Teorema de Pitágoras

Verifique se um triângulo cujos lados medem $7$ cm, $10$ cm e $12$ cm é um triângulo retângulo. Para isso, verifique se a igualdade do Teorema de Pitágoras é satisfeita entre os seus lados.

Encontra o comprimento do lado desconhecido ($c$) no seguinte triângulo retângulo, sabendo que a hipotenusa mede $13$ cm e um dos catetos mede $5$ cm.

Num treino de futebol, um jogador corre em linha reta de um canto do campo até ao canto oposto. Se o campo mede $80$ metros de comprimento e $60$ metros de largura, que distância percorre o jogador na sua corrida diagonal?

Queremos colocar um cabo do ponto mais alto de uma antena de telecomunicações de $12$ metros de altura até um ponto de ancoragem situado no chão, a $9$ metros da base da antena. Que comprimento deve ter o cabo para ficar totalmente esticado?

Para fixar uma rede de voleibol no pátio da escola, foi colocado um cabo esticador desde a parte superior de um poste até uma ancoragem no chão. O poste tem uma altura de $2,4$ metros e a distância da base do poste até à ancoragem é de $1,8$ metros. Se quisermos colocar um cabo idêntico noutro poste que é uma ampliação em escala $k = 1,5$ do primeiro, quanto medirá o novo cabo esticador?

Uma escada dupla aberta tem uma altura vertical de $2,4$ metros. Se a distância entre os pés apoiados no chão é de $1,4$ metros, quanto mede cada um dos braços da escada? Dica: Nota que a altura divide a escada em dois triângulos retângulos iguais.

Os ecrãs de televisão são medidos pela sua diagonal em polegadas. Se uma televisão tem uma largura de $32$ cm e uma altura de $24$ cm, quantos centímetros mede a sua diagonal?

Um farol projeta uma luz que chega até um barco. O farol tem uma altura de $30$ metros e o barco encontra-se a uma distância horizontal de $40$ metros da base do farol. Qual é a distância direta entre a lâmpada do farol e o barco?

Para calcular o comprimento da diagonal de um ecrã retangular de televisão que mede $40\text{ cm}$ de largura e $30\text{ cm}$ de altura, a Maria escreve no seu caderno o seguinte procedimento:

$d = \sqrt{40^2 + 30^2} = \sqrt{40^2} + \sqrt{30^2} = 40 + 30 = 70\text{ cm}$.

1. a) Explica detalhadamente que erro algébrico cometeu a Maria com a raiz quadrada e por que razão a raiz de uma soma não se pode separar na soma das raízes.
2. b) Sem realizar ainda o cálculo correto, raciocina geometricamente por que razão um resultado de $70\text{ cm}$ é impossível para essa diagonal (lembra-te da desigualdade triangular: o comprimento de qualquer lado de um triângulo deve ser menor do que a soma dos outros dois).
3. c) Corrige o procedimento da Maria e determina a medida real da diagonal desse ecrã.

Um campo desportivo escolar de basquetebol tem dimensões oficiais de $28\text{ m}$ de comprimento por $15\text{ m}$ de largura. O professor de Educação Física pede aos seus alunos que corram em linha reta desde um canto até ao canto diagonalmente oposto.

1. a) Antes de fazeres qualquer operação com raízes, realiza uma estimativa fundamentada: justifica por que razão a distância diagonal percorrida deve ser obrigatoriamente maior do que $28\text{ m}$ e menor do que $43\text{ m}$. Entre que dois números inteiros achas que se encontrará o resultado?
2. b) Aplica o Teorema de Pitágoras para calcular o comprimento exato da diagonal, arredondando o resultado às centésimas de metro.
3. c) Compara o valor obtido com a tua estimativa prévia e avalia criticamente se o resultado obtido faz sentido prático num campo desportivo.

Calcule o perímetro de um losango cujas diagonais medem $16$ cm e $12$ cm. Lembre-se de que as diagonais de um losango são perpendiculares e cruzam-se no seu ponto médio, formando quatro triângulos retângulos.

Um jardim tem a forma de um triângulo isósceles. Os seus dois lados iguais medem $13\text{ metros}$ e o lado diferente (a base) mede $10\text{ metros}$. Queremos construir uma maqueta deste jardim que seja uma redução e cuja base na maqueta seja de $20\text{ cm}$. Calcule:

• a) A altura real do jardim.

• b) A área que a maqueta ocupará em $\text{cm}^2$.

Calcule a área de um hexágono regular de lado $8\text{ cm}$. Lembre-se de que um hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros. Deverá usar o Teorema de Pitágoras para encontrar o apótema do hexágono antes de calcular a sua área total.

Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide-a em dois segmentos que medem $9\text{ cm}$ e $16\text{ cm}$.

• a) Calcule a altura do triângulo usando o Teorema da Altura ($h^2 = m \cdot n$, onde $m$ e $n$ são os dois segmentos da hipotenusa).

• b) Uma vez encontrada a altura, utilize o Teorema de Pitágoras para calcular quanto medem os dois catetos do triângulo original.

Um ecrã de smartphone de formato retangular tem uma altura de $12\text{ cm}$ e uma largura de $5\text{ cm}$. Um tablet é semelhante ao smartphone e o seu lado menor mede $15\text{ cm}$. Calcule primeiro a diagonal do smartphone usando o Teorema de Pitágoras e, depois, utilize a razão de semelhança para encontrar a diagonal do tablet.

Um carpinteiro está a projetar duas prateleiras triangulares semelhantes para os cantos de um quarto. A prateleira pequena tem dois lados (catetos) de $30\text{ cm}$ e $40\text{ cm}$. A prateleira grande tem um perímetro de $240\text{ cm}$. Quanto mede o lado mais longo (hipotenusa) da prateleira grande?

Num parque há uma rampa de skate que, vista de perfil, forma um triângulo retângulo. A base da rampa mede $4\text{ metros}$ e a altura máxima é de $3\text{ metros}$. A uma distância de $1,6\text{ metros}$ da base, foi colocado um suporte vertical de reforço.

• a) Calcule o comprimento total da rampa (a parte inclinada).

• b) Usando a semelhança de triângulos, calcule a altura do suporte vertical.

Dois edifícios projetam a sua sombra na mesma hora do dia. O edifício A tem uma altura de $15\text{ metros}$ e a sua sombra mede $12\text{ metros}$. O edifício B está ao lado dele e projeta uma sombra de $20\text{ metros}$.

• a) Qual é a altura do edifício B?

• b) Se unirmos o ponto mais alto de cada edifício à extremidade da sua sombra, formam-se dois triângulos retângulos. Calcula o comprimento dessas linhas imaginárias (hipotenusas) para ambos os edifícios.

Um arquiteto projetou um vitral com formato de triângulo isósceles cuja base mede $12\text{ m}$ e cujos lados iguais medem $10\text{ m}$ cada um. Por motivos de iluminação, precisa de colocar uma travessa horizontal exatamente a meio da altura do triângulo.

Calcule primeiro a altura total do vitral usando o Teorema de Pitágoras e, posteriormente, utilize a semelhança de triângulos para determinar o comprimento da travessa horizontal.

Uma empresa de publicidade criou uma lona em formato de losango para cobrir a fachada de um edifício. As diagonais do losango medem $16\text{ m}$ e $12\text{ m}$. A empresa quer fabricar uma réplica à escala para um escritório cuja razão de semelhança em relação à original é $k = 0,25$.

Calcule o perímetro da lona original (usando o Teorema de Pitágoras para encontrar o lado) e, a partir desse dado, determine o perímetro e a área da réplica pequena sem necessidade de calcular os seus lados um a um.

Na maqueta de um parque infantil, uma rampa reta para trotinetes tem a forma de um triângulo retângulo com uma base de $12\text{ cm}$ e uma altura de $5\text{ cm}$. A rampa real construída no parque é uma ampliação semelhante à escala com razão de semelhança $k = 20$. Para determinar o comprimento do piso inclinado da rampa real (a hipotenusa), dois alunos propõem caminhos diferentes:

• Método do Marcos: Calcula primeiro a hipotenusa da maqueta usando o Teorema de Pitágoras e depois multiplica essa medida pela razão de semelhança $k = 20$.

• Método da Sara: Multiplica primeiro as duas dimensões da maqueta pela razão $k = 20$ para determinar a base e a altura reais do parque, e depois aplica o Teorema de Pitágoras sobre esses valores maiores.

1. a) Desenvolve por completo ambos os métodos passo a passo e verifica se ambos conduzem ao mesmo resultado numérico em metros.
2. b) Se tivesses de resolver este exercício num teste sem usar calculadora, qual dos dois métodos escolherias e porquê? Justifica a tua escolha analisando a dificuldade operatória dos cálculos envolvidos e apoiando-te nas propriedades da semelhança.

Um serviço de entregas utiliza caixas de cartão com formato de paralelepípedo retângulo (prisma retangular). Uma das suas caixas maiores tem dimensões de $60\text{ cm}$ de comprimento, $45\text{ cm}$ de largura e $30\text{ cm}$ de altura. Um cliente precisa de enviar um tubo rígido que mede exatamente $82\text{ cm}$.

Utilize o Teorema de Pitágoras para determinar se o tubo cabe dentro da caixa (colocando-o na diagonal, unindo dois vértices opostos do espaço interior) e justifique a sua resposta com os cálculos necessários.

Tem-se uma pirâmide quadrangular regular cuja base é um quadrado de $10\text{ cm}$ de lado. A altura da pirâmide (do centro da base ao vértice superior) é de $12\text{ cm}$.

1. Calcule a altura de uma face lateral (apótema da pirâmide) usando Pitágoras.

2. Se construirmos uma pirâmide semelhante menor com uma razão de semelhança $k = 0,5$, calcule o volume da pirâmide pequena sabendo que o volume da original é $V = \frac{1}{3} \cdot \text{Área da base} \cdot \text{Altura}$.