Exercicis: El moviment harmònic simple

Un gronxador oscil·la lliurement després d'una empenta. Comptant amb un cronòmetre, completa $15$ oscil·lacions completes en $30\ \text{s}$. La figura mostra el gronxador en tres posicions de la seva oscil·lació.

1. a) Defineix, aplicant-los al gronxador, els conceptes d'elongació, amplitud, període i freqüència.
2. b) Calcula el període $T$ i la freqüència $f$ de l'oscil·lació.

L'elongació d'una massa que oscil·la en una molla horitzontal ve donada, en unitats del Sistema Internacional, per $x = 0,1 \cdot \sen(20 \cdot \pi \cdot t)$.

1. a) Quant valen l'amplitud $A$ i la freqüència angular $\omega$?
2. b) Calcula el període $T$ i la freqüència $f$ del moviment, recordant que $T = \frac{2 \cdot \pi}{\omega}$ i $f = \frac{1}{T}$.

Un oscil·lador descriu un moviment harmònic simple d'equació $x = 0,08 \cdot \sen(\pi \cdot t)$, en unitats del Sistema Internacional.

1. a) Calcula l'elongació en l'instant $t = 0,5\ \text{s}$.
2. b) Quin és el valor màxim que pot prendre l'elongació? En quins instants s'assoleix?

El període d'un oscil·lador massa-molla és $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$. Al laboratori, un bloc de $m = 0,25\ \text{kg}$ oscil·la unit a una molla de constant elàstica $k = 100\ \text{N/m}$. Calcula el període de l'oscil·lació.

El període d'un pèndol simple és $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$. El llum del vestíbul d'un museu penja d'un cable de $l = 1\ \text{m}$ de longitud i oscil·la lleugerament després d'un corrent d'aire (pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). Calcula el seu període d'oscil·lació.

Un electrocardiograma registra un ritme cardíac de $75$ batecs per minut, perfectament regular. La figura representa el senyal registrat.

1. a) Calcula la freqüència del batec, en $\text{Hz}$.
2. b) Calcula el seu període, en segons: quant de temps passa entre dos batecs consecutius?

La tensió de la xarxa elèctrica espanyola oscil·la amb una freqüència de $50\ \text{Hz}$. Calcula la seva freqüència angular $\omega = 2 \cdot \pi \cdot f$, en $\text{rad/s}$.

Dos oscil·ladors idèntics vibren segons les equacions, en unitats del Sistema Internacional, $x_1 = 0,05 \cdot \sen(3 \cdot \pi \cdot t)$ i $x_2 = 0,05 \cdot \sen(3 \cdot \pi \cdot t + \frac{\pi}{2})$.

1. a) Quines magnituds tenen en comú tots dos moviments?
2. b) Calcula l'elongació inicial (en $t = 0$) de cadascun i explica en què es diferencien.

La tija d'un motor de combustió vibra segons l'equació $x = 0,04 \cdot \sen(10 \cdot \pi \cdot t + \frac{\pi}{2})$, en unitats del Sistema Internacional.

1. a) Indica el valor de l'amplitud $A$, la freqüència angular $\omega$ i la fase inicial $\varphi_0$.
2. b) Calcula el període $T$ i la freqüència $f$.
3. c) Calcula l'elongació a $t = 0,1\ \text{s}$ i interpreta'n el signe.

L'agulla d'una màquina de cosir puja i baixa amb un moviment harmònic simple d'amplitud $6\ \text{cm}$ i període $0,5\ \text{s}$. En l'instant inicial l'agulla passa per la posició d'equilibri movent-se en el sentit positiu, de manera que $\varphi_0 = 0$.

1. a) Calcula la freqüència angular $\omega$.
2. b) Escriu l'equació completa de l'elongació, $x = A \cdot \sen(\omega \cdot t + \varphi_0)$, expressant l'amplitud en metres.

Un punt del centre d'una corda de guitarra vibra amb un moviment harmònic simple d'amplitud $A = 2\ \text{mm}$ i freqüència $f = 440\ \text{Hz}$ (la nota «la» d'afinació). La velocitat màxima d'un oscil·lador és $v_{max} = A \cdot \omega$.

1. a) Calcula la freqüència angular $\omega$ de la vibració.
2. b) Expressa l'amplitud en metres i calcula la velocitat màxima del punt de la corda.

A l'Estació Espacial Internacional no es pot fer servir una balança per mesurar la massa dels astronautes. En lloc d'això, l'astronauta s'asseu en un seient unit a una molla de constant $k = 1000\ \text{N/m}$ i es mesura el període d'oscil·lació del conjunt, $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$.

1. a) Si el període mesurat és $T = 1,6\ \text{s}$, aïlla la massa de la fórmula i calcula la massa de l'astronauta (menysprea la del seient).
2. b) Explica per què aquest mètode funciona en ingravidesa i una balança no.

Un rellotge de peu antic funciona amb un pèndol el període del qual ha de ser exactament $T = 2,0\ \text{s}$: cada oscil·lació completa fa avançar una dent del mecanisme (pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). El pèndol es mostra a la figura.

1. a) Aïlla la longitud de la fórmula $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$.
2. b) Calcula la longitud que ha de tenir el pèndol.

En un taller s'assaja una molla de constant $k = 250\ \text{N/m}$ unint-hi una massa de $0,4\ \text{kg}$ i fent-la oscil·lar.

1. a) Calcula el període de l'oscil·lació, $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$.
2. b) Calcula la freqüència, en $\text{Hz}$.

Un pèndol de $l = 1,5\ \text{m}$ de longitud forma part d'un experiment que s'instal·larà en una base lunar. La gravetat a la superfície de la Lluna és $g_L = 1,6\ \text{m/s}^2$ i a la Terra $g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula el període del pèndol a la Terra.
2. b) Calcula el període a la Lluna.
3. c) Quantes vegades més lent oscil·la a la Lluna? Calcula el quocient d'ambdós períodes.

Una boia de captació d'energia undimotriu oscil·la verticalment amb les onades segons l'equació $x = 0,1 \cdot \sen(2 \cdot \pi \cdot t)$, en unitats del Sistema Internacional.

1. a) Calcula el període i la freqüència de l'oscil·lació.
2. b) Calcula l'elongació en l'instant $t = \frac{1}{12}\ \text{s}$.
3. c) En quin instant aconsegueix per primera vegada la seva altura màxima?

En una pista d'aire sense fregament, un carro de $m = 0,25\ \text{kg}$ està unit a una molla de constant $k = 400\ \text{N/m}$. Se separa el carro $10\ \text{cm}$ de la posició d'equilibri i es deixa anar en repòs en l'instant $t = 0$. El muntatge es mostra a la figura.

1. a) Calcula la freqüència angular, $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$, i el període de l'oscil·lació.
2. b) Prenent $x(t) = A\sin(\omega t + \varphi_0)$, raona per què la fase inicial és $\varphi_0 = \frac{\pi}{2}$: quant val l'elongació a $t = 0$?
3. c) Escriu l'equació completa de l'elongació, en unitats del Sistema Internacional.
4. d) Calcula la velocitat màxima del carro, $v_{max} = A \cdot \omega$.

L'agulla enregistradora d'un sismògraf oscil·la segons l'equació $x = 0,06 \cdot \sen(8 \cdot \pi \cdot t)$, en unitats del Sistema Internacional. La velocitat en el moviment harmònic simple és $v = A \cdot \omega \cdot \cos(\omega \cdot t + \varphi_0)$. La gràfica de l'elongació en funció del temps és la de la figura.

1. a) Calcula el primer instant en què l'elongació val $x = 0,03\ \text{m}$ (la meitat de l'amplitud).
2. b) Calcula la velocitat de l'agulla en aquest instant.
3. c) En quina posició la velocitat és màxima i quant val?

El pèndol de Foucault instal·lat al Panteó de París té una longitud de $l = 67\ \text{m}$ (pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$).

1. a) Calcula el seu període d'oscil·lació.
2. b) Calcula quantes oscil·lacions completes realitza en una hora.
3. c) Foucault va fer servir una esfera de $28\ \text{kg}$. Justifica, a partir de la fórmula del període, per què la massa de l'esfera no influeix en la mesura i per què interessa construir el pèndol tan llarg com sigui possible per observar el fenomen amb comoditat.

Es vol dissenyar un pèndol de període $T = 2,00\ \text{s}$ per a un experiment que funcionarà a la superfície de Mart, on $g_M = 3,71\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calcula la longitud que ha de tenir el pèndol a Mart.
2. b) Si aquest mateix pèndol es portés de tornada a la Terra ($g_T = 9,8\ \text{m/s}^2$), quin en seria el període?
3. c) Els geòlegs fan servir pèndols de precisió per mesurar $g$ en diferents punts de la Terra i detectar anomalies del subsol. Explica, a partir de la fórmula, per què el període d'un pèndol revela el valor de $g$ i quines magnituds cal mesurar amb més cura.

Al laboratori es munten dos oscil·ladors amb la mateixa molla, de constant $k = 100\ \text{N/m}$: l'oscil·lador A porta una massa de $0,1\ \text{kg}$ i l'oscil·lador B una massa de $0,4\ \text{kg}$. La figura mostra els dos muntatges.

1. a) Calcula el període de cada oscil·lador i el seu quocient $\frac{T_B}{T_A}$.
2. b) Sense repetir els càlculs, raona amb la fórmula $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$ quina relació hi ha entre aquest quocient i el quocient de masses $\frac{m_B}{m_A}$.
3. c) Quina constant elàstica hauria de tenir la molla de l'oscil·lador B perquè oscil·lés amb el mateix període que l'A? Justifica-ho.

Un grup d'estudiants mesura la gravetat amb un pèndol. La longitud mesurada és $l = 1,20\ \text{m}$ i cronometren $20$ oscil·lacions completes en $44,0\ \text{s}$.

1. a) Calcula el període del pèndol.
2. b) Aïlla $g$ de la fórmula $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{l}{g}}$ i calcula'n el valor experimental.
3. c) Compara amb el valor acceptat $g = 9,81\ \text{m/s}^2$ i explica per què es cronometren $20$ oscil·lacions i no una de sola per obtenir el període.

Es penja una massa de $m = 0,5\ \text{kg}$ d'una molla vertical de constant $k = 200\ \text{N/m}$ (pren $g = 9,8\ \text{m/s}^2$). El muntatge es mostra a la figura.

1. a) Calcula quant s'estira la molla fins a assolir la posició d'equilibri, on la força elàstica $k \cdot x_0$ iguala el pes $m \cdot g$.
2. b) Se separa lleugerament la massa d'aquesta posició i es deixa anar. Calcula el període de l'oscil·lació vertical, $T = 2 \cdot \pi \cdot \sqrt{\frac{m}{k}}$.
3. c) Explica per què la gravetat no modifica el període respecte al mateix oscil·lador disposat en horitzontal: què és l'únic que canvia la gravetat en l'oscil·lació vertical?

Un pont penjant té una freqüència pròpia d'oscil·lació de $0,5\ \text{Hz}$. El vent, en envoltar els pilars, genera remolins que empenyen lateralment el pont un cop cada $2,0\ \text{s}$. La figura mostra com depèn l'amplitud de l'oscil·lació forçada de la freqüència de les empentes.

1. a) Calcula el període i la freqüència angular propis del pont.
2. b) Calcula la freqüència de les empentes del vent i compara-la amb la freqüència pròpia del pont.
3. c) Explica què és la ressonància i per què és perillosa en aquesta situació, encara que cada empenta sigui feble.
4. d) Proposa una modificació de disseny que eviti el problema i justifica-la indicant quina magnitud física canvia.