Percentagens

Observe a seguinte grelha que representa a planta de uma área de lazer num centro comercial. Cada quadrado pequeno representa $1\%$ do total. Se a área sombreada a laranja está reservada para máquinas de jogos, que percentagem do total ocupa essa área? Expresse o resultado também sob a forma de fração irredutível.

Calcule mentalmente as seguintes percentagens utilizando as estratégias de divisão aprendidas na aula (dividir por $2$ para $50\%$, por $4$ para $25\%$ e por $10$ para $10\%$):

1. a) $50\%$ de $84$ espectadores numa transmissão em direto.
2. b) $25\%$ de uma pizza de $400$ gramas.
3. c) $10\%$ de um passe de transportes que custa $35$ euros.

Num torneio de e-sports, $20\%$ dos $150$ participantes jogam a partir de um tablet, enquanto os restantes jogam num computador. Calcule o número exato de jogadores que utilizam tablet para competir.

A barra de carregamento do teu jogo preferido indica que já foi concluído $75\%$ da transferência total. Se o ficheiro completo ocupa um espaço de $40$ GB, quantos gigabytes já foram transferidos?

O teu telemóvel indica que ainda resta $12\%$ de bateria. Se a capacidade total da bateria é de $4500$ mAh (miliamperes-hora), quantos mAh de energia restam exatamente no dispositivo?

Num inquérito realizado na sua turma do 7.º ano, $18$ dos $30$ alunos confirmaram que preferem cinema de terror a cinema de comédia. Calcule a percentagem de alunos que preferem cinema de terror.

Calcule, raciocinando em cada passo:

1. a) $200\%$ de $45$. (Pensa: $200\%$ de uma quantidade é o seu dobro.)
2. b) $150\%$ de $60$.
3. c) $0,5\%$ de $800$.
4. d) $300\%$ de $12$.

Para calcular $25\,\%$ de $180\text{ €}$, três colegas de turma propõem caminhos diferentes:

• A Alba diz: «Eu divido $180$ por $4$, porque $25\,\%$ equivale à quarta parte do total».

• O Bruno diz: «Eu multiplico $180$ por $0{,}25$, que é a representação decimal da razão $\dfrac{25}{100}$».

• A Carla diz: «Eu calculo primeiro $10\,\%$ de $180$, dobro-o para obter $20\,\%$ e somo-lhe a metade de $10\,\%$ para completar os $25\,\%$.»

1. a) Verifica que os três métodos dão exatamente o mesmo resultado, realizando as operações propostas por cada um.
2. b) Se tivesses de fazer o cálculo de cabeça, sem usar lápis nem papel, qual dos três métodos escolherias? Explica por que razão te parece o mais ágil.
3. c) Se o desconto não fosse de $25\,\%$, mas sim de $17\,\%$, e pudesses usar calculadora, qual das três abordagens seria a mais direta e eficaz? Justifica a tua resposta.

Numa loja de desporto do teu bairro, uma mochila escolar custa $49{,}90\text{ €}$ e tem um desconto de $15\,\%$.

1. a) Antes de realizares qualquer cálculo no papel, faz uma estimativa mental do dinheiro que te vão descontar: arredonda o preço às dezenas mais próximas e obtém mentalmente os $10\,\%$ e a metade desse valor para os $5\,\%$. Entre que dois números inteiros de euros se encontrará o desconto?
2. b) Calcula o preço final exato da mochila aplicando o fator multiplicativo de desconto correspondente: $\left(1 - \dfrac{15}{100}\right)$.
3. c) Compara o teu resultado exato com a estimativa que realizaste na alínea a). O resultado final é razoável? Justifica por que razão estimar previamente o resultado nos ajuda a detetar possíveis enganos ao pagar na caixa.

Na votação para escolher as atividades do festival da escola, participaram $1200$ alunos. $65\%$ escolheu o torneio de desporto e o restante preferiu a oficina de robótica. Quantos alunos votaram na oficina de robótica?

Para organizar a viagem de fim de ano, os alunos do 7.º ano venderam bilhetes de uma rifa. Se já venderam $360$ bilhetes, o que representa $75\%$ do total que tinham, quantos bilhetes tinham no total para vender? Quantos ainda faltam vender?

Numa prova de matemática de escolha múltipla com $40$ questões, um aluno respondeu corretamente a $28$ questões, errou $8$ e deixou $4$ em branco. Calcule a percentagem de respostas corretas, a de erros e a de questões não respondidas sobre o total. Verifique se a soma das três percentagens é $100\%$.

A bateria do tablet da Beatriz tem uma capacidade total de $5000$ mAh. Se depois de jogar um pouco ao "Roblox" ainda lhe resta $18\%$ de bateria, quantos mAh de energia ainda lhe restam? Que percentagem da bateria já consumiu?

Um videojogo de aventura ocupa $12$ GB na memória de uma consola. Se o sistema indica que esse jogo ocupa $15\%$ da memória total disponível, quantos GB de capacidade tem a memória da consola no total?

A Marta enviou um vídeo para o "TikTok". Nas primeiras duas horas, conseguiu $180$ "gostos". Se ela sabe que $12\%$ das pessoas que veem o vídeo dão "gosto", quantas visualizações teve o vídeo no total durante essas duas horas?

Um bairro tinha $1\,200$ moradores há dez anos e hoje tem $3\,000$.

1. a) Em quantos moradores a população aumentou?
2. b) Que percentagem de aumento isso representa em relação aos moradores que havia há dez anos? É uma percentagem maior ou menor que $100\%$? Interprete o resultado.

As percentagens também podem ser menores que $1\%$:

1. a) Um soro fisiológico contém $0,9\%$ de sal. Quantos gramas de sal há numa bolsa de $500$ g de soro?
2. b) Um lote de $2\,000$ kg de farinha tem $0,05\%$ de impurezas. Quantos quilogramas de impurezas contém?

Num inquérito realizado na escola sobre o uso de redes sociais, $45\%$ dos alunos prefere o Instagram, $35\%$ prefere o TikTok e os 48 alunos restantes escolhem outras plataformas. Quantos alunos há no total na escola? Quantos deles preferem o Instagram?

Nas eleições para o conselho da escola, a candidata A obteve $30\%$ dos votos, o candidato B obteve $25\%$ e o candidato C recebeu o resto dos votos. Se o candidato C ganhou com 28 votos a mais do que o candidato B, quantos alunos votaram no total? Quantos votos recebeu cada candidato?

O número de sócios de um clube de leitura juvenil aumentou este ano $150\%$ em relação ao ano passado, quando havia $24$ sócios.

1. a) Um aluno diz: «aumentar $150\%$ significa que agora há $150$ sócios». Explique o erro dele.
2. b) Calcule quantos sócios há agora. Lembre-se: aumentar $150\%$ significa somar ao número inicial o seu $150\%$.
3. c) Se no próximo ano o clube quiser chegar a triplicar os sócios do ano passado, que percentagem de aumento é necessária em relação ao ano passado?

Ténis desportivos que custavam $60$ euros têm hoje um desconto de $15\%$. Quantos euros se poupa ao comprá-los hoje? Qual é o preço final que pagará por eles?

Numa loja de ténis de moda, um modelo que custa $85 \text{ €}$ tem um desconto de $20\%$. No entanto, por ser o último dia de saldos, aplicam um desconto adicional de $10\%$ sobre o preço já com desconto. Qual é o preço final dos ténis? É o mesmo que aplicar um único desconto de $30\%$? Justifica a resposta calculando ambos os casos.

Um serviço de streaming de filmes custa $9,99 \text{ €}$ por mês. Se decidires pagar o ano completo de uma vez, oferecem-te um desconto de $15\%$. No entanto, este mês há uma promoção especial e, sobre esse preço anual já com desconto, descontam outros $10 \text{ €}$ fixos. Quanto vais poupar no total ao ano se aproveitares ambas as ofertas, comparado com pagar mês a mês?

O armazenamento de um telemóvel é de $128 \text{ GB}$. O sistema operativo ocupa $12,5\%$ do total. Se o Álex já ocupou $60\%$ do espaço livre que restava, quantos Gigabytes ainda tem disponíveis para instalar novas aplicações?

Num teatro com capacidade para $750$ pessoas, hoje ficaram por vender $12\%$ dos bilhetes. Dos bilhetes vendidos, $65\%$ foram para adultos e os restantes para menores de 18 anos. Quantos menores de 18 anos assistiram hoje ao espetáculo no teatro?

Uma marca de refrigerantes decidiu reduzir o conteúdo de açúcar da sua bebida principal. Antes, uma lata de $330 \text{ ml}$ continha $35 \text{ g}$ de açúcar. Agora lançaram uma versão com uma redução do açúcar de $40\%$ e, além disso, aumentaram o tamanho da lata em $10\%$.

1. Quantos gramas de açúcar tem a nova lata?

2. Que percentagem de açúcar representa o peso do açúcar sobre o volume total na nova lata? (Considera $1 \text{ ml} = 1 \text{ g}$ para o refrigerante).

Numa livraria juvenil de Coimbra, uma banda desenhada tinha um determinado preço inicial. Por ocasião do Dia do Livro, foi-lhe aplicado um desconto de $15\,\%$. Duas semanas depois, perante o esgotamento da tiragem, a loja aumentou em $15\,\%$ o preço já com desconto, ficando fixado num preço definitivo de $19{,}55\text{ €}$.

1. a) Um cliente garante que a banda desenhada voltou a custar o mesmo que no início porque «descer $15\,\%$ e depois subir $15\,\%$ anula a alteração». Explica detalhadamente por que razão este raciocínio está incorreto utilizando os conceitos de base de referência e fatores de variação.
2. b) Escreve uma expressão matemática que relacione o preço original desconhecido ($P$) com o preço final através dos fatores multiplicativos correspondentes, e calcula o preço que a banda desenhada tinha antes de qualquer desconto.
3. c) Calcula a variação percentual real global que o preço da banda desenhada sofreu entre o valor inicial e o preço final de $19{,}55\text{ €}$.

Um hipermercado apresenta duas promoções diferentes para a mesma marca de azeite, cujo preço original é de $8\text{ €}$ por garrafa:

• Promoção A: «Pague 2, Leve 3: leva 3 garrafas e paga apenas 2».

• Promoção B: «Segunda unidade com $70\,\%$ de desconto» (por cada duas garrafas adquiridas, a segunda tem $70\,\%$ de desconto).

1. a) Se uma família tem previsto comprar um lote de 6 garrafas:

• Modela e calcula o custo total e a percentagem de desconto global que se obtém com a Promoção A sobre o valor original das 6 garrafas.

• Modela e calcula o custo total e a percentagem de desconto global que se obtém com a Promoção B sobre o valor original das 6 garrafas.

1. b) Justifica de forma fundamentada qual das duas promoções é mais económica para adquirir as 6 garrafas.
2. c) Se um consumidor for à loja com a intenção de adquirir apenas 2 garrafas e o estabelecimento não permitir acumular promoções, qual é a percentagem real de desconto por garrafa que se aplicaria com cada uma das duas opções? Justifica qual lhe convém nesse caso.

De acordo com o balanço elétrico peninsular da Red Eléctrica de España, num dia de inverno a procura energética total foi de $650\text{ GWh}$ (gigawatts-hora). Desta procura, $60\,\%$ foi coberta por energias renováveis. Além disso, dentro do conjunto da produção renovável desse dia, $65\,\%$ correspondeu à produção eólica graças a um temporal de vento.

1. a) Modela a situação através de operações encadeadas com percentagens e calcula quantos $\text{GWh}$ de energia renovável foram gerados no total durante esse dia.
2. b) Determina quantos $\text{GWh}$ foram fornecidos especificamente pelos aerogeradores eólicos.
3. c) Que percentagem representou a energia eólica sobre a procura energética total do país nesse dia? Deduz esta percentagem final operando diretamente com as taxas percentuais, sem necessidade de recorrer aos valores em $\text{GWh}$.

O preço de um computador portátil numa loja é de $450$ € sem incluir impostos. Se for necessário aplicar $21\%$ de IVA (Imposto sobre o Valor Acrescentado), qual será o preço final a pagar pelo computador portátil?

O Marcos comprou um teclado para o seu computador por $121\text{ €}$, preço que já inclui os $21\,\%$ de IVA. Para averiguar quanto dinheiro corresponde ao IVA e quanto ao preço original do produto (base tributável), faz a seguinte operação:

Por isso, o Marcos conclui que o teclado custava sem IVA $121 - 25{,}41 = 95{,}59\text{ €}$.

1. a) Encontra o erro concetual cometido pelo Marcos. Sobre que quantia se aplicam os $21\,\%$ de IVA: sobre o preço original ou sobre o preço final faturado?
2. b) Verifica o que aconteceria se o preço sem IVA fosse realmente $95{,}59\text{ €}$ e lhe aplicasses um aumento de $21\,\%$. Obtêm-se os $121\text{ €}$ iniciais?
3. c) Corrige o cálculo do Marcos utilizando a divisão pelo fator multiplicativo correspondente para determinar o preço real do teclado antes de impostos e o valor exato do IVA.

João comprou um computador para jogar os seus jogos de vídeo favoritos. O preço final que pagou, incluindo o $21\%$ de IVA, foi de $1452 \text{ €}$. O seu amigo diz-lhe que o computador custava $1200 \text{ €}$ antes dos impostos. O seu amigo tem razão? Realize os cálculos necessários para encontrar o preço base (sem IVA) do computador.

Desafio do tema. Imagina que organizas uma refeição saudável para a tua turma. Vais elaborar uma proposta de orçamento utilizando uma folha de cálculo ou o GeoGebra com dados reais.

1. Recolha de dados e razão: Consulta o site de um supermercado e anota o preço de $3$ ingredientes (por exemplo, um pacote de $1,5$ kg de arroz, legumes e fruta). Calcula a razão custo por quilograma e o custo unitário por dose.

2. Proporcionalidade direta e percentagens: Modela na folha de cálculo o custo da refeição em função do número de comensais ($4$, $8$ e $12$ pessoas). Aplica ao carrinho um cupão de desconto de $15\,\%$ e adiciona depois os $10\,\%$ de IVA reduzido.

3. Proporcionalidade inversa: O aluguer da cozinha comunitária tem um preço fixo de $60$ €. Noutra tabela, calcula quanto deve pagar cada participante consoante vão $2$, $4$, $6$ ou $12$ pessoas. Representa o gráfico desta relação.

4. Proposta final: Redige um relatório breve comparando o custo final por pessoa consoante o grupo e explica como influencia a divisão dos custos fixos.

Será valorizado:

• Identificação correta e cálculo preciso de razões e percentagens.

• Distinção e modelação matemática adequada da proporcionalidade direta e inversa.

• Utilização rigorosa de ferramentas digitais (tabela e gráfico) e dados reais.

• Clareza e justificação fundamentada nas conclusões do relatório.