Exercicis: El principi d'incertesa

El $1927$, Heisenberg va enunciar el principi d'incertesa.

1. a) Enuncia'l amb les teves paraules.
2. b) Quin parell de magnituds relaciona? Escriu la seva expressió matemàtica.
3. c) Explica què signifiquen $\Delta x$ i $\Delta p$ en aquesta expressió: què representa cada incertesa?

Un company afirma: «El principi d'incertesa es deu al fet que els nostres instruments de mesura són imperfectes; amb aparells millors desapareixeria».

1. a) Explica si aquesta afirmació és correcta: és el principi una limitació tecnològica o una propietat intrínseca de la naturalesa?
2. b) Assenyala la diferència entre la incertesa quàntica $\Delta x$ i l'error de mesura ordinari d'un regle o d'un cronòmetre.

Un electró està confinat en una regió de mida $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ (la mida d'un àtom). El principi d'incertesa estableix $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$, amb $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula la incertesa mínima del seu moment lineal, $\Delta p$.
2. b) Si l'electró estigués confinat en una regió deu vegades menor, $\Delta x = 10^{-11}\ \text{m}$, quant valdria $\Delta p$? Raona la proporcionalitat.

En un experiment, el moment lineal d'un protó es coneix amb una incertesa $\Delta p = 10^{-24}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$. Dada: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Aïlla $\Delta x$ de l'expressió $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$ i calcula la incertesa mínima de la seva posició.
2. b) Compara aquesta mida amb la d'un àtom ($10^{-10}\ \text{m}$): està el protó més ben localitzat o més mal localitzat que la mida d'un àtom?

Una pilota de futbol es mou pel camp i, en principi, també està sotmesa al principi d'incertesa.

1. a) Explica, recolzant-te en el valor de $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, per què el principi no té conseqüències pràctiques en els objectes quotidians.
2. b) Quines dues característiques dels objectes macroscòpics (massa i mida) fan que les incerteses quàntiques siguin menyspreables enfront de les mesures ordinàries?

Un electró té una incertesa en el seu moment lineal de $\Delta p = 5,3\cdot10^{-25}\ \text{kg}\cdot\text{m/s}$. Dada: $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la incertesa en la seva velocitat, $\Delta v = \frac{\Delta p}{m_e}$.
2. b) Compara el resultat amb la velocitat típica d'un electró en un àtom, de l'ordre de $10^{6}\ \text{m/s}$ (dada), i comenta què implica aquesta comparació.

Parteix de l'expressió $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$ i raona sense calculadora:

1. a) Si la incertesa en la posició es redueix a la meitat, què li passa a la incertesa mínima del moment?
2. b) I si $\Delta x$ es multiplica per deu?
3. c) Resumeix la relació entre ambdues incerteses: poden ser totes dues arbitràriament petites alhora?

En mecànica clàssica, una partícula segueix una trajectòria: en cada instant té una posició i una velocitat exactes. En mecànica quàntica es parla de probabilitats i d'orbitals.

1. a) Explica, utilitzant el principi d'incertesa, per què el concepte de trajectòria exacta perd sentit per a un electró.
2. b) Quina informació dóna un orbital sobre l'electró, en lloc de la seva trajectòria?
3. c) Relaciona l'anterior amb el pas del model de Bohr (òrbites) al model quàntic actual (orbitals).

Un electró està confinat en un àtom, de mida $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ i $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la incertesa mínima del seu moment lineal, $\Delta p$.
2. b) Calcula la incertesa en la seva velocitat, $\Delta v = \frac{\Delta p}{m_e}$.
3. c) La velocitat típica de l'electró a l'àtom és de l'ordre de $10^{6}\ \text{m/s}$ (dada): compara $\Delta v$ amb aquesta velocitat i explica per què no té sentit assignar a l'electró una òrbita precisa.

Abans de descobrir-se el neutró es va pensar que el nucli podia contenir electrons. Comprova amb el principi d'incertesa què passaria si un electró estigués confinat en un nucli de mida $\Delta x = 10^{-15}\ \text{m}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ i $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Calcula la incertesa mínima del moment lineal de l'electró.
2. b) Calcula la incertesa de la seva velocitat.
3. c) Compara $\Delta v$ amb la velocitat de la llum i extreu-ne la conclusió: pot un electró estar confinat de manera estable al nucli?

Una bala de $10\ \text{g}$ travessa un detector que determina la seva posició amb una incertesa $\Delta x = 10^{-5}\ \text{m}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula la incertesa mínima del moment lineal de la bala.
2. b) Calcula la incertesa de la seva velocitat.
3. c) La bala porta una velocitat de $400\ \text{m/s}$: calcula el quocient $\frac{\Delta v}{v}$ i conclou si la incertesa quàntica és apreciable en aquesta mesura.

Un gra de pols de massa $10^{-6}\ \text{kg}$ s'observa amb un microscopi que determina la seva posició amb una incertesa $\Delta x = 10^{-6}\ \text{m}$. Dada: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula la incertesa mínima del seu moment lineal.
2. b) Calcula la incertesa de la seva velocitat.
3. c) El gra es mou a $10^{-3}\ \text{m/s}$: raona si la incertesa quàntica té cap rellevància per descriure el seu moviment.

En un accelerador, un protó es mou a $v = 2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$, velocitat mesurada amb una incertesa $\Delta v = 10^{4}\ \text{m/s}$. Dades: $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ i $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula el moment lineal del protó, $p = m_p\cdot v$.
2. b) Calcula la incertesa del moment, $\Delta p = m_p\cdot\Delta v$.
3. c) Aplica el principi d'incertesa i calcula la incertesa mínima de la seva posició.
4. d) Calcula la incertesa relativa $\frac{\Delta v}{v}$ en percentatge.

En nanotecnologia es confinen electrons en «caixes quàntiques» de diferent mida. Considera dos casos: caixa A, amb $\Delta x_A = 1\ \text{nm}$, i caixa B, amb $\Delta x_B = 0,1\ \text{nm}$. Dada: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$. La figura compara les dues caixes.

1. a) Calcula la incertesa mínima del moment lineal a cada caixa.
2. b) Calcula el quocient $\frac{\Delta p_B}{\Delta p_A}$.
3. c) Explica, a partir de la fórmula del principi d'incertesa, la relació inversa entre la mida del confinament i la incertesa del moment.

Un electró i un protó estan confinats cadascun en una regió de la mateixa mida, $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$ i $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Quina de les dues partícules té major incertesa mínima en el moment lineal? Justifica-ho mirant la fórmula: hi apareix la massa?
2. b) Calcula la incertesa en la velocitat de cada partícula.
3. c) Explica per què la massa no influeix en $\Delta p$ però sí en $\Delta v$, i quina conseqüència té això per a la partícula més pesant.

En un xip modern, un electró queda confinat en un transistor de $10\ \text{nm}$ d'amplada. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ i $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la incertesa mínima del seu moment lineal.
2. b) Calcula la incertesa de la seva velocitat.
3. c) Si la indústria redueix l'escala del transistor a $1\ \text{nm}$, què li passa a $\Delta v$? Comenta quin repte suposa això per a la miniaturització de l'electrònica.

El model de Bohr dibuixa l'electró en una òrbita circular de radi $r = 5,3\cdot10^{-11}\ \text{m}$. Suposa que volguéssim seguir aquesta trajectòria coneixent la seva posició amb una incertesa del $10\%$ del radi, $\Delta x = 5,3\cdot10^{-12}\ \text{m}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ i $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$. La figura mostra l'òrbita amb la incertesa suposada.

1. a) Calcula la incertesa mínima del moment lineal que imposa el principi d'incertesa.
2. b) Calcula la incertesa en la velocitat.
3. c) La velocitat de l'electró en la primera òrbita de Bohr és $2,2\cdot10^{6}\ \text{m/s}$ (dada): compara $\Delta v$ amb aquesta velocitat i conclou si la imatge d'una òrbita exacta és compatible amb la mecànica quàntica.

Pots fer-ho en paper i enviar una foto amb la teva resposta.

Heisenberg va imaginar un microscopi capaç de localitzar un electró: per «veure'l» amb una resolució $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ cal il·luminar-lo amb fotons de longitud d'ona comparable, $\lambda = 10^{-10}\ \text{m}$, el moment dels quals és $p_{fotón} = \frac{h}{\lambda}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ i $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$. Observa l'esquema de l'experiment mental:

1. a) Calcula el moment del fotó utilitzat.
2. b) Si en el xoc el fotó cedeix a l'electró un moment d'aquest ordre, calcula la incertesa en la velocitat que s'indueix en l'electró.
3. c) Explica la idea de l'experiment mental: com més bé es mesura la posició, més es pertorba el moment. Matisa després que el principi d'incertesa és encara més profund que una simple pertorbació de la mesura: què afirma sobre la naturalesa de la partícula abans de mesurar-la?

Imagina un univers on la constant de Planck fos molt més gran. En aquest exercici treballarem amb una pilota de $0,15\ \text{kg}$ localitzada amb una incertesa $\Delta x = 10^{-3}\ \text{m}$. Dada: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Calcula, amb el valor real de $h$, la incertesa mínima de la velocitat de la pilota.
2. b) Aïlla $h$ de l'expressió del principi d'incertesa i calcula quin valor hauria de tenir perquè, amb el mateix $\Delta x$, la incertesa de la velocitat fos apreciable, per exemple $\Delta v = 0,01\ \text{m/s}$.
3. c) Quants ordres de magnitud més gran que la constant real seria aquest valor?
4. d) Imagina les conseqüències en aquest univers: descriu raonadament com canviaria el moviment dels objectes quotidians si el principi d'incertesa es notés a escala humana.

El principi d'incertesa permet estimar l'energia mínima d'una partícula confinada: si el moment és de l'ordre de $\Delta p$, la seva energia cinètica és de l'ordre de $E_c \approx \frac{\Delta p^2}{2\cdot m}$. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$, $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$, $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$ i $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Estima l'energia cinètica mínima d'un electró confinat en un àtom, $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$, i expressa-la en electrons-volt. Compara-la amb les energies típiques dels enllaços químics, d'uns pocs electrons-volt (dada).
2. b) Estima l'energia cinètica mínima d'un protó confinat en un nucli, $\Delta x = 10^{-15}\ \text{m}$, i expressa-la en $\text{MeV}$ ($1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$).
3. c) Conclou: explica com el principi d'incertesa justifica que les energies dels processos nuclears siguin milions de vegades superiors a les dels processos atòmics.

Confinem en la mateixa regió, $\Delta x = 10^{-6}\ \text{m}$, un borrissol de pols de $10^{-15}\ \text{kg}$ i un electró. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ i $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Calcula la incertesa mínima del moment lineal: és la mateixa per a tots dos? Justifica-ho.
2. b) Calcula la incertesa de la velocitat del borrissol de pols i la de l'electró.
3. c) Raona, a la vista dels resultats, quina magnitud decideix si els efectes quàntics són rellevants per a un objecte: la seva mida de confinament, la seva massa o totes dues.
4. d) Extrapola: explica per què cap experiment de laboratori no ha observat mai incertesa quàntica apreciable en objectes visibles a simple vista.

Un alumne escriu en un examen: «Amb un instrument de mesura perfecte podria conèixer simultàniament la posició i el moment d'un electró amb la precisió que volgués; el principi d'incertesa només reflecteix la mala qualitat dels aparells actuals». Dada: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$.

1. a) Assenyala l'error conceptual de l'afirmació i corregeix-la.
2. b) Recolza't en nombres: si l'«instrument perfecte» millora la mesura de posició des de $\Delta x = 10^{-9}\ \text{m}$ fins a $\Delta x = 10^{-12}\ \text{m}$, calcula en quin factor augmenta la incertesa mínima del moment.
3. c) Hi ha algun valor de $\Delta x$ per al qual $\Delta p$ deixi de créixer o pugui fer-se zero? Raona la resposta a partir de l'expressió $\Delta x\cdot\Delta p \geq \frac{h}{4\cdot\pi}$.

Un feix d'electrons amb velocitat $v = 10^{7}\ \text{m/s}$ travessa una escletxa estreta d'amplada $\Delta y = 10^{-7}\ \text{m}$. En passar-hi, la posició vertical de cada electró queda determinada amb aquesta incertesa, la qual cosa obre el feix. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ i $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$. La figura mostra la geometria del muntatge.

1. a) Calcula la incertesa mínima de la component vertical del moment, $\Delta p_y$.
2. b) Calcula el moment lineal de l'electró, $p = m_e\cdot v$, i estima l'angle d'obertura del feix, $\theta \approx \frac{\Delta p_y}{p}$, en radians.
3. c) Estima l'amplada del feix en una pantalla situada a $L = 1\ \text{m}$, com a $2\cdot L\cdot\theta$, i expressa-la en mil·límetres.
4. d) Prediu què passa si l'escletxa s'estreny a $10^{-8}\ \text{m}$ i relaciona aquest resultat amb la difracció: per què una obertura més petita dispersa més el feix?

La mecànica de Newton és determinista: si en un instant es coneixen amb exactitud la posició i el moment de totes les partícules d'un sistema, les equacions del moviment en prediuen tot el futur. Dades: $h = 6,63\cdot10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$ i $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$.

1. a) Fes servir el principi d'incertesa per argumentar que aquest «estat inicial exacte» no pot existir: calcula la incertesa mínima del moment d'un electró la posició del qual es conegués amb $\Delta x = 10^{-10}\ \text{m}$ i la incertesa corresponent en la seva velocitat.
2. b) Si no es pot conèixer l'estat inicial amb exactitud, quina mena de prediccions fa la física quàntica sobre el resultat d'una mesura?
3. c) Explica per què la mecànica de Newton, malgrat tot, funciona tan bé per a una pilota, un cotxe o un planeta, recolzant-te en el valor de $h$ i en les masses d'aquests objectes.

Repte del tema. Com es manifesta la quàntica en el teu entorn quotidià? Investiga la dualitat ona-corpuscle i el límit quàntic analitzant un dispositiu solar i un patró òptic casolà.

1. Mesura casolana i dualitat: Projecta la llum d'un punter làser de baixa potència (no l'apuntis mai als ulls ni a superfícies reflectants) sobre un cabell fixat verticalment davant d'una paret situada a una distància $L$ que mesuraràs amb incertesa $\pm 0,01\text{ m}$ (comença a $L \approx 1,50\text{ m}$). Mesura amb un regle l'amplada del màxim central (distància entre els dos mínims de primer ordre) per a 4 distàncies $L$ diferents, elabora una taula amb incerteses i grafica les dades per deduir, conegut el gruix $a$ del cabell (mesura'l o estima'l amb la seva incertesa), la longitud d'ona $\lambda$ i el moment lineal del fotó ($p = h/\lambda$). Justifica quina massa hauria de tenir una partícula amb aquesta mateixa longitud d'ona segons De Broglie, en funció de la seva velocitat $v$ (no relativista).

2. Efecte fotoelèctric: Mesura la superfície d'una petita placa o calculadora solar. Consulta a l'AEMET la radiació global de la teva zona ($W/\text{m}^2$) i, suposant una energia mitjana dels fotons solars de $\approx 1,5\text{--}2\text{ eV}$, estima quants fotons per segon superen l'energia llindar del silici ($W_0 = 1,12\text{ eV}$) per alliberar electrons.

3. Principi d'incertesa: Assumeix el gruix del cabell com la indeterminació en la posició del fotó ($\Delta x$). Aplica $\Delta x \cdot \Delta p_x \ge \hbar/2$ per calcular la indeterminació teòrica del seu moment i reflexiona sobre per què aquest efecte no s'aprecia a escala macroscòpica.

4. Producte final: Presenta un informe breu (dues pàgines) amb taula, gràfica, càlculs i conclusions.

Es valorarà:

• Rigor en la mesura experimental casolana, tractament d'incerteses i representació gràfica.

• Correcció analítica en l'aplicació de les lleis de De Broglie, Einstein i Heisenberg.

• Ús i interpretació de les dades reals de radiació solar.