Intensidad del campo de un sistema de masas

El campo gravitatorio $\vec{g}$ en un punto se define como la fuerza por unidad de masa que actuaría sobre una masa de prueba colocada en él: $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$.

1. a) A partir de esa definición, demuestra que $1\ \text{N/kg} = 1\ \text{m/s}^2$.
2. b) Explica con tus palabras qué significa que en un punto del espacio el campo valga $g = 3,7\ \text{N/kg}$: ¿qué fuerza sufriría una masa de $1\ \text{kg}$? ¿Y una de $10\ \text{kg}$?

El campo gravitatorio es una magnitud vectorial.

1. a) Indica la dirección y el sentido del vector $\vec{g}$ creado por la Tierra en un punto cualquiera de su entorno.
2. b) Dibuja en tu cuaderno el vector campo gravitatorio en ocho puntos repartidos alrededor del planeta (un mapa del campo): ¿qué tienen en común las direcciones de todos los vectores y cómo cambia el módulo al alejarse del planeta?
3. c) Explica por qué se dice que el campo gravitatorio es central y atractivo.

El valor de la gravedad en la superficie terrestre se puede obtener a partir de la ley de la gravitación universal, como se muestra en la figura.

1. a) Escribe la expresión del módulo del campo gravitatorio que crea un planeta esférico de masa $M$ y radio $R$ en su superficie, $g = G\cdot\frac{M}{R^2}$.
2. b) Calcula su valor para la Tierra. Datos: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.
3. c) Compara el resultado con el valor habitual $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

Antes de enviar una misión tripulada a Marte conviene conocer la gravedad en su superficie.

1. a) Calcula el módulo del campo gravitatorio en la superficie de Marte. Datos: masa de Marte $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$, radio de Marte $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) El radio de Marte es aproximadamente la mitad del terrestre y, sin embargo, su gravedad es bastante menor que la mitad de la terrestre: explica a qué se debe fijándote en la masa.

Los astronautas del programa Apolo comprobaron que en la Luna los objetos pesan mucho menos que en la Tierra.

1. a) Calcula el campo gravitatorio en la superficie de la Luna. Datos: masa de la Luna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, radio lunar $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Calcula el cociente $\frac{g_T}{g_L}$ tomando $g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$ y comprueba que vale aproximadamente $6$.

Dos masas puntuales, $m_1 = 5,0\ \text{kg}$ y $m_2 = 10\ \text{kg}$, están fijas en una bancada de laboratorio, en las posiciones $x_1 = 0$ y $x_2 = 2,0\ \text{m}$, como se muestra en la figura.

1. a) Calcula el campo que crea cada masa en el punto $x = 0,50\ \text{m}$, indicando módulo y sentido ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Aplica el principio de superposición para obtener el campo total en ese punto.
3. c) Razona hacia dónde se aceleraría una pequeña masa de prueba que se soltara allí en reposo.

Tres masas puntuales iguales, de $6,0\ \text{kg}$, están alineadas en las posiciones $x = 0$, $x = 1,0\ \text{m}$ y $x = 3,0\ \text{m}$ de una regla de laboratorio, como se muestra en la figura.

1. a) Calcula el campo que crea cada una de ellas en el punto $x = 2,0\ \text{m}$, indicando módulo y sentido ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Aplica la superposición y calcula el campo total en ese punto.
3. c) Sin resolver la ecuación, razona si debe existir algún punto entre $x = 2,0\ \text{m}$ y $x = 3,0\ \text{m}$ donde el campo total se anule: fíjate en el sentido del campo total en $x = 2,0\ \text{m}$ y en lo que ocurre al acercarse a la masa situada en $x = 3,0\ \text{m}$.

Cuando Júpiter está más cerca de la Tierra se encuentra a unos $6,3\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcula el campo gravitatorio que Júpiter crea entonces en la Tierra ($M_J = 1,90\cdot10^{27}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcula la fuerza con la que Júpiter atrae a una persona de $70\ \text{kg}$ ($F = m\cdot g$) y compárala con su peso en la Tierra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) A la vista del resultado, comenta críticamente la afirmación astrológica de que «la posición de Júpiter influye en las personas».

Entre la Tierra y la Luna existe un punto en el que sus campos gravitatorios se cancelan. El esquema muestra la situación:

1. a) Con el origen en el centro de la Tierra, escribe la condición de anulación: $G\cdot\frac{M_T}{x^2} = G\cdot\frac{M_L}{(d - x)^2}$, donde $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ es la distancia Tierra–Luna.
2. b) Simplifica $G$, toma raíces cuadradas y despeja $x$ usando $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ y $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ (observa que $\frac{M_T}{M_L} \approx 81$, cuya raíz es $9$).
3. c) ¿A qué distancia de la Luna queda ese punto? Razona por qué está mucho más cerca de la Luna que de la Tierra.

Una nave de $1,2\cdot10^{4}\ \text{kg}$ viaja de la Tierra a la Luna por la recta que une sus centros.

1. a) Calcula a qué distancia del centro de la Tierra se anula el campo gravitatorio total (Tierra más Luna). Datos: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; toma $\sqrt{\frac{M_T}{M_L}} \approx 9$.
2. b) ¿Qué fuerza gravitatoria neta ejercen entre la Tierra y la Luna sobre la nave cuando está en ese punto?
3. c) Con los motores apagados, la nave se desplaza $10^{6}\ \text{m}$ desde ese punto hacia la Luna: calcula allí el campo total (módulo y sentido) y razona si el punto de anulación es una posición de equilibrio estable o inestable.

Dos masas puntuales iguales, $m = 2,0\ \text{kg}$, están en los puntos $(0; 0)$ y $(2; 0)\ \text{m}$ del plano, como se muestra en la figura.

1. a) Calcula la distancia de cada masa al punto $P(1; 1)\ \text{m}$ y el módulo del campo que cada una crea en $P$ ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Dibuja en tu cuaderno los dos vectores campo en $P$ y razona qué componentes se cancelan por simetría.
3. c) Sabiendo que cada vector forma $45^\circ$ con la vertical ($\cos 45^\circ \approx 0,71$), calcula el campo total en $P$: módulo, dirección y sentido.

Tres masas puntuales iguales, $m = 100\ \text{kg}$, ocupan tres vértices de un cuadrado de lado $L = 2,0\ \text{m}$, como se muestra en la figura.

1. a) Calcula el módulo del campo que crea cada masa en el cuarto vértice (ojo: la masa del vértice opuesto dista $L\cdot\sqrt{2}$). Dato: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Descompón los tres vectores campo en las direcciones de los lados del cuadrado y calcula las componentes del campo total ($\cos 45^\circ \approx 0,71$).
3. c) Calcula el módulo del campo total y razona, por simetría, por qué su dirección es la de la diagonal.
4. d) ¿Qué fuerza sufriría una masa de prueba de $50\ \text{kg}$ colocada en ese vértice?

En una versión moderna del experimento de Cavendish se emplean dos esferas de wolframio de $500\ \text{kg}$ cada una, colocadas en los puntos $(0; 0)$ y $(3; 0)\ \text{m}$.

1. a) Demuestra que el punto $P(1,5; 2)\ \text{m}$ dista $2,5\ \text{m}$ de cada esfera y calcula el módulo del campo que cada esfera crea en $P$ ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) El ángulo que forma cada vector campo con la perpendicular al segmento que une las esferas cumple $\sen\theta = 0,6$ y $\cos\theta = 0,8$: razona qué componentes se cancelan y calcula el campo total en $P$ (módulo, dirección y sentido).
3. c) Calcula la fuerza sobre una pequeña esfera de $20\ \text{g}$ colocada en $P$ y comenta por qué este experimento exige una sensibilidad extraordinaria.