El principio de incertidumbre

En $1927$, Heisenberg enunció el principio de incertidumbre.

1. a) Enúncialo con tus palabras.
2. b) ¿Qué par de magnitudes relaciona? Escribe su expresión matemática.
3. c) Explica qué significan $\Delta x$ y $\Delta p$ en esa expresión: ¿qué representa cada incertidumbre?

Un compañero afirma: «El principio de incertidumbre se debe a que nuestros instrumentos de medida son imperfectos; con aparatos mejores desaparecería».

1. a) Explica si esa afirmación es correcta: ¿es el principio una limitación tecnológica o una propiedad intrínseca de la naturaleza?
2. b) Señala la diferencia entre la incertidumbre cuántica $\Delta x$ y el error de medida ordinario de una regla o de un cronómetro.

Parte de la expresión $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$ y razona sin calculadora:

1. a) Si la incertidumbre en la posición se reduce a la mitad, ¿qué le ocurre a la incertidumbre mínima del momento?
2. b) ¿Y si $\Delta x$ se multiplica por diez?
3. c) Resume la relación entre ambas incertidumbres: ¿pueden ser las dos arbitrariamente pequeñas a la vez?

Un electrón está confinado en una región de tamaño $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ (el tamaño de un átomo). El principio de incertidumbre establece $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$, con $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula la incertidumbre mínima de su momento lineal, $\Delta p$.
2. b) Si el electrón estuviera confinado en una región diez veces menor, $\Delta x = 10^{-11}\ \text{m}$, ¿cuánto valdría $\Delta p$? Razona la proporcionalidad.

Un electrón está confinado en un átomo, de tamaño $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la incertidumbre mínima de su momento lineal, $\Delta p$.
2. b) Calcula la incertidumbre en su velocidad, $\Delta v = \frac{\Delta p}{m_e}$.
3. c) La velocidad típica del electrón en el átomo es del orden de $10^{6}\ \text{m/s}$ (dato): compara $\Delta v$ con esa velocidad y explica por qué no tiene sentido asignar al electrón una órbita precisa.

Un electrón y un protón están confinados cada uno en una región del mismo tamaño, $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ y $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) ¿Cuál de las dos partículas tiene mayor incertidumbre mínima en el momento lineal? Justifícalo mirando la fórmula: ¿aparece la masa en ella?
2. b) Calcula la incertidumbre en la velocidad de cada partícula.
3. c) Explica por qué la masa no influye en $\Delta p$ pero sí en $\Delta v$, y qué consecuencia tiene eso para la partícula más pesada.

Un balón de fútbol se mueve por el campo y, en principio, también está sometido al principio de incertidumbre.

1. a) Explica, apoyándote en el valor de $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, por qué el principio no tiene consecuencias prácticas en los objetos cotidianos.
2. b) ¿Qué dos características de los objetos macroscópicos (masa y tamaño) hacen que las incertidumbres cuánticas sean despreciables frente a las medidas ordinarias?

Una bala de $10\ \text{g}$ atraviesa un detector que determina su posición con una incertidumbre $\Delta x = 10^{-5}\ \text{m}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula la incertidumbre mínima del momento lineal de la bala.
2. b) Calcula la incertidumbre de su velocidad.
3. c) La bala lleva una velocidad de $400\ \text{m/s}$: calcula el cociente $\frac{\Delta v}{v}$ y concluye si la incertidumbre cuántica es apreciable en esta medida.

Confinamos en la misma región, $\Delta x = 10^{-6}\ \text{m}$, una mota de polvo de $10^{-15}\ \text{kg}$ y un electrón. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ y $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la incertidumbre mínima del momento lineal: ¿es la misma para ambos? Justifícalo.
2. b) Calcula la incertidumbre de la velocidad de la mota de polvo y la del electrón.
3. c) Razona, a la vista de los resultados, qué magnitud decide si los efectos cuánticos son relevantes para un objeto: su tamaño de confinamiento, su masa o ambas.
4. d) Extrapola: explica por qué ningún experimento de laboratorio ha observado jamás incertidumbre cuántica apreciable en objetos visibles a simple vista.

En mecánica clásica, una partícula sigue una trayectoria: en cada instante tiene una posición y una velocidad exactas. En mecánica cuántica se habla de probabilidades y de orbitales.

1. a) Explica, usando el principio de incertidumbre, por qué el concepto de trayectoria exacta pierde sentido para un electrón.
2. b) ¿Qué información da un orbital sobre el electrón, en lugar de su trayectoria?
3. c) Relaciona lo anterior con el paso del modelo de Bohr (órbitas) al modelo cuántico actual (orbitales).

Antes de descubrirse el neutrón se pensó que el núcleo podía contener electrones. Comprueba con el principio de incertidumbre qué pasaría si un electrón estuviera confinado en un núcleo de tamaño $\Delta x = 10^{-15}\ \text{m}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ y $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la incertidumbre mínima del momento lineal del electrón.
2. b) Calcula la incertidumbre de su velocidad.
3. c) Compara $\Delta v$ con la velocidad de la luz y extrae la conclusión: ¿puede un electrón estar confinado de forma estable en el núcleo?

El principio de incertidumbre permite estimar la energía mínima de una partícula confinada: si el momento es del orden de $\Delta p$, su energía cinética es del orden de $E_c \approx \frac{\Delta p^2}{2\cdot m}$. Datos: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ y $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Estima la energía cinética mínima de un electrón confinado en un átomo, $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$, y exprésala en electronvoltios. Compárala con las energías típicas de los enlaces químicos, de unos pocos electronvoltios (dato).
2. b) Estima la energía cinética mínima de un protón confinado en un núcleo, $\Delta x = 10^{-15}\ \text{m}$, y exprésala en $\text{MeV}$ ($1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$).
3. c) Concluye: explica cómo el principio de incertidumbre justifica que las energías de los procesos nucleares sean millones de veces mayores que las de los procesos atómicos.