El movimiento armónico simple

Un columpio oscila libremente tras un empujón. Contando con un cronómetro, completa $15$ oscilaciones completas en $30\ \text{s}$. La figura muestra el columpio en tres posiciones de su oscilación.

1. a) Define, aplicándolos al columpio, los conceptos de elongación, amplitud, periodo y frecuencia.
2. b) Calcula el periodo $T$ y la frecuencia $f$ de la oscilación.

Un electrocardiograma registra un ritmo cardiaco de $75$ latidos por minuto, perfectamente regular. La figura representa la señal registrada.

1. a) Calcula la frecuencia del latido, en $\text{Hz}$.
2. b) Calcula su periodo, en segundos: ¿cuánto tiempo pasa entre dos latidos consecutivos?

La elongación de una masa que oscila en un muelle horizontal viene dada, en unidades del Sistema Internacional, por $x = 0,1 \cdot \sen(20 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) ¿Cuánto valen la amplitud $A$ y la frecuencia angular $\omega$?
2. b) Calcula el periodo $T$ y la frecuencia $f$ del movimiento, recordando que $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega}$ y $f = \frac{1}{T}$.

Dos osciladores idénticos vibran según las ecuaciones, en unidades del Sistema Internacional, $x_1 = 0,05 \cdot \sen(3 \cdot \pi \cdot t)$ y $x_2 = 0,05 \cdot \sen(3 \cdot \pi \cdot t + \frac{\pi}{2})$.

1. a) ¿Qué magnitudes tienen en común los dos movimientos?
2. b) Calcula la elongación inicial (en $t = 0$) de cada uno y explica en qué se diferencian.

La aguja de una máquina de coser sube y baja con un movimiento armónico simple de amplitud $6\ \text{cm}$ y periodo $0,5\ \text{s}$. En el instante inicial la aguja pasa por la posición de equilibrio moviéndose en el sentido positivo, de modo que $\varphi_0 = 0$.

1. a) Calcula la frecuencia angular $\omega$.
2. b) Escribe la ecuación completa de la elongación, $x = A \cdot \sen(\omega \cdot t + \varphi_0)$, expresando la amplitud en metros.

Un punto del centro de una cuerda de guitarra vibra con un movimiento armónico simple de amplitud $A = 2\ \text{mm}$ y frecuencia $f = 440\ \text{Hz}$ (la nota «la» de afinación). La velocidad máxima de un oscilador es $v_{max} = A \cdot \omega$.

1. a) Calcula la frecuencia angular $\omega$ de la vibración.
2. b) Expresa la amplitud en metros y calcula la velocidad máxima del punto de la cuerda.

La aguja registradora de un sismógrafo oscila según la ecuación $x = 0,06 \cdot \sen(8 \cdot \pi \cdot t)$, en unidades del Sistema Internacional. La velocidad en el movimiento armónico simple es $v = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t + \varphi_0)$. La gráfica de la elongación en función del tiempo es la de la figura.

1. a) Calcula el primer instante en el que la elongación vale $x = 0,03\ \text{m}$ (la mitad de la amplitud).
2. b) Calcula la velocidad de la aguja en ese instante.
3. c) ¿En qué posición la velocidad es máxima y cuánto vale?

El periodo de un oscilador masa-muelle es $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$. En el laboratorio, un bloque de $m = 0,25\ \text{kg}$ oscila unido a un muelle de constante elástica $k = 100\ \text{N/m}$. Calcula el periodo de la oscilación.

El periodo de un péndulo simple es $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$. La lámpara del vestíbulo de un museo cuelga de un cable de $l = 1\ \text{m}$ de longitud y oscila ligeramente tras una corriente de aire (toma $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Calcula su periodo de oscilación.

Un puente colgante tiene una frecuencia propia de oscilación de $0,5\ \text{Hz}$. El viento, al rodear los pilares, genera remolinos que empujan lateralmente el puente una vez cada $2,0\ \text{s}$. La figura muestra cómo depende la amplitud de la oscilación forzada de la frecuencia de los empujes.

1. a) Calcula el periodo y la frecuencia angular propios del puente.
2. b) Calcula la frecuencia de los empujes del viento y compárala con la frecuencia propia del puente.
3. c) Explica qué es la resonancia y por qué es peligrosa en esta situación, aunque cada empuje sea débil.
4. d) Propón una modificación de diseño que evite el problema y justifícala indicando qué magnitud física cambia.