Contagem sistemática

Tabelas de dupla entrada

Quando uma experiência tem duas etapas, cada resultado é um par: o que sai na primeira etapa e o que sai na segunda. Uma tabela de dupla entrada organiza todos os pares: as linhas correspondem à primeira etapa e as colunas à segunda. Cada célula é um resultado possível.

Voltemos ao Tomás. Bebidas nas linhas, pastéis nas colunas:

Há $2 \times 2 = 4$ pedidos possíveis. Cada célula é um pedido e nenhum se repete.

Porquê? Cada uma das $m$ linhas tem exatamente $n$ células, por isso o total é $m$ vezes $n$.

Diagramas em árvore

Quando há duas ou mais etapas, o diagrama em árvore mostra as escolhas passo a passo. Cada ramo é uma escolha. Cada caminho do início até ao fim da árvore é um resultado.

Na cantina, o Dinis escolhe uma sopa (tomate ou legumes) e um prato (peixe ou carne):

Quatro caminhos, quatro ementas. Com mais uma etapa (sobremesa: fruta ou iogurte), cada caminho divide-se em mais 2 ramos: $2 \times 2 \times 2 = 8$ ementas.

Com e sem reposição

Num saco há três berlindes: vermelho (V), azul (A) e branco (B). Tiras dois, um de cada vez. O resultado depende de voltares ou não a pôr o primeiro no saco.

• Com reposição: repões o primeiro berlinde. A segunda extração tem as mesmas 3 hipóteses. Há $3 \times 3 = 9$ resultados.

• Sem reposição: não o repões. Na segunda extração só restam 2 berlindes. Há $3 \times 2 = 6$ resultados.

Tabela sem reposição (primeiro berlinde nas linhas, segundo nas colunas):

As células da diagonal estão vazias: seria preciso tirar duas vezes o mesmo berlinde, o que é impossível se o primeiro não volta ao saco. Com reposição, a diagonal teria os pares (V,V), (A,A) e (B,B).

Contar com as tabelas: somas e padrões

Tabela das somas de dois dados (azul nas linhas, vermelho nas colunas):

Distingue duas perguntas:

• Quantos resultados possíveis? São os pares: $6 \times 6 = 36$.

• Quantas somas diferentes? Vão de 2 a 12: são 11 valores.

A soma 7 aparece 6 vezes (a diagonal secundária), mais do que qualquer outra. A soma 2 só aparece 1 vez, no par (1,1).

Podes usar a tabela para somar probabilidades. Cada um dos 36 pares tem a mesma probabilidade, $\frac{1}{36}$. A probabilidade de um acontecimento com vários resultados é a soma das probabilidades dos resultados que o compõem. Assim, $P(\text{«soma 7»}) = P(1,6)+P(2,5)+P(3,4)+P(4,3)+P(5,2)+P(6,1) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$. Os 6 pares com soma 7 são os casos favoráveis e os 36 pares são os casos possíveis. Esta contagem só é válida se todos os pares forem igualmente prováveis, como acontece com dois dados equilibrados.

Em resumo

• Numa experiência com duas etapas, cada resultado é um par ordenado. A tabela de dupla entrada lista todos os pares.

• O diagrama em árvore mostra as escolhas etapa a etapa: cada caminho é um resultado.

• O número total de resultados é o produto do número de hipóteses de cada etapa: $n_1 \times n_2 \times \dots$

• Com reposição: as etapas têm sempre as mesmas hipóteses. Sem reposição: a segunda etapa tem menos uma hipótese (a diagonal da tabela fica vazia).

• Distingue "quantos resultados" (pares) de "quantos valores diferentes" (por exemplo, somas de 2 a 12).

• De volta ao início: o Tomás tem $2 \times 2 = 4$ pedidos diferentes.