Exercicis: Intensitat del camp d'un sistema de masses: càlcul vectorial

El valor de la gravetat a la superfície terrestre es pot obtenir a partir de la llei de la gravitació universal, com es mostra a la figura.

1. a) Partint de la llei de la gravitació universal i de la definició de camp gravitatori (força per unitat de massa), dedueix l'expressió del mòdul del camp gravitatori $g$ que crea un planeta esfèric de massa $M$ i radi $R$ a la seva superfície.
2. b) Calcula el seu valor per a la Terra. Dades: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.
3. c) Compara el resultat amb el valor habitual $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

Abans d'enviar una missió tripulada a Mart convé conèixer la gravetat a la seva superfície.

1. a) Calcula el mòdul del camp gravitatori a la superfície de Mart. Dades: massa de Mart $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$, radi de Mart $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) El radi de Mart és aproximadament la meitat del terrestre i, tanmateix, la seva gravetat és bastant menor que la meitat de la terrestre: explica a què es deu fixant-te en la massa.

El camp gravitatori d'una massa puntual disminueix amb el quadrat de la distància. La gràfica mostra aquesta dependència:

1. a) Si a una distància $r$ del centre d'un planeta el camp val $g$, quant val a una distància $2\cdot r$? Raona la resposta a partir de $g = G\cdot\frac{M}{r^2}$.
2. b) A quina distància del centre de la Terra, expressada en radis terrestres $R_T$, el camp val la quarta part del valor a la superfície?
3. c) A quina alçada sobre la superfície correspon aquesta distància?

En un laboratori de metrologia es vol mesurar el camp gravitatori creat per una esfera massissa de plom de $100\ \text{kg}$.

1. a) Calcula el mòdul del camp a $0,50\ \text{m}$ del seu centre, tractant l'esfera com una massa puntual ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Expressa el resultat en notació científica i compara el seu ordre de magnitud amb el del camp gravitatori terrestre ($9,8\ \text{m/s}^2$): quina conclusió en treus sobre la dificultat de la mesura?

El camp gravitatori $\vec{g}$ en un punt es defineix com la força per unitat de massa que actuaria sobre una massa de prova col·locada en aquest punt: $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$.

1. a) A partir d'aquesta definició, demostra que $1\ \text{N/kg} = 1\ \text{m/s}^2$.
2. b) Explica amb les teves paraules què significa que en un punt de l'espai el camp valgui $g = 3,7\ \text{N/kg}$: quina força patiria una massa de $1\ \text{kg}$? I una de $10\ \text{kg}$?

Sobre una taula de laboratori es col·loquen dues masses puntuals de $10\ \text{kg}$ cadascuna, separades $2,0\ \text{m}$. Sigui $P$ un punt de la recta que les uneix, situat fora del segment, a $1,0\ \text{m}$ d'una massa i a $3,0\ \text{m}$ de l'altra. La disposició es mostra a la figura.

1. a) Calcula el mòdul del camp que crea cada massa a $P$ i indica'n el sentit ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Com que tots dos camps tenen la mateixa direcció i sentit, calcula el camp total a $P$.

El camp gravitatori és una magnitud vectorial.

1. a) Indica la direcció i el sentit del vector $\vec{g}$ creat per la Terra en un punt qualsevol del seu entorn.
2. b) Dibuixa al teu quadern el vector camp gravitatori en vuit punts repartits al voltant del planeta (un mapa del camp): què tenen en comú les direccions de tots els vectors i com canvia el mòdul en allunyar-se del planeta?
3. c) Explica per què es diu que el camp gravitatori és central i atractiu.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Els astronautes del programa Apol·lo van comprovar que a la Lluna els objectes pesen molt menys que a la Terra.

1. a) Calcula el camp gravitatori a la superfície de la Lluna. Dades: massa de la Lluna $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, radi lunar $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Calcula el quocient $\frac{g_T}{g_L}$ prenent $g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$ i comprova que val aproximadament $6$.

Dues masses puntuals, $m_1 = 5,0\ \text{kg}$ i $m_2 = 10\ \text{kg}$, estan fixes en una bancada de laboratori, en les posicions $x_1 = 0$ i $x_2 = 2,0\ \text{m}$, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula el camp que crea cada massa en el punt $x = 0,50\ \text{m}$, indicant mòdul i sentit ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Aplica el principi de superposició per obtenir el camp total en aquest punt.
3. c) Raona cap a on s'acceleraria una petita massa de prova que es deixés anar allà en repòs.

Entre la Terra i la Lluna hi ha un punt en què els seus camps gravitatoris es cancel·len. L'esquema mostra la situació:

1. a) Amb l'origen al centre de la Terra, escriu la condició d'anul·lació: $G\cdot\frac{M_T}{x^2} = G\cdot\frac{M_L}{(d - x)^2}$, on $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ és la distància Terra-Lluna.
2. b) Simplifica $G$, pren arrels quadrades i aïlla $x$ fent servir $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ i $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ (observa que $\frac{M_T}{M_L} \approx 81$, l'arrel de la qual és $9$).
3. c) A quina distància de la Lluna queda aquest punt? Raona per què està molt més a prop de la Lluna que de la Terra.

Dues masses puntuals iguals, $m = 2,0\ \text{kg}$, estan en els punts $(0; 0)$ i $(2; 0)\ \text{m}$ del pla, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula la distància de cada massa al punt $P(1; 1)\ \text{m}$ i el mòdul del camp que cadascuna crea a $P$ ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Dibuixa al teu quadern els dos vectors camp a $P$ i raona quines components es cancel·len per simetria.
3. c) Sabent que cada vector forma $45^\circ$ amb la vertical ($\cos 45^\circ \approx 0,71$), calcula el camp total a $P$: mòdul, direcció i sentit.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Els satèl·lits geoestacionaris orbiten a una distància $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$ del centre de la Terra, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula el camp gravitatori terrestre a aquesta distància ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$).
2. b) Quantes vegades menor és que el camp a la superfície ($g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$)?
3. c) El camp en un punt no depèn de la massa que s'hi col·loqui: explica què significa això a partir de la definició $\vec{g} = \frac{\vec{F}}{m}$.

Tres masses puntuals iguals, de $6,0\ \text{kg}$, estan alineades en les posicions $x = 0$, $x = 1,0\ \text{m}$ i $x = 3,0\ \text{m}$ d'un regle de laboratori, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula el camp que crea cadascuna d'elles en el punt $x = 2,0\ \text{m}$, indicant mòdul i sentit ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Aplica la superposició i calcula el camp total en aquest punt.
3. c) Sense resoldre l'equació, raona si ha d'existir algun punt entre $x = 2,0\ \text{m}$ i $x = 3,0\ \text{m}$ on el camp total s'anul·li: fixa't en el sentit del camp total a $x = 2,0\ \text{m}$ i en el que passa en acostar-se a la massa situada a $x = 3,0\ \text{m}$.

El Sol, per la seva enorme massa, també crea un camp gravitatori apreciable a distàncies astronòmiques.

1. a) Calcula el mòdul del camp gravitatori del Sol a l'òrbita de la Terra ($M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, distància mitjana $d = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Compara el resultat amb el camp a la superfície terrestre ($9,8\ \text{m/s}^2$): quantes vegades menor és?
3. c) Si el Sol estira de nosaltres amb aquest camp, per què no ens arrenca de la superfície terrestre? (Pista: la Terra i tot el que hi ha sobre seu cauen junts cap al Sol.)

Un gravímetre de prospecció geofísica pot detectar variacions del camp gravitatori de fins a $10^{-6}\ \text{m/s}^2$. Es sospita que sota un terreny hi ha un gran dipòsit d'aigua, que aproximem per una massa puntual de $10^{5}\ \text{kg}$ centrada a $20\ \text{m}$ de profunditat. L'esquema mostra la disposició:

1. a) Calcula el camp gravitatori que crea el dipòsit a la superfície, just a sobre d'ell ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Podria el gravímetre detectar-lo? Justifica la resposta amb els nombres.
3. c) Cita una aplicació pràctica d'aquest tipus de mesuraments.

Quan Júpiter està més a prop de la Terra es troba a uns $6,3\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calcula el camp gravitatori que Júpiter crea llavors a la Terra ($M_J = 1,90\cdot10^{27}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcula la força amb què Júpiter atrau una persona de $70\ \text{kg}$ ($F = m\cdot g$) i compara-la amb el seu pes a la Terra ($g = 9,8\ \text{m/s}^2$).
3. c) En vista del resultat, comenta críticament l'afirmació astrològica que «la posició de Júpiter influeix en les persones».

Una nau de $1,2\cdot10^{4}\ \text{kg}$ viatja de la Terra a la Lluna per la recta que uneix els seus centres.

1. a) Calcula a quina distància del centre de la Terra s'anul·la el camp gravitatori total (Terra més Lluna). Dades: $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$; pren $\sqrt{\frac{M_T}{M_L}} \approx 9$.
2. b) Quina força gravitatòria neta exerceixen entre la Terra i la Lluna sobre la nau quan està en aquest punt?
3. c) Amb els motors apagats, la nau es desplaça $10^{6}\ \text{m}$ des d'aquest punt cap a la Lluna: calcula-hi el camp total (mòdul i sentit) i raona si el punt d'anul·lació és una posició d'equilibri estable o inestable.

Tres masses puntuals iguals, $m = 100\ \text{kg}$, ocupen tres vèrtexs d'un quadrat de costat $L = 2,0\ \text{m}$, com es mostra a la figura.

1. a) Calcula el mòdul del camp que crea cada massa en el quart vèrtex (atenció: la massa del vèrtex oposat dista $L\cdot\sqrt{2}$). Dada: $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.
2. b) Descompon els tres vectors camp en les direccions dels costats del quadrat i calcula les components del camp total ($\cos 45^\circ \approx 0,71$).
3. c) Calcula el mòdul del camp total i raona, per simetria, per què la seva direcció és la de la diagonal.
4. d) Quina força patiria una massa de prova de $50\ \text{kg}$ col·locada en aquest vèrtex?

Tres masses puntuals iguals, $m = 150\ \text{kg}$, estan en els vèrtexs d'un triangle equilàter de costat $L = 3,0\ \text{m}$. El centroide dista $\frac{L}{\sqrt{3}}$ de cada vèrtex. La figura mostra la disposició:

1. a) Raona, fent servir la simetria i la suma de tres vectors iguals que formen $120^\circ$ entre si, que el camp total en el centroide és nul.
2. b) Es retira una de les masses: aplicant la superposició, demostra que el camp en el centroide és igual i oposat al que creava la massa retirada, i calcula'n el mòdul ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
3. c) Calcula la força que patiria una massa de $20\ \text{kg}$ col·locada en el centroide i indica'n la direcció i el sentit.

1. a) Calcula a quina distància de la Terra, sobre la recta Sol-Terra, es cancel·len el camp gravitatori del Sol i el de la Terra. Dades: $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $d = 1,5\cdot10^{11}\ \text{m}$; pren $\sqrt{\frac{M_S}{M_T}} \approx 577$. Expressa el resultat en quilòmetres.
2. b) El punt de Lagrange L1 del sistema Sol-Terra, on se situen els observatoris solars, està a uns $1,5\cdot10^{9}\ \text{m}$ de la Terra, molt més lluny del que prediu el teu càlcul. Explica quin efecte físic no has tingut en compte (pista: la Terra i l'observatori no estan quiets, sinó orbitant al voltant del Sol).

Una estrella binària està formada per dos astres de la mateixa massa, $M = 2,0\cdot10^{30}\ \text{kg}$, separats $d = 2,0\cdot10^{11}\ \text{m}$, com es mostra a la figura.

1. a) Raona que el camp gravitatori total en el punt mitjà del segment que uneix les estrelles és nul.
2. b) Calcula el camp total en un punt de la mediatriu d'aquest segment situat a $h = 2,0\cdot10^{11}\ \text{m}$ del punt mitjà: dibuixa els vectors al teu quadern, raona quines components es cancel·len i calcula el resultat ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
3. c) Si en aquest punt es deixa anar en repòs una sonda de massa petita, descriu qualitativament com comença a moure's.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

L'origen de les marees rau en el fet que el camp gravitatori de la Lluna no és uniforme sobre tota la Terra. L'esquema mostra la geometria del problema:

1. a) Calcula el mòdul del camp lunar en el punt de la superfície terrestre més proper a la Lluna (la seva distància a la Lluna és $d - R_T$).
2. b) Calcula el mòdul del camp lunar en el punt de la superfície més allunyat de la Lluna (distància $d + R_T$).
3. c) Calcula la diferència entre tots dos i explica per què aquesta diferència, encara que petita, «estira» els oceans i produeix dues zones de plenamar. Dades: $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$, $d = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

En una versió moderna de l'experiment de Cavendish s'empren dues esferes de tungstè de $500\ \text{kg}$ cadascuna, col·locades en els punts $(0; 0)$ i $(3; 0)\ \text{m}$.

1. a) Demostra que el punt $P(1,5; 2)\ \text{m}$ dista $2,5\ \text{m}$ de cada esfera i calcula el mòdul del camp que cada esfera crea a $P$ ($G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) L'angle que forma cada vector camp amb la perpendicular al segment que uneix les esferes compleix $\sen\theta = 0,6$ i $\cos\theta = 0,8$: raona quines components es cancel·len i calcula el camp total a $P$ (mòdul, direcció i sentit).
3. c) Calcula la força sobre una petita esfera de $20\ \text{g}$ col·locada a $P$ i comenta per què aquest experiment exigeix una sensibilitat extraordinària.

Un astronauta realitza un passeig espacial a $10\ \text{m}$ del centre de l'Estació Espacial Internacional, de massa $M_{ISS} = 4,2\cdot10^{5}\ \text{kg}$, que orbita a $400\ \text{km}$ d'alçada sobre la superfície terrestre.

1. a) Calcula el camp gravitatori de la Terra en la posició de l'astronauta ($M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$).
2. b) Calcula el camp gravitatori que la mateixa estació crea a $10\ \text{m}$ del seu centre, tractant-la com una massa puntual.
3. c) Compara els ordres de magnitud de tots dos camps i explica per què l'astronauta no «cau» cap a l'estació tot i la seva enorme mida.
4. d) Quin camp domina el moviment de l'astronauta?