La ecuación de ondas y su relación con el MAS

La ecuación $y(x, t) = A \cdot \sen(k \cdot x - \omega \cdot t)$ describe una perturbación doblemente periódica: en el tiempo y en el espacio. Las dos gráficas de la figura representan esa doble periodicidad.

1. a) Si elegimos un punto fijo del medio (fijamos $x$), ¿con qué periodo oscila? Exprésalo en función de $\omega$.
2. b) Si observamos el perfil de la perturbación en un instante fijo (fijamos $t$), ¿cada qué distancia se repite? Exprésalo en función de $k$.
3. c) Explica, a partir de lo anterior, por qué se dice que el movimiento ondulatorio combina una oscilación en el tiempo con una periodicidad en el espacio.

Cuando una onda armónica atraviesa un medio, cada punto del medio oscila con un movimiento armónico simple (MAS).

1. a) Indica qué magnitudes del MAS de cada punto coinciden con las de la onda: piensa en la amplitud y en la frecuencia.
2. b) Indica qué magnitud distingue la oscilación de un punto cercano al foco de la de un punto más alejado.
3. c) Explica la diferencia entre la velocidad de oscilación de un punto del medio y la velocidad de propagación de la onda.

En un laboratorio se genera en una cuerda tensa una onda transversal cuya ecuación, en unidades del Sistema Internacional, es $y(x, t) = 0,05 \cdot \sen(4 \cdot \pi \cdot x - 20 \cdot \pi \cdot t)$. La figura muestra el perfil de la cuerda en un instante.

1. a) Indica los valores de la amplitud $A$, del número de onda $k$ y de la frecuencia angular $\omega$.
2. b) Razona, a partir del signo que acompaña al término en $t$ dentro de la fase, en qué sentido del eje $x$ se propaga la onda.

Una onda transversal viaja por una cuerda según la ecuación, en unidades del Sistema Internacional, $y(x, t) = 0,03 \cdot \sen(5 \cdot x + 20 \cdot t)$.

1. a) Determina en qué sentido del eje $x$ se propaga la onda y justifícalo a partir del signo de la fase.
2. b) Calcula su velocidad de propagación a partir de $k$ y $\omega$.
3. c) Reescribe la ecuación cambiando lo imprescindible para que la onda viajara en el sentido positivo del eje.

La fotografía instantánea de una cuerda muestra un perfil senoidal cuyas crestas se elevan $5\ \text{cm}$ sobre la posición de equilibrio y distan entre sí $80\ \text{cm}$; la perturbación avanza por la cuerda a $2\ \text{m/s}$. La figura muestra esa fotografía instantánea.

1. a) Determina la amplitud y la longitud de onda a partir de la descripción de la fotografía, expresándolas en metros.
2. b) Calcula la frecuencia, el periodo, la frecuencia angular y el número de onda.
3. c) Escribe la ecuación de ondas con fase inicial nula y propagación en el sentido positivo del eje $x$, con todas las magnitudes en unidades del Sistema Internacional.

Para estudiar la fase de una onda sonora de $f = 85\ \text{Hz}$ que viaja por el aire a $340\ \text{m/s}$ se colocan dos micrófonos alineados con el altavoz que la emite, como se muestra en la figura.

1. a) Calcula la longitud de onda del sonido.
2. b) Calcula la diferencia de fase entre las oscilaciones de dos puntos separados $1\ \text{m}$, usando $\Delta \varphi = \frac{2 \cdot \pi}{\lambda} \cdot \Delta x$.
3. c) Los micrófonos se colocan finalmente separados $2\ \text{m}$: calcula el nuevo desfase y razona si en ese caso los puntos oscilan en fase o en oposición de fase.

Por una cuerda de laboratorio viaja una onda armónica de $f = 50\ \text{Hz}$ a $200\ \text{m/s}$. En la figura se representa el perfil de la onda con tres puntos P, Q y R señalados.

1. a) Calcula su longitud de onda.
2. b) Calcula la distancia mínima entre dos puntos de la cuerda que oscilan en fase y justifica el resultado.
3. c) Calcula la distancia mínima entre dos puntos que oscilan en oposición de fase.
4. d) Determina el desfase entre dos puntos separados $3\ \text{m}$ y describe cómo oscila uno respecto del otro.

Por un muelle espiral tenso se propaga una onda longitudinal cuya ecuación, en unidades del Sistema Internacional, es $y(x, t) = 0,04 \cdot \sen(2 \cdot \pi \cdot x - 10 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Calcula su frecuencia $f$ y su periodo $T$.
2. b) Calcula su longitud de onda $\lambda$.
3. c) Calcula su velocidad de propagación usando $v = \frac{\omega}{k}$.

Un cable de acero de un banco de ensayos de vibraciones tiene una densidad lineal $\mu = 4\cdot10^{-3}\ \text{kg/m}$ y se somete a una tensión $T = 40\ \text{N}$; la velocidad de las ondas transversales en el cable es $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$. Se genera una onda armónica de amplitud $0,02\ \text{m}$ y frecuencia $f = 100\ \text{Hz}$ que viaja en el sentido positivo del eje $x$ con fase inicial nula.

1. a) Calcula la velocidad de propagación de la onda.
2. b) Calcula la longitud de onda, el número de onda y la frecuencia angular.
3. c) Escribe la ecuación de ondas.
4. d) Si se duplicara la tensión manteniendo la misma frecuencia, calcula las nuevas velocidad y longitud de onda, y razona por qué cambian esas magnitudes y no la frecuencia.

Una onda armónica de $f = 2\ \text{Hz}$ y amplitud $0,05\ \text{m}$ viaja en el sentido positivo del eje $x$ por una cuerda ligera a $6\ \text{m/s}$ y pasa a una segunda cuerda más densa, unida a la primera, donde su velocidad es de $3\ \text{m/s}$. En el cambio de medio la frecuencia se conserva. Observa el esquema de las dos cuerdas unidas:

1. a) Calcula la longitud de onda en cada cuerda.
2. b) Escribe la ecuación de ondas en cada una de las cuerdas, con fase inicial nula.
3. c) Indica qué magnitudes se conservan y cuáles cambian al pasar de una cuerda a la otra.
4. d) Razona, pensando en cómo oscila el punto de unión entre ambas cuerdas, por qué la frecuencia no puede cambiar en ese punto.