Exercicis: Energia i potencial elèctric

Una petita esfera del laboratori té una càrrega $Q = 3\,\mu\text{C}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula el potencial elèctric a $0,5\ \text{m}$ de l'esfera, $V = K \cdot \frac{Q}{r}$.
2. b) Indica el signe del potencial i raona a quin lloc es pren, per conveni, $V = 0$.

El potencial elèctric és una magnitud escalar; el camp elèctric, vectorial.

1. a) Explica quina diferència pràctica té això a l'hora de sumar, en un punt, les contribucions de diverses càrregues.
2. b) Pot ser negatiu el potencial en un punt? Posa'n un exemple.
3. c) Quin signe té el potencial creat per una càrrega positiva?

Una càrrega $q = 2\,\mu\text{C}$ es troba en un punt on el potencial és $V = 1000\ \text{V}$.

1. a) Calcula la seva energia potencial elèctrica, $E_p = q \cdot V$.
2. b) Si la càrrega, que és positiva, es mogués espontàniament cap a un punt de menor potencial, raona si la seva energia potencial augmentaria o disminuiria.

A partir de l'expressió del treball $W = q \cdot \Delta V$:

1. a) Dedueix l'equivalència $1\ \text{V} = 1\ \text{J/C}$.
2. b) Explica què significa que entre els borns d'una bateria de cotxe hi hagi una diferència de potencial de $12\ \text{V}$, parlant de l'energia de cada coulomb de càrrega que la travessa.
3. c) Indica quines d'aquestes expressions equivalen a un volt: $\text{J/C}$; $\text{N/C}$; $\text{J}\cdot\text{C}$.

Una càrrega $q = 5\,\mu\text{C}$ es desplaça des d'un punt A, amb potencial $V_A = 200\ \text{V}$, fins a un punt B, amb $V_B = 80\ \text{V}$.

1. a) Calcula el treball realitzat pel camp elèctric, $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Raona, a partir del signe del resultat, si el camp «empeny» espontàniament la càrrega en aquest sentit del desplaçament.

En física de partícules s'utilitza molt l'electró-volt: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$ (dada: càrrega elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$).

1. a) Expressa en joules una energia de $3\ \text{eV}$.
2. b) Justifica l'equivalència anterior calculant, amb $W = q \cdot \Delta V$, l'energia que guanya un electró en ser accelerat amb una diferència de potencial de $1\ \text{V}$.

Dues càrregues puntuals $q_1 = 1\,\mu\text{C}$ i $q_2 = 2\,\mu\text{C}$ estan separades $0,3\ \text{m}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula l'energia potencial elèctrica del sistema, $E_p = K \cdot \frac{q_1 \cdot q_2}{r}$.
2. b) Interpreta el signe del resultat: en separar les càrregues fins a l'infinit, cal aportar energia o s'allibera? Relaciona-ho amb el fet que les càrregues es repel·leixen.

Entre l'interior i l'exterior d'una cèl·lula hi ha una diferència de potencial d'uns $70\ \text{mV}$, amb l'interior negatiu (dada: càrrega elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$). La figura mostra l'esquema de la membrana.

1. a) Expressa aquesta diferència de potencial en volts i indica quanta energia fa falta, com a mínim, per transportar un coulomb de càrrega positiva de l'interior a l'exterior contra el camp.
2. b) Calcula l'energia necessària per transportar un ió sodi $\text{Na}^+$ (càrrega $+e$) de l'interior a l'exterior, en joules i en electrons-volt.

En un generador de Van de Graaff del laboratori es mesura un potencial de $6000\ \text{V}$ a $0,25\ \text{m}$ del centre de l'esfera carregada (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ i suposa la càrrega puntual).

1. a) Aïlla la càrrega de l'expressió $V = K \cdot \frac{Q}{r}$ i calcula-la.
2. b) Quant valdria el potencial al doble de distància? Raona la proporcionalitat que has utilitzat.

Dues càrregues $q_1 = 4\ \text{nC}$ i $q_2 = -2\ \text{nC}$ estan, respectivament, a $0,3\ \text{m}$ i a $0,5\ \text{m}$ d'un punt P (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula el potencial que crea cada càrrega a P.
2. b) Calcula el potencial total a P.
3. c) Explica per què aquí les contribucions se sumen directament com a nombres, mentre que per al camp elèctric cal sumar vectors.

Una càrrega $q = -3\,\mu\text{C}$ es desplaça des d'un punt A ($V_A = 500\ \text{V}$) fins a un punt B ($V_B = 100\ \text{V}$).

1. a) Calcula el treball realitzat pel camp, $W_{A \to B} = q \cdot (V_A - V_B)$.
2. b) Interpreta el signe negatiu del resultat: és un desplaçament espontani o l'ha de realitzar un agent extern?
3. c) Raona cap a on es mouria espontàniament aquesta càrrega negativa: cap a potencials més alts o cap a potencials més baixos?

Un detector registra partícules molt energètiques (dada: $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$).

1. a) Una partícula registrada té una energia de $2,4\cdot10^{-17}\ \text{J}$: expressa-la en electrons-volt.
2. b) Una partícula alfa emesa en una desintegració nuclear té una energia de $5\ \text{MeV}$: expressa-la en joules.
3. c) Explica, comparant els nombres anteriors, per què l'electró-volt és una unitat còmoda en física atòmica i nuclear.

En un microscopi electrònic, un electró parteix del repòs i s'accelera mitjançant una diferència de potencial $\Delta V = 2000\ \text{V}$ (dades: càrrega elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa de l'electró $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$). Observa l'esquema:

1. a) Calcula l'energia cinètica que guanya l'electró, en joules i en electrons-volt.
2. b) Aplica la conservació de l'energia, $\frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 = e \cdot \Delta V$, i calcula la seva velocitat final.

Perquè dos protons puguin fusionar-se a l'interior del Sol han de vèncer la seva repulsió elèctrica i apropar-se moltíssim (dades: càrrega elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$; $1\ \text{eV} = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{J}$; $1\ \text{nm} = 10^{-9}\ \text{m}$). La figura mostra l'energia potencial del parell de protons en funció de la seva distància.

1. a) Calcula l'energia potencial elèctrica de dos protons separats una distància $r = 1\ \text{nm}$.
2. b) Expressa el resultat en electrons-volt.
3. c) Raona per què la repulsió elèctrica dificulta la fusió i quin paper juga l'altíssima temperatura de l'interior solar per superar-la.

Dues càrregues idèntiques $q = 5\ \text{nC}$ ocupen els punts $(0, 0)$ i $(0, 40)$, amb les coordenades en centímetres (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Raona, dibuixant els vectors al teu quadern, que el camp elèctric total en el punt mitjà $P(0, 20)$ és nul.
2. b) Calcula el potencial elèctric en aquest mateix punt P.
3. c) Treu una conclusió: és cert que on el camp és nul el potencial també ho és?

Entre els dos elèctrodes plans d'un detector de fum per ionització, separats $d = 5\ \text{cm}$, hi ha un camp elèctric uniforme $E = 10^{4}\ \text{N/C}$ (dada: càrrega elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$). Observa l'esquema:

1. a) Calcula la diferència de potencial entre els elèctrodes, $\Delta V = E \cdot d$.
2. b) Calcula el treball que realitza el camp sobre un ió positiu de càrrega $+e$ que va de l'elèctrode positiu al negatiu.
3. c) Comprova que el resultat coincideix amb el calculat com a $W = F \cdot d = e \cdot E \cdot d$ i explica per què ha de ser així.

En l'etapa d'acceleració d'un equip de protonteràpia (tractament de tumors amb feixos de protons), un protó parteix del repòs en un punt A amb $V_A = 3000\ \text{V}$ i arriba a un punt B amb $V_B = 500\ \text{V}$ (dades: càrrega elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa del protó $m_p = 1,67\cdot10^{-27}\ \text{kg}$).

1. a) Calcula l'energia potencial que perd el protó entre A i B.
2. b) Aplica la conservació de l'energia mecànica i calcula la velocitat del protó a B.
3. c) Raona, amb el signe de la càrrega i la variació de l'energia potencial, si el protó podria moure's espontàniament en sentit contrari, de B a A.

Dues càrregues puntuals $q_1 = 6\ \text{nC}$ i $q_2 = -2\ \text{nC}$ estan sobre l'eix $x$, a $x_1 = 0$ i $x_2 = 1\ \text{m}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Planteja la condició $V = 0$ en un punt de l'eix i expressa-la com una relació entre les distàncies a cada càrrega: quina relació s'ha de complir entre $r_1$ i $r_2$?
2. b) Troba el punt de l'eix, entre les dues càrregues, on el potencial s'anul·la.
3. c) Troba el punt de l'eix, a la dreta de $q_2$, on també s'anul·la.
4. d) Raona per què no existeix cap punt amb $V = 0$ a l'esquerra de $q_1$.

Dues càrregues $q_1 = 2\,\mu\text{C}$ i $q_2 = 3\,\mu\text{C}$, subjectes amb suports aïllants, passen d'estar separades $1\ \text{m}$ a estar separades $0,25\ \text{m}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula l'energia potencial elèctrica inicial i final del sistema.
2. b) Calcula el treball que ha de realitzar un agent extern en el procés, $W_{ext} = \Delta E_p$.
3. c) Raona el signe del resultat: per què cal aportar treball per apropar dues càrregues que es repel·leixen?
4. d) Quant val, en aquest mateix procés, el treball realitzat pel camp elèctric? Relaciona-ho amb el de l'agent extern.

En un tub de raigs X d'un hospital, els electrons s'acceleren cap a l'ànode amb una diferència de potencial $\Delta V = 40\ \text{kV}$ (dades: càrrega elemental $e = 1,6\cdot10^{-19}\ \text{C}$; massa de l'electró $m_e = 9,11\cdot10^{-31}\ \text{kg}$; velocitat de la llum $c = 3\cdot10^{8}\ \text{m/s}$). La figura mostra l'esquema del tub.

1. a) Expressa la diferència de potencial en volts i calcula l'energia cinètica de cada electró en arribar a l'ànode, en electrons-volt i en joules.
2. b) Calcula la velocitat final de l'electró utilitzant l'expressió clàssica $\frac{1}{2} \cdot m_e \cdot v^2 = e \cdot \Delta V$.
3. c) Compara el resultat amb la velocitat de la llum i comenta per què, a aquestes energies, l'aproximació clàssica comença a ser qüestionable.

Tres càrregues idèntiques $q = 1\ \text{nC}$ es col·loquen en els vèrtexs d'un triangle equilàter de costat $10\ \text{cm}$ (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Calcula l'energia potencial de cada parella de càrregues.
2. b) Suma les contribucions de totes les parelles i calcula l'energia potencial total del sistema.
3. c) Interpreta el resultat com el treball total necessari per «muntar» la distribució portant les càrregues, una a una, des de l'infinit.
4. d) Raona per què, en un sistema de càrregues qualsevol, no n'hi ha prou de calcular l'energia d'una parella i multiplicar pel nombre de parelles: quina condició es compleix en aquest cas que sí que ho fa possible?

El teu company afirma: «si en un punt el camp elèctric és nul, el potencial també és nul; i si el potencial és nul, el camp també ho és» (pren $K = 9\cdot10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$).

1. a) Refuta la primera part amb un exemple numèric: calcula el punt del segment entre les càrregues $q_1 = 9\ \text{nC}$ i $q_2 = 4\ \text{nC}$, separades $1\ \text{m}$, on el camp és nul, i calcula el potencial en aquest punt.
2. b) Refuta la segona part amb un altre exemple numèric: calcula el potencial i el camp en el punt mitjà entre les càrregues $q_1 = +5\ \text{nC}$ i $q_2 = -5\ \text{nC}$, separades $40\ \text{cm}$.
3. c) Explica, a partir de les definicions de camp (vectorial) i de potencial (escalar), per què les dues afirmacions són falses en general.

En una regió, les superfícies equipotencials són plans paral·lels. Dos d'ells, separats $2\ \text{cm}$, tenen potencials $V_1 = 300\ \text{V}$ i $V_2 = 100\ \text{V}$. Observa l'esquema:

1. a) Calcula el camp elèctric entre els dos plans, suposant-lo uniforme, $E = \frac{\Delta V}{d}$, i indica la seva direcció i el seu sentit (el camp apunta cap als potencials decreixents).
2. b) Calcula el treball que realitza el camp en desplaçar una càrrega $q = 2\ \text{nC}$ des del pla de $300\ \text{V}$ fins al de $100\ \text{V}$.
3. c) Un alumne desplaça la càrrega primer «de costat», sense sortir del pla de $300\ \text{V}$, i només després la porta fins al pla de $100\ \text{V}$ per un camí trencat. Raona, fent servir que el camp elèctric és conservatiu (el treball només depèn dels punts inicial i final), que el treball total és el mateix que a l'apartat b), i calcula el treball del tram «de costat».

Durant una tempesta, la base d'un núvol pot estar a un potencial d'uns $10^{8}\ \text{V}$ respecte al terra, i un llamp arriba a transferir una càrrega de $20\ \text{C}$ (dada: $1\ \text{kW}\cdot\text{h} = 3,6\cdot10^{6}\ \text{J}$).

1. a) Calcula l'energia alliberada en el llamp, $E = Q \cdot \Delta V$.
2. b) Expressa-la en quilowatts-hora.
3. c) El consum elèctric mensual d'un habitatge és d'uns $200\ \text{kW}\cdot\text{h}$: compara ambdós valors i raona per què, tot i aquesta enorme energia, és tan difícil aprofitar la dels llamps (pensa en la potència instantània i en la impredictibilitat de les descàrregues).

Repte del tema. Dissenya i calibra un sensor electroestàtic oscil·lant casolà per caracteritzar el camp creat per un objecte quotidià.

1. Muntatge i presa de dades: Construeix un pèndol amb fil prim i una boleta d'alumini ($m \approx 0,05\text{ g}$). Mesura la longitud $L \pm \Delta L$ amb regle ($L = 0,300 \pm 0,001\text{ m}$). Cronometra $10$ oscil·lacions lliures amb el mòbil (incertesa $\pm 0,2\text{ s}$) per determinar el període propi $T_0$.

2. Tractament vectorial i flux: Carrega un regle plàstic per fricció (modelitza'l com una distribució lineal de càrrega uniforme aplicant la llei de Gauss per aproximar $\vec{E}$). Carrega la boleta per contacte. En aproximar el regle a una distància fixa, planteja l'equilibri vectorial $\sum \vec{F} = \vec{T} + \vec{P} + q\vec{E} = \vec{0}$ a partir de l'angle de desviació per expressar la càrrega neta $q$ en funció de la densitat lineal de càrrega $\lambda$ del regle.

3. Energia oscil·latòria i informe: Separa el pèndol amb petites amplituds $A$ respecte al nou equilibri. Mesura els períodes resultants, obtén la constant recuperadora equivalent $k = m\omega^2$ i mesura per videoanàlisi la velocitat màxima $v_{\max}$ en cada cas; representa en una gràfica l'energia mecànica $E_m = \frac{1}{2}m v_{\max}^2$ enfront d'$A^2$ amb les seves barres de dispersió i compara-la amb la recta teòrica $\frac{1}{2}kA^2$. Resumeix les teves conclusions en un informe breu.

Es valorarà:

• Rigor en el tractament experimental de dades, propagació d'incerteses i gràfica.

• Aplicació correcta del teorema de Gauss i anàlisi vectorial de forces.

• Justificació coherent de la conservació de l'energia en el règim oscil·latori.