Proporcionalidade inversa

Indique se cada par de grandezas é diretamente proporcional, inversamente proporcional ou nenhuma das duas coisas:

1. a) A velocidade de um ciclista e o tempo que demora a chegar.
2. b) Os quilos de morangos comprados e o valor pago.
3. c) O número de pessoas que colhem uma horta e o tempo que demoram.
4. d) A idade de uma árvore e a sua altura.

Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando a resposta:

1. a) Se ao aumentar uma grandeza a outra diminui, as duas grandezas são inversamente proporcionais.
2. b) Se duas grandezas são inversamente proporcionais, ao duplicar uma delas a outra reduz-se para metade.
3. c) A idade de uma mãe e a idade da sua filha são grandezas inversamente proporcionais.
4. d) Se duas grandezas inversamente proporcionais tomam os valores $(3, 20)$, também podem tomar os valores $(5, 12)$.

Verifique se as grandezas destas tabelas são inversamente proporcionais calculando o produto de cada par de valores:

a)

$x$	$2$	$3$	$4$	$6$
$y$	$18$	$12$	$9$	$6$

b)

$x$	$2$	$3$	$4$	$5$
$y$	$30$	$20$	$15$	$10$

Complete a tabela sabendo que as grandezas são inversamente proporcionais:

Operários	$2$	$4$	$6$	$3$
Dias	$12$	$6$

1. a) Quantos dias levam $6$ operários?
2. b) Quantos dias levam $3$ operários?
3. c) Quantos dias levaria $1$ operário?

Uma torneira que jorra $120$ litros por minuto enche uma piscina em $15$ horas.

1. a) Quanto tempo levará outra torneira que jorra $200$ litros por minuto a enchê-la?
2. b) Qual é o volume da piscina, em litros? Justifique por que razão não é necessário sabê-lo para responder à alínea a).

Cinco torneiras iguais enchem um tanque em $8$ horas. Vamos calcular passo a passo:

1. a) Se houvesse apenas $1$ torneira, quantas horas levaria? (Pensa: uma única torneira trabalha $5$ vezes menos.)
2. b) E se houvesse $10$ torneiras?

O tanque da piscina municipal de uma vila enche-se habitualmente em $12\ \text{horas}$ utilizando $3$ bocas de rega idênticas ligadas à rede geral. Devido a trabalhos de manutenção antes do verão, uma das bocas está avariada, pelo que o enchimento tem de ser realizado utilizando apenas $2$ bocas com o mesmo caudal.

1. a) Antes de calculares: deduz se o tempo necessário será maior ou menor que $12\ \text{horas}$. Achas que chegará a duplicar e demorará $24\ \text{horas}$ ou mais? Escreve uma estimativa aproximada e justificada do intervalo de tempo no qual esperas encontrar a solução.
2. b) Realiza o cálculo formal aplicando a proporcionalidade inversa para descobrires o tempo exato que a piscina demorará a encher com as $2$ bocas disponíveis.
3. c) Compara o valor obtido com a tua estimativa inicial e explica se o resultado final é coerente.

Um grupo de $6$ operários demora $10$ dias a reparar a pista de um parque.

1. a) Quantos dias demorariam $4$ operários a trabalhar ao mesmo ritmo?
2. b) Quantos operários são necessários para terminar a pista em $5$ dias?

Uma equipa de $4$ pedreiros demora $18$ dias a construir o muro perimetral de um pavilhão desportivo municipal. Para terminar mais cedo, o encarregado da obra decide incorporar mais $2$ pedreiros com o mesmo ritmo de trabalho, totalizando $6$ pedreiros.

João, um dos serventes, formula a seguinte regra de três para calcular a duração da obra:

$$4\ \text{pedreiros} \longrightarrow 18\ \text{dias}$$ $$6\ \text{pedreiros} \longrightarrow x\ \text{dias}$$ $$x = \frac{6 \cdot 18}{4} = 27\ \text{dias}$$

1. a) Sem fazeres operações numéricas complexas, explica por que razão a resposta de João não faz sentido do ponto de vista da realidade.
2. b) Que erro conceptual cometeu o João ao definir a proporção?
3. c) Corrige o cálculo e encontra o número exato de dias que os $6$ pedreiros demorarão, utilizando a constante de proporcionalidade inversa (o produto constante).

Um autocarro que circula a $60\ \text{km/h}$ leva $45$ minutos para fazer o seu percurso completo.

1. a) Quanto tempo levaria a circular a $90\ \text{km/h}$?
2. b) A que velocidade deveria circular para completar o percurso em $30$ minutos?

Um carro que viaja a $90\ \text{km/h}$ leva $4$ horas para ir de uma cidade a outra. Para saber quanto tempo levaria a $120\ \text{km/h}$, um aluno montou uma regra de três direta e obteve $5,\widehat{3}$ horas.

1. a) Explique qual foi o erro que ele cometeu.
2. b) Calcule o tempo correto a $120\ \text{km/h}$.
3. c) A que velocidade deveria ir para demorar apenas $3$ horas?

O gráfico mostra os dias que várias equipas de pintores levam a pintar uma mesma casa de acordo com o número de pintores da equipa.

1. a) Quantos dias leva uma equipa de $4$ pintores? E uma de $2$?
2. b) Quantos pintores são necessários para pintar a casa em $6$ dias?
3. c) Multiplique, para cada ponto do gráfico, o número de pintores pelos dias que levam. O que se observa? Que tipo de proporcionalidade existe entre as duas grandezas?

Numa quinta há ração para alimentar $20$ cavalos durante $30$ dias.

1. a) Para quantos cavalos a mesma ração duraria $25$ dias?
2. b) Se a quinta comprar mais $10$ cavalos, quantos dias durará a ração?

Num acampamento há comida preparada para $12$ campistas comerem durante $15$ dias.

1. a) No primeiro dia chegam mais $3$ campistas. Para quantos dias terá o grupo comida?
2. b) Se, em vez de chegar gente, fossem embora $2$ campistas antes de começar, quantos dias duraria a comida?

Num albergue de peregrinos do Caminho de Santiago existem mantimentos na despensa para alimentar $30$ pessoas durante $12$ dias à razão de uma refeição completa por pessoa e por dia. Inesperadamente, chega um grupo de mais $10$ peregrinos (passando a ser $40$ pessoas no total). A hospitaleira quer saber para quantos dias chegarão os mantimentos se for mantido o tamanho das doses.

Dois voluntários propõem caminhos distintos para o calcular:

• Método 1 (Redução à unidade): Descobrir primeiro quantos dias duraria essa mesma comida se no albergue houvesse uma única pessoa e, a partir daí, calcular os dias para $40$ pessoas.

• Método 2 (Constante de proporcionalidade inversa): Calcular o total acumulado de refeições ($30 \cdot 12$) e propor a equação $40 \cdot x = 360$.

1. a) Resolve o problema aplicando o Método 1. Que significado real tem a quantidade que obténs no passo intermédio ao calcular a duração para um único peregrino?
2. b) Resolve o problema aplicando o Método 2 e verifica que se obtém o mesmo resultado.
3. c) Se, em vez de chegarem $10$ pessoas, tivessem chegado apenas $3$ (passando a $33$ peregrinos no total), qual dos dois métodos seria mais prático para operar com frações simplificadas e evitar dízimas infinitas? Justifica a tua escolha.

Uma equipa de $12$ operários pode terminar uma obra em $20$ dias, trabalhando todos ao mesmo ritmo.

1. a) Quantos dias levariam $8$ operários?
2. b) A obra começa com os $12$ operários, mas, após $5$ dias de trabalho, $4$ operários vão para outra obra. Quantos dias a mais precisarão os $8$ restantes para a terminar?
3. c) Quantos dias durou a obra no total?

Um tanque enche em $6$ horas se $3$ torneiras iguais forem abertas ao mesmo tempo.

1. a) Quanto tempo demoraria a encher com apenas uma torneira?
2. b) As $3$ torneiras são abertas, mas às $2$ horas uma delas avaria e deixa de funcionar. Quantas horas a mais vão demorar as $2$ torneiras restantes a acabar de encher o tanque?
3. c) Quantas horas demorou o tanque, no total, a encher?

Após uma forte tempestade na costa cantábrica, uma equipa municipal constituída por $6$ operários demora $8\ \text{horas}$ completas a recolher as algas e os plásticos acumulados numa praia.

O regulamento de segurança e marés do município exige que a jornada contínua de limpeza nessa zona não ultrapasse em caso algum as $5\ \text{horas}$ diárias.

1. a) Justifica por que razão o número de operários e o tempo de limpeza são grandezas inversamente proporcionais e calcula a constante de proporcionalidade inversa, indicando que unidades tem e o que representa neste contexto real.
2. b) Para concluir o trabalho numa única jornada cumprindo rigorosamente o limite máximo de $5\ \text{horas}$, qual é o número mínimo de operários que o município deve contratar? Tem em conta que a equipa tem de ser composta por pessoas inteiras.
3. c) Se, no final, o município só conseguir mobilizar $9$ operários, quanto tempo exato demorarão na limpeza? Apresenta o resultado discriminado em horas e minutos inteiros.

Duas rodas dentadas estão engrenadas: quando uma gira, obriga a outra a girar. A roda grande tem $36$ dentes e dá $12$ voltas completas.

1. a) Se a roda pequena tem $16$ dentes, quantas voltas dá no mesmo tempo?
2. b) Porque é que o número de dentes e o número de voltas são grandezas inversamente proporcionais? Que produto permanece constante?
3. c) Se quiséssemos que a roda pequena desse $72$ voltas, quantos dentes deveria ter?

Num aerogerador de um parque eólico do Alentejo, as pás exteriores rodam devagar, pelo que se utiliza um multiplicador de velocidade com duas rodas dentadas engrenadas para acionar o alternador elétrico. A roda motriz tem $90\ \text{dentes}$ e roda a uma velocidade constante de $16\ \text{rpm}$ (rotações por minuto). A roda movida tem menos dentes, pelo que roda com maior rapidez.

1. a) Justifica matematicamente por que razão o número de dentes de uma roda e a sua velocidade de rotação (em $\text{rpm}$) são grandezas inversamente proporcionais, explicando que grandeza física permanece constante no ponto de contacto entre ambas as rodas durante um minuto.
2. b) Para que o alternador comece a injetar eletricidade na rede elétrica, a roda movida deve rodar, no mínimo, a $60\ \text{rpm}$. Qual é o número máximo de dentes que essa roda movida pode ter?
3. c) Por motivos de segurança e resistência térmica, a roda movida nunca deve ultrapassar as $100\ \text{rpm}$. O catálogo de peças sobresselentes do parque dispõe de rodas dentadas padrão de $12$, $18$ e $24$ dentes. Analisa quais desses três modelos cumprem simultaneamente os dois requisitos técnicos (velocidade mínima de $60\ \text{rpm}$ e máxima de $100\ \text{rpm}$) e justifica qual deles deve ser instalado se o objetivo for obter a velocidade máxima possível dentro dos limites de segurança.

Uma avó quer repartir $180\ \text{€}$ entre os seus três netos, de $2$, $3$ e $6$ anos, de forma inversamente proporcional às suas idades (para que o mais novo receba mais).

1. a) Repartir de forma inversamente proporcional às idades é repartir de forma diretamente proporcional a $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$ e $\frac{1}{6}$. Calcule a soma dessas três frações.
2. b) Que fração do total corresponde a cada neto?
3. c) Calcule quantos euros cada um recebe e verifique se a soma é $180\ \text{€}$.

Uma fundação desportiva distribui uma bolsa monetária de $1300\ \text{€}$ pelos três melhores atletas de uma corrida escolar. Para premiar o mérito, o dinheiro é distribuído de forma inversamente proporcional ao tempo em minutos que cada corredor demorou a cruzar a meta.

O primeiro classificado demorou $20\ \text{minutos}$ e o segundo classificado demorou $30\ \text{minutos}$. No entanto, o dorsal com chip do terceiro classificado soltou-se durante a corrida e o seu tempo exato não ficou registado no sistema informático. Na ata oficial de entrega dos prémios consta que o primeiro classificado recebeu exatamente $600\ \text{€}$.

1. a) A partir do prémio obtido pelo primeiro classificado, calcula a constante de proporcionalidade ($k$) e descobre quanto dinheiro recebeu o segundo classificado.
2. b) Deduz que quantia de dinheiro sobrou do valor total de $1300\ \text{€}$ para atribuir ao terceiro classificado.
3. c) Formula a equação correspondente e reconstitui o tempo exato (em minutos) que o terceiro classificado demorou a completar a prova.