdot x - \omega \cdot t)$ descriu una pertorbació doblement periòdica: en el temps i en l'espai. Les dues gràfiques de la figura representen aquesta doble periodicitat.

1. a) Si triem un punt fix del medi (fixem $x$), amb quin període oscil·la? Expressa'l en funció de $\omega$.
2. b) Si observem el perfil de la pertorbació en un instant fix (fixem $t$), cada quina distància es repeteix? Expressa'l en funció de $k$.
3. c) Explica, a partir del que s'ha dit anteriorment, per què es diu que el moviment ondulatori combina una oscil·lació en el temps amb una periodicitat en l'espai.

Per una molla espiral tensa es propaga una ona longitudinal l'equació de la qual, en unitats del Sistema Internacional, és $y(x, t) = 0,04 \cdot \sen(2 \cdot \pi \cdot x - 10 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Calcula la seva freqüència $f$ i el seu període $T$.
2. b) Calcula la seva longitud d'ona $\lambda$.
3. c) Calcula la seva velocitat de propagació fent servir $v = \frac{\omega}{k}$.

Quan una ona harmònica travessa un medi, cada punt del medi oscil·la amb un moviment harmònic simple (MAS).

1. a) Indica quines magnituds del MAS de cada punt coincideixen amb les de l'ona: pensa en l'amplitud i en la freqüència.
2. b) Indica quina magnitud distingeix l'oscil·lació d'un punt proper al focus de la d'un punt més allunyat.
3. c) Explica la diferència entre la velocitat d'oscil·lació d'un punt del medi i la velocitat de propagació de l'ona.

Una ona transversal viatja per una corda segons l'equació, en unitats del Sistema Internacional, $y(x, t) = 0,03 \cdot \sen(5 \cdot x + 20 \cdot t)$.

1. a) Determina en quin sentit de l'eix $x$ es propaga l'ona i justifica-ho a partir del signe de la fase.
2. b) Calcula la seva velocitat de propagació a partir de $k$ i $\omega$.
3. c) Reescriu l'equació canviant l'imprescindible perquè l'ona viatgi en el sentit positiu de l'eix.

Una boia oceanogràfica registra el pas d'un tren d'ones d'amplitud $1,5\ \text{m}$ i període $T = 4\ \text{s}$; la distància entre dues crestes consecutives és de $25\ \text{m}$. La figura representa el perfil de les ones.

1. a) Calcula la freqüència angular $\omega$ i el nombre d'ona $k$.
2. b) Calcula la velocitat de propagació de les ones fent servir $v = \lambda \cdot f$.
3. c) Escriu l'equació d'ones suposant fase inicial nul·la i propagació en el sentit positiu de l'eix $x$.

Per una corda es propaga una ona harmònica l'equació de la qual, en unitats del Sistema Internacional, és $y(x, t) = 0,02 \cdot \sen(10 \cdot \pi \cdot x - 200 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Calcula l'elongació del punt situat a $x = 0,5\ \text{m}$ en l'instant $t = 0,01\ \text{s}$.
2. b) Indica quina és l'elongació màxima que pot assolir aquest punt i raona si depèn del punt triat.
3. c) Calcula el període amb què oscil·la aquest punt.

Per estudiar la fase d'una ona sonora de $f = 85\ \text{Hz}$ que viatja per l'aire a $340\ \text{m/s}$ es col·loquen dos micròfons alineats amb l'altaveu que l'emet, tal com es mostra a la figura.

1. a) Calcula la longitud d'ona del so.
2. b) Calcula la diferència de fase entre les oscil·lacions de dos punts separats $1\ \text{m}$, fent servir $\Delta \varphi = \frac{2 \cdot \pi}{\lambda} \cdot \Delta x$.
3. c) Els micròfons es col·loquen finalment separats $2\ \text{m}$: calcula el nou desfasament i raona si en aquest cas els punts oscil·len en fase o en oposició de fase.

En una prospecció geològica es genera una ona sísmica harmònica d'amplitud $0,01\ \text{m}$ i freqüència $f = 10\ \text{Hz}$ que es propaga pel terreny a $6000\ \text{m/s}$ en el sentit positiu de l'eix $x$.

1. a) Calcula la seva longitud d'ona i el seu nombre d'ona.
2. b) Calcula la seva freqüència angular.
3. c) Escriu la seva equació d'ones sabent que la fase inicial és $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}\ \text{rad}$.

Un punt del centre d'una corda de violí oscil·la amb una amplitud de $A = 5\cdot10^{-4}\ \text{m}$ quan la corda emet un la de $f = 440\ \text{Hz}$.

1. a) Calcula la freqüència angular de l'oscil·lació.
2. b) Sabent que la velocitat màxima d'oscil·lació d'un MAS és $v_{max} = A \cdot \omega$, calcula la velocitat màxima d'aquest punt.
3. c) L'ona viatja per aquesta corda a $250\ \text{m/s}$: compara aquest valor amb el de l'apartat anterior i raona per què totes dues velocitats són tan diferents encara que es mesurin a la mateixa corda.

Un generador d'ultrasons de laboratori emet ones de $f = 40\ \text{kHz}$ que es propaguen per l'aire a $340\ \text{m/s}$.

1. a) Expressa la freqüència en hertzs i calcula la longitud d'ona, en metres i en mil·límetres.
2. b) Calcula el període i expressa'l en segons i en microsegons ($1\ \mu\text{s} = 10^{-6}\ \text{s}$).
3. c) Raona, sabent que l'oïda humana percep com a màxim uns $20\ \text{kHz}$, per què ningú no sent el to que emet el generador.

La fotografia instantània d'una corda mostra un perfil sinusoïdal les crestes del qual s'eleven $5\ \text{cm}$ sobre la posició d'equilibri i disten entre si $80\ \text{cm}$; la pertorbació avança per la corda a $2\ \text{m/s}$. La figura mostra aquesta fotografia instantània.

1. a) Determina l'amplitud i la longitud d'ona a partir de la descripció de la fotografia, expressant-les en metres.
2. b) Calcula la freqüència, el període, la freqüència angular i el nombre d'ona.
3. c) Escriu l'equació d'ones amb fase inicial nul·la i propagació en el sentit positiu de l'eix $x$, amb totes les magnituds en unitats del Sistema Internacional.

Una ona transversal d'amplitud $0,04\ \text{m}$ i període $T = 0,5\ \text{s}$ es propaga per una corda a $8\ \text{m/s}$ en el sentit negatiu de l'eix $x$.

1. a) Calcula la seva freqüència angular.
2. b) Calcula la seva longitud d'ona i el seu nombre d'ona.
3. c) Escriu la seva equació d'ones amb fase inicial nul·la, tenint en compte el signe de la fase perquè representi el sentit de propagació indicat.

Per una corda de laboratori viatja una ona harmònica de $f = 50\ \text{Hz}$ a $200\ \text{m/s}$. A la figura es representa el perfil de l'ona amb tres punts P, Q i R assenyalats.

1. a) Calcula la seva longitud d'ona.
2. b) Calcula la distància mínima entre dos punts de la corda que oscil·len en fase i justifica el resultat.
3. c) Calcula la distància mínima entre dos punts que oscil·len en oposició de fase.
4. d) Determina el desfasament entre dos punts separats $3\ \text{m}$ i descriu com oscil·la l'un respecte de l'altre.

Per una corda tensa es propaga en el sentit positiu de l'eix $x$ una ona transversal d'amplitud $0,05\ \text{m}$, freqüència angular $\omega = 20 \cdot \pi\ \text{rad/s}$ i velocitat $10\ \text{m/s}$. En l'instant $t = 0$ el punt de l'origen assoleix la seva elongació màxima positiva.

1. a) Calcula el nombre d'ona $k$.
2. b) Determina la fase inicial $\varphi_0$ imposant la condició $y(0, 0) = A$.
3. c) Escriu l'equació d'ones completa.
4. d) Calcula l'elongació del punt $x = 1\ \text{m}$ en l'instant $t = 0,05\ \text{s}$ i raona el signe del resultat.

Un cable d'acer d'un banc d'assaigs de vibracions té una densitat lineal $\mu = 4\cdot10^{-3}\ \text{kg/m}$ i se sotmet a una tensió $T = 40\ \text{N}$; la velocitat de les ones transversals al cable és $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$. Es genera una ona harmònica d'amplitud $0,02\ \text{m}$ i freqüència $f = 100\ \text{Hz}$ que viatja en el sentit positiu de l'eix $x$ amb fase inicial nul·la.

1. a) Calcula la velocitat de propagació de l'ona.
2. b) Calcula la longitud d'ona, el nombre d'ona i la freqüència angular.
3. c) Escriu l'equació d'ones.
4. d) Si es dupliqués la tensió mantenint la mateixa freqüència, calcula les noves velocitat i longitud d'ona, i raona per què canvien aquestes magnituds i no la freqüència.

En un canal d'ones de laboratori es propaga en el sentit positiu de l'eix $x$ una ona d'amplitud $0,1\ \text{m}$ i velocitat $4\ \text{m/s}$. En l'instant $t = 0$ el perfil de la superfície, amb les crestes separades $2\ \text{m}$, ve donat per $y(x, 0) = 0,1 \cdot \sen(\pi \cdot x)$.

1. a) Determina $k$ i $\omega$ i escriu l'equació d'ones completa.
2. b) Expressa l'elongació del punt $x = 0,5\ \text{m}$ en funció del temps i raona si just després de $t = 0$ aquest punt puja o baixa.
3. c) Comprova l'elongació inicial del punt $x = 1\ \text{m}$ i dedueix en quin sentit comença a moure's.

En una exploració d'ecografia s'empren ultrasons de $f = 3,5\ \text{MHz}$ que es propaguen pel teixit tou a $1540\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la longitud d'ona en metres i expressa-la en mil·límetres.
2. b) L'eco reflectit en una estructura interna es rep $8\cdot10^{-5}\ \text{s}$ després de l'emissió: tenint en compte que el pols recorre dues vegades aquesta distància, calcula la profunditat de l'estructura.
3. c) Raona per què per apreciar detalls de pocs mil·límetres interessa treballar amb freqüències de megahertzs en comptes de sons audibles.

Una ona harmònica de $f = 2\ \text{Hz}$ i amplitud $0,05\ \text{m}$ viatja en el sentit positiu de l'eix $x$ per una corda lleugera a $6\ \text{m/s}$ i passa a una segona corda més densa, unida a la primera, on la seva velocitat és de $3\ \text{m/s}$. En el canvi de medi la freqüència es conserva. Observa l'esquema de les dues cordes unides:

1. a) Calcula la longitud d'ona a cada corda.
2. b) Escriu l'equació d'ones a cadascuna de les cordes, amb fase inicial nul·la.
3. c) Indica quines magnituds es conserven i quines canvien en passar d'una corda a l'altra.
4. d) Raona, pensant en com oscil·la el punt d'unió entre les dues cordes, per què la freqüència no pot canviar en aquest punt.

Una ona transversal es propaga per una corda a $v = 50\ \text{m/s}$ amb una freqüència de $25\ \text{Hz}$.

1. a) Deriva, a partir de $y = A \cdot \sen(k \cdot x - \omega \cdot t)$, l'expressió de la velocitat d'oscil·lació d'un punt de la corda i demostra que el seu valor màxim és $A \cdot \omega$.
2. b) Calcula l'amplitud que hauria de tenir l'ona perquè la velocitat màxima d'oscil·lació dels punts igualés la velocitat de propagació.
3. c) Raona, indicant la direcció i el significat físic de cadascuna, per què la velocitat d'oscil·lació i la velocitat de propagació són magnituds completament diferents.

En una corda tensa s'observa que dos punts separats $1\ \text{m}$ oscil·len sempre en fase.

1. a) Justifica que la longitud d'ona només pot prendre els valors $\lambda = \frac{1}{n}\ \text{m}$, amb $n = 1, 2, 3, \dots$
2. b) Si se sap a més que $\lambda > 0,4\ \text{m}$, determina tots els valors possibles de $\lambda$.
3. c) La velocitat de propagació a la corda és de $100\ \text{m/s}$: calcula la freqüència corresponent a cada valor possible.
4. d) Proposa una mesura addicional que permetés decidir quin dels valors és el real i justifica la teva proposta.