La ley de la gravitación universal

Dos bolas de acero de $1\ \text{kg}$ cada una están colocadas de modo que sus centros distan $1\ \text{m}$, como se muestra en la figura.

Aplica la ley de la gravitación universal, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$, con $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, y calcula la fuerza con la que se atraen. ¿Te parece una fuerza grande o pequeña? Coméntalo.

En la ley de la gravitación universal, $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$:

1. a) Indica qué representa cada letra ($F$, $G$, $M$, $m$ y $r$) y en qué unidad se mide en el Sistema Internacional.
2. b) El valor de $G$ es $6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, un número muy pequeño. Explica qué consecuencia tiene eso para la fuerza entre objetos de masa normal.

Dos compañeros de clase, de $60\ \text{kg}$ y $70\ \text{kg}$ de masa, están sentados de modo que sus cuerpos distan $1\ \text{m}$ por término medio. Calcula la fuerza de atracción gravitatoria entre ellos ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$) y exprésala en notación científica.

El Sol mantiene a la Tierra en órbita atrayéndola. Calcula esa fuerza con los siguientes datos: masa del Sol $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, masa de la Tierra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, distancia media entre sus centros $r = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$ y $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Después, compara el resultado con la fuerza Tierra–Luna, de unos $2\cdot10^{20}\ \text{N}$: ¿cuántas veces mayor es?

Calcula la fuerza de atracción gravitatoria entre la Tierra y la Luna, como se muestra en la figura.

Datos: masa de la Tierra $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, masa de la Luna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, distancia media entre sus centros $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ y $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. Expresa el resultado en notación científica, redondeando a dos cifras decimales.

Dos petroleros gemelos, de $10^{6}\ \text{kg}$ de masa cada uno, fondean con sus centros de masa separados $100\ \text{m}$.

1. a) Calcula la fuerza gravitatoria con la que se atraen ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Compara esa fuerza con la que hace falta para arrastrar una hoja de papel por la mesa, del orden de $0,01\ \text{N}$. ¿Notarán los barcos esa atracción? Justifícalo.

¿A qué distancia del centro de la Tierra la fuerza gravitatoria sobre un cuerpo se reduce a la mitad de la que siente en la superficie?

1. a) Plantea la igualdad usando que la fuerza disminuye con $\frac{1}{r^2}$.
2. b) Despeja $r$ en función del radio terrestre $R_T$ (te aparecerá un $\sqrt{2}$).
3. c) Con $R_T = 6370\ \text{km}$, calcula a qué altura sobre la superficie hay que subir, en kilómetros. ¿Crees que un avión comercial, que vuela a unos $10\ \text{km}$ de altura, nota esa disminución? Razona la respuesta.

Vamos a deducir el valor de $g$ en la superficie de la Tierra a partir de la ley de la gravitación universal.

1. a) Escribe la fuerza que la Tierra ejerce sobre un cuerpo de masa $m$ de dos formas: como $F = m\cdot g$ y como $F = G\cdot\frac{M\cdot m}{r^2}$.
2. b) Iguala las dos expresiones, simplifica la masa $m$ y despeja $g$.
3. c) Calcula su valor con $M = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ y $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. ¿Qué valor tan conocido obtienes?

Dos masas fijas, de $100\ \text{kg}$ y $400\ \text{kg}$, están separadas $3\ \text{m}$. Queremos colocar una tercera masa en la línea que las une, entre ambas, de modo que la fuerza gravitatoria neta sobre ella sea cero, como se muestra en la figura.

1. a) Si $x$ es la distancia de la tercera masa a la de $100\ \text{kg}$, escribe la igualdad entre las dos fuerzas que actúan sobre ella.
2. b) Resuelve la ecuación y calcula $x$ (pista: simplifica primero $G$ y la tercera masa, y después toma raíces cuadradas).
3. c) ¿Depende el resultado del valor de la tercera masa? ¿Y de $G$? Coméntalo.

Newton comprobó su ley comparando la caída de los objetos en la superficie con el movimiento de la Luna.

1. a) Calcula la fuerza que la Tierra ejerce sobre un cuerpo de $1\ \text{kg}$ en su superficie ($r = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcula la fuerza que ejercería sobre ese mismo cuerpo si estuviera a la distancia de la Luna ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$).
3. c) Comprueba que la segunda fuerza es unas $3600$ veces menor y relaciona ese número con el cociente entre las dos distancias, que es de unos $60$. ¿Qué ley queda confirmada?