Exercicis: Tractament vectorial: càrregues lliures en camps

Una càrrega de prova $q = 2\,\mu\text{C}$, col·locada en un punt d'un dispositiu del laboratori, experimenta una força elèctrica de $0,06\ \text{N}$. La situació es representa a la figura.

1. a) Calcula la intensitat del camp elèctric en aquest punt, $E = \frac{F}{q}$, i indica la seva unitat en el Sistema Internacional.
2. b) Com que la càrrega és positiva, quina relació tenen la direcció i el sentit de $\vec{E}$ amb els de la força $\vec{F}$?

Per mesurar el camp elèctric en un punt es fa servir una càrrega de prova.

1. a) Explica què és una càrrega de prova i per què convé que el seu valor sigui petit, de manera que no pertorbi les càrregues que creen el camp.
2. b) Escriu l'expressió del camp que crea una càrrega puntual $Q$ a una distància $r$ i raona, a partir d'aquesta, per què el camp no depèn de la càrrega de prova que s'utilitzi per mesurar-lo.

Una petita esfera carregada amb $Q = 5\,\mu\text{C}$ crea un camp elèctric al seu voltant (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Observa l'esquema:

1. a) Calcula el mòdul del camp a $0,3\ \text{m}$ de l'esfera.
2. b) Indica la direcció i el sentit del camp en aquest punt, raonant-ho a partir del signe de la càrrega.

A partir de la definició $E = \frac{F}{q}$, indica quines d'aquestes expressions són unitats vàlides per a la intensitat del camp elèctric i raona cada resposta:

1. a) $\text{N/C}$
2. b) $\text{N}\cdot\text{C}$
3. c) $\text{V/m}$ (tingues en compte que $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$)
4. d) $\text{J/C}$

Entre les plaques d'un condensador hi ha un camp elèctric uniforme $\vec{E} = 3\cdot10^{4}\,\vec{j}\ \text{N/C}$. Al seu interior es col·loca una partícula amb càrrega $q = -4\,\mu\text{C}$, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula el vector força elèctrica sobre la partícula, $\vec{F} = q \cdot \vec{E}$, expressant-lo amb el vector unitari corresponent.
2. b) Raona per què, com que la càrrega és negativa, la força té sentit contrari al camp.

Una sonda espacial acumula, pel bombardeig de partícules solars, una càrrega neta de $2\ \text{nC}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Suposa la sonda aproximadament puntual.

1. a) Calcula el mòdul del camp elèctric que crea a $10\ \text{cm}$ de la seva superfície (expressa la distància en metres).
2. b) Calcula també el camp a $1\ \text{m}$ i comprova en quin factor s'ha reduït en multiplicar la distància per deu.

Dibuixa al teu quadern les línies del camp elèctric creat per una càrrega puntual positiva i, a part, les d'una càrrega puntual negativa.

1. a) Què indica el sentit de les fletxes de les línies? Relaciona-ho amb la força que experimentaria una càrrega de prova positiva.
2. b) On és més intens el camp, segons el teu dibuix? Relaciona-ho amb l'expressió $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

El camp creat per una càrrega puntual val $E$ a una distància $r$.

1. a) Raona, utilitzant l'expressió $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$, quin valor tindrà el camp a una distància $2 \cdot r$ i a una distància $\frac{r}{3}$.
2. b) Si a $0,5\ \text{m}$ d'una certa càrrega el camp val $7200\ \text{N/C}$, calcula el seu valor a $1\ \text{m}$ sense necessitat d'utilitzar la constant $K$.

Un sensor mesura un camp elèctric de $4500\ \text{N/C}$ a $2\ \text{m}$ del centre d'una esfera metàl·lica carregada del laboratori; el camp apunta cap a l'esfera (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). La situació es representa a la figura.

1. a) Aïlla la càrrega de l'expressió $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$ i calcula el seu valor absolut.
2. b) Raona, a partir del sentit del camp mesurat, quin és el signe de la càrrega de l'esfera.

En un tub de raigs catòdics, un electró travessa una regió amb camp elèctric uniforme $E = 1000\ \text{N/C}$ (dades: càrrega elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa de l'electró $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$).

1. a) Calcula la força elèctrica sobre l'electró.
2. b) Calcula la seva acceleració aplicant la segona llei de Newton, $a = \frac{F}{m_e}$.

Una càrrega puntual $Q = 4\ \text{nC}$ és a l'origen de coordenades (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Observa l'esquema:

1. a) Calcula el mòdul del camp elèctric en el punt $P(3, 4)$, amb les coordenades en metres.
2. b) El vector unitari radial en aquest punt és $\vec{u}_r = \frac{3}{5}\,\vec{i} + \frac{4}{5}\,\vec{j}$. Escriu el vector $\vec{E}$ en funció de $\vec{i}$ i $\vec{j}$.

Dues càrregues puntuals $q_1 = 3\,\mu\text{C}$ i $q_2 = -2\,\mu\text{C}$ són sobre l'eix $x$, a $x_1 = 0$ i $x_2 = 1\ \text{m}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). La figura mostra la disposició de les càrregues.

1. a) Calcula el camp (mòdul i sentit) que crea cada càrrega en el punt $x = 3\ \text{m}$.
2. b) Aplica el principi de superposició i calcula el camp total en aquest punt, indicant-ne la direcció i el sentit.

Dues càrregues idèntiques $q = 5\ \text{nC}$ estan separades $40\ \text{cm}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Raona, dibuixant els vectors al teu quadern, quant val el camp total en el punt mitjà del segment que uneix les càrregues.
2. b) Calcula el camp total (mòdul, direcció i sentit) en un punt del segment situat a $10\ \text{cm}$ d'una de les càrregues.

Una càrrega $Q = 8\ \text{nC}$ està fixa en un suport aïllant del laboratori (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula el camp elèctric (mòdul, direcció i sentit) a $25\ \text{cm}$ de la càrrega.
2. b) Calcula la força (mòdul, direcció i sentit) que experimentaria una càrrega $q_0 = 3\,\mu\text{C}$ col·locada en aquest punt, utilitzant $\vec{F} = q_0 \cdot \vec{E}$.

El manual d'un instrument de diagnòstic mèdic exigeix que el camp elèctric en la seva posició no superi els $500\ \text{N/C}$. A la mateixa sala funciona un equip que acumula una càrrega puntual de $2\ \text{nC}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Aïlla la distància de l'expressió $E = K \cdot \frac{Q}{r^2}$ i calcula a quina distància mínima de l'equip s'ha d'instal·lar l'instrument.
2. b) Si finalment s'instal·la al doble d'aquesta distància, en quin factor es redueix el camp? Raona la resposta.

Un protó és entre les plaques d'un condensador, on el camp elèctric és uniforme i val $E = 2\cdot10^{4}\ \text{N/C}$ (dades: càrrega elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa del protó $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$; pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula la força elèctrica sobre el protó.
2. b) Calcula el seu pes.
3. c) Calcula el quocient entre ambdues magnituds i extreu-ne una conclusió: en física de partícules, es pot menysprear la gravetat davant la força elèctrica?

Dues càrregues puntuals $q_1 = 4\,\mu\text{C}$ i $q_2 = -4\,\mu\text{C}$ ocupen, respectivament, l'origen de coordenades i el punt $(0, 3)$, amb les coordenades en metres (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Es vol trobar el camp en el punt $P(4, 0)$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula el vector $\vec{E}_1$ que crea $q_1$ a $P$.
2. b) Calcula el mòdul del camp que crea $q_2$ a $P$ i, tenint en compte que aquest camp apunta des de $P$ cap a la càrrega negativa (vector unitari $-\frac{4}{5}\,\vec{i} + \frac{3}{5}\,\vec{j}$), escriu el vector $\vec{E}_2$.
3. c) Aplica el principi de superposició: calcula el vector camp total a $P$ i el seu mòdul.

Dues càrregues puntuals $q_1 = 1\,\mu\text{C}$ i $q_2 = 4\,\mu\text{C}$ són sobre l'eix $x$, a $x_1 = 0$ i $x_2 = 3\ \text{m}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). La figura mostra les tres regions de l'eix.

1. a) Raona, analitzant el sentit del camp de cada càrrega, en quina de les tres regions de l'eix (a l'esquerra de $q_1$, entre les càrregues o a la dreta de $q_2$) es pot anul·lar el camp total.
2. b) Planteja la condició de camp nul en aquesta regió i calcula el punt exacte.
3. c) Comprova el resultat verificant que en aquest punt els dos camps tenen el mateix mòdul.

En una impressora d'injecció, les gotes de tinta carregades es desvien amb un camp elèctric. Per estudiar el principi, considera un electró que entra amb velocitat horitzontal $v_0 = 3\cdot10^{7}\ \text{m/s}$ en una regió de longitud $L = 10\ \text{cm}$ on hi ha un camp vertical uniforme $E = 10^{4}\ \text{N/C}$, perpendicular a la seva velocitat (dades: càrrega elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa de l'electró $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$). L'esquema mostra el muntatge.

1. a) Calcula l'acceleració de l'electró a la regió del camp i indica'n la direcció i el sentit.
2. b) Calcula el temps que triga a travessar la regió.
3. c) Suposant el moviment horitzontal uniforme i el vertical uniformement accelerat (com en el tir parabòlic), calcula la desviació vertical a la sortida, $y = \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.
4. d) Raona quina forma té la trajectòria dins del camp i quin tipus de moviment porta l'electró després de sortir-ne.

Dues càrregues puntuals $q_1 = q$ i $q_2 = -2 \cdot q$, amb $q > 0$, són sobre l'eix $x$, a $x_1 = 0$ i $x_2 = 3\ \text{m}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Prediu, justificant-ho amb el sentit dels camps i amb el valor absolut de les càrregues, en quina regió de l'eix es pot anul·lar el camp total: entre les càrregues o fora del segment?, i de quin costat?
2. b) Planteja l'equació de camp nul i resol-la, obtenint el punt exacte.
3. c) Explica per què el resultat no depèn del valor de $q$.

Tres càrregues idèntiques $q = 2\ \text{nC}$ ocupen els vèrtexs d'un triangle equilàter de costat $30\ \text{cm}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$). Observa l'esquema:

1. a) Justifica, per simetria (els tres vectors camp al centre formen entre si angles de $120^\circ$), que el camp total al centre del triangle és nul.
2. b) Es retira una de les càrregues. Tenint en compte que el camp de totes tres era nul, raona que el camp de les dues restants és just l'oposat del que creava la càrrega retirada, i calcula el seu mòdul (la distància de cada vèrtex al centre és $\frac{0,3}{\sqrt{3}}\ \text{m}$).
3. c) Indica la direcció i el sentit del camp resultant respecte al vèrtex que ha quedat buit.

Dues càrregues idèntiques $q = 5\,\mu\text{C}$ ocupen dos vèrtexs contigus, $A(0, 20)$ i $B(20, 20)$, d'un quadrat de costat $20\ \text{cm}$, amb les coordenades en centímetres (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $\cos 45^\circ \approx 0,71$). S'estudia el vèrtex $D(0, 0)$. La figura mostra la disposició.

1. a) Calcula el camp (mòdul, direcció i sentit) que crea a $D$ la càrrega situada a $A$.
2. b) Calcula el mòdul del camp que crea a $D$ la càrrega situada a $B$ (tingues en compte que la distància és la diagonal del quadrat) i descompon-lo en les seves components.
3. c) Suma els vectors i calcula el mòdul del camp total a $D$.
4. d) Calcula el mòdul de la força que experimentaria una càrrega $Q = -2\,\mu\text{C}$ col·locada a $D$.

El teu company calcula el camp elèctric en el punt mitjà del segment que uneix una càrrega $q_1 = 6\,\mu\text{C}$ amb una altra $q_2 = -6\,\mu\text{C}$, separades $20\ \text{cm}$, i escriu: «el camp és zero, perquè les càrregues són oposades i es cancel·len» (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Explica l'error: dibuixa al teu quadern els vectors $\vec{E}_1$ i $\vec{E}_2$ en el punt mitjà i raona quin sentit té cadascun.
2. b) Calcula el camp correcte (mòdul, direcció i sentit) en aquest punt.
3. c) Per a quin parell de càrregues del mateix valor absolut seria correcte el resultat del teu company? Justifica-ho.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

En una cambra d'un accelerador lineal de partícules hi ha un camp elèctric vertical uniforme $E = 5\cdot10^{3}\ \text{N/C}$. Hi entren, per separat i amb la mateixa velocitat horitzontal, un protó i un electró (dades: càrrega elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa de l'electró $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; massa del protó $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$).

1. a) Compara els mòduls de les forces elèctriques sobre ambdues partícules i raona per què són iguals.
2. b) Calcula l'acceleració de cadascuna.
3. c) Calcula el quocient $\frac{a_e}{a_p}$ i relaciona-ho amb el quocient de masses $\frac{m_p}{m_e}$.
4. d) Prediu i justifica: es desvien les dues partícules cap al mateix costat? En el mateix temps de vol, quina es desvia més i quantes vegades més?