Operações com números decimais

Numa loja de acessórios para telemóveis, o João quer comprar uma capa que custa $12,45$ € e uma película protetora para ecrã que custa $8,90$ €. Se o João pagar com uma nota de $50$ €, quanto dinheiro lhe devolverão na caixa?

Copie e complete as seguintes igualdades colocando o número decimal que falta para que a operação seja correta:

1. a) $15,45 + \dots = 20$
2. b) $7,2 - \dots = 4,55$
3. c) $\dots \cdot 3 = 12,9$

A Sofia tem uma ripa de madeira de $14,2\text{ m}$ e precisa de cortar um pedaço de $3,75\text{ m}$ para construir uma estante. Para calcular quanta madeira lhe sobra, dispõe a subtração $14,2 - 3,75$ na vertical e afirma que o resultado é $11,55\text{ m}$, fundamentando da seguinte maneira: «na coluna das centésimas, como em cima não há nada, baixo diretamente o $5$; nas décimas subtraio o algarismo maior menos o menor, $7 - 2 = 5$; e nas unidades subtraio $14 - 3 = 11$».

1. a) Identifica e explica os dois erros conceptuais cometidos pela Sofia relacionados com o valor posicional dos algarismos e a operação de subtrair.
2. b) Explica por que razão é imprescindível acrescentar zeros à direita da parte decimal do aditivo antes de operar.
3. c) Dispõe corretamente a operação em coluna e calcula o comprimento exato de ripa que resta à Sofia.

Três amigos decidem lanchar juntos. Compram um pack de refrigerantes por $4,85$ €, um saco de batatas fritas de tamanho familiar que custa $2,30$ € e uma caixa de bolinhos por $5,45$ €. Se pagarem com uma nota de $20$ €, quanto dinheiro sobrou para comprarem rebuçados à saída?

Vais à mercearia do teu bairro com uma única nota de $15\text{ €}$ e colocas no cesto os seguintes artigos:

• $1$ pacote de café por $3,95\text{ €}$,

• $2$ pacotes de leite a $1,05\text{ €}$ cada um,

• $1$ carcaça artesanal por $0,98\text{ €}$ e

• $3$ pacotes de bolachas a $1,99\text{ €}$ cada um.

1. a) Antes de fazeres qualquer conta escrita com decimais, faz uma estimativa mental arredondando o preço de cada artigo à unidade inteira de euro mais próxima. Com essa estimativa, avalia se terás dinheiro suficiente com a nota de $15\text{ €}$ para pagar a compra.
2. b) Efetua agora as operações exatas em coluna passo a passo para calcular o montante total registado na caixa.
3. c) Verifica se a tua estimativa inicial foi acertada, calcula quanto dinheiro exato te sobra ou te falta e reflete sobre em que situações do quotidiano é útil estimar antes de calcular.

Calcule mentalmente estas operações utilizando a unidade seguida de zeros. Lembre-se de deslocar a vírgula para o lado correto conforme se multiplique ou se divida:

1. a) $34,57 \cdot 10$
2. b) $0,23 \cdot 100$
3. c) $458,2 : 10$
4. d) $12,5 : 1000$

Marta foi à frutaria e comprou $2,5$ kg de maçãs a um preço de $1,80$ € o quilo. Ao chegar a casa, apercebeu-se de que uma das maçãs estava em mau estado e decidiu devolvê-la. Se a maçã pesava $0,25$ kg, quanto dinheiro devem devolver a Marta?

Uma atleta está a treinar numa pista circular. Cada volta na pista tem um comprimento de $0,45$ km. Se hoje ela completou um total de $12$ voltas, quantos quilómetros percorreu no total? Se o seu objetivo era percorrer $6,3$ km, quantas voltas a mais ela deveria ter dado?

Numa oferta de "Regresso às Aulas", um pacote de $5$ cadernos custa $8,25$ €, enquanto, se forem comprados avulso, cada um custa $1,80$ €.

Qual é a poupança total se decidirmos comprar $15$ cadernos utilizando a oferta dos pacotes em vez de os comprar separadamente?

Para fazer uma receita de culinária, precisamos de dividir um pacote de farinha de $1,5$ kg em $6$ porções exatamente iguais para fazer queques. Quantos quilogramas de farinha pesará cada porção? Exprime o resultado também em gramas.

Um grupo de $4$ amigos vai ao cinema. O total dos bilhetes e das pipocas foi de $45,80$ €. Se todos decidiram pagar a mesma quantia, quanto dinheiro deve cada um pôr? Se um deles tem apenas uma nota de $10$ € e uma moeda de $2$ €, terá dinheiro suficiente?

Uma bobina de filamento para uma impressora 3D pesa exatamente $1,25$ kg. Se para fabricar uma peça pequena são utilizados $0,015$ kg de plástico, quantas peças completas podem ser fabricadas com uma única bobina? Que quantidade de filamento sobrará no final?

Um corredor de maratona completou uma etapa de $15,6$ km numa hora e meia ($1,5$ horas).

1. a) Qual foi a sua velocidade média em km/h?
2. b) Se mantiver a mesma velocidade, quantos quilómetros percorrerá em $2,25$ horas?

Realize as seguintes operações combinadas respeitando a hierarquia das operações (parênteses, multiplicações/divisões e finalmente somas/subtrações):

1. a) $4,5 + 2,1 \cdot 3$
2. b) $(12,8 - 3,4) : 2$
3. c) $5 \cdot 0,25 + 1,75$

A Matilde quer descarregar três ficheiros de jogos na sua consola. O primeiro ocupa $4,35$ GB, o segundo o dobro do primeiro, e o terceiro $1,2$ GB a menos do que o segundo. Se a ligação descarrega a uma velocidade constante de $0,05$ GB por segundo, quantos segundos demorará a concluir a transferência dos três ficheiros?

Calcule o resultado das seguintes operações combinadas respeitando a hierarquia das operações:

1. a) $12,5 + 3,8 \cdot (6,4 - 2,15)$

1. b) $(15,4 + 8,6) : 2,5 - 1,02 \cdot 4$

Uma câmara municipal quer vedar um parque retangular que mede $25,4$ metros de comprimento e $12,75$ metros de largura. O preço da vedação é de $15,20$ € por cada metro linear. Se o orçamento total disponível é de $1\,200$ €, há dinheiro suficiente para vedar todo o parque? Justifique a sua resposta com os cálculos necessários.

Uma empresa de entregas cobra uma taxa fixa de $4,50$ € por envio, mais $0,85$ € por cada quilograma de peso do pacote. Se quisermos enviar um pacote que pesa $3,4$ kg e aplicarmos um cupão de desconto de $1,25$ € sobre o preço final, quanto nos custará o envio? Escreve a expressão com operações combinadas e resolve-a.

No talão de compra de uma frutaria apagou-se uma parte devido a uma mancha de humidade. Os únicos dados legíveis com clareza são os seguintes:

• Maçãs: $3,5\text{ kg}$ a um preço desconhecido por quilograma.

• Bananas: $1,2\text{ kg}$ a $1,85\text{ €/kg}$.

• Pagamento entregue na caixa: uma nota de $20\text{ €}$.

• Troco exato recebido: $11,48\text{ €}$.

1. a) Utiliza o método das operações inversas: calcula primeiro a despesa total da compra e, subtraindo o valor correspondente às bananas, determina quanto dinheiro custaram no total as maçãs.
2. b) A partir do custo total das maçãs, resolve a divisão com decimais necessária para descobrires o preço exato de um quilograma de maçãs.
3. c) Reconstrói a conta completa no sentido direto para verificares que todas as operações e o troco recebido estão corretos.

Numa estação meteorológica do IPMA situada no concelho de Manteigas (Guarda) registaram-se os seguintes dados de precipitação durante quatro dias consecutivos:

• Segunda-feira: recolheram-se $16,5\text{ l/m}^2$.

• Terça-feira: choveu $4,2\text{ l/m}^2$ menos do que na segunda-feira.

• Quarta-feira: a chuva foi igual a $1,2$ vezes a quantidade registada na terça-feira mais um contributo de tempestade de $0,84\text{ l/m}^2$.

• Quinta-feira: registou-se exatamente a média aritmética do que choveu nos três dias anteriores.

1. a) Modela a situação expressando e calculando passo a passo a quantidade exata de chuva recolhida em cada um dos quatro dias (mostra com clareza a colocação da vírgula decimal em cada cálculo).
2. b) Calcula a precipitação total acumulada ao longo dos quatro dias.
3. c) Se cada litro por metro quadrado registado nessa bacia hidrográfica contribui com um volume direto de $10\,000\text{ m}^3$ de água para uma albufeira próxima, calcula quantos metros cúbicos de água entraram no total na albufeira durante esses quatro dias aplicando a regra para multiplicar por potências de $10$.

Calcule o resultado da seguinte operação combinada, respeitando rigorosamente a hierarquia das operações e trabalhando com todos os decimais obtidos:

Uma vez obtido o resultado final, aproxime-o por arredondamento aos centésimos e por truncamento aos décimos.

Numa loja de tecnologia, um jogo custa $59,95 €$. Durante a semana da "Black Friday", oferecem um desconto de um quarto do seu valor. Se um adolescente decide comprá-lo e entrega uma nota de $50 €$, calcule:

1. a) O preço final do jogo após aplicar o desconto (arredonde aos cêntimos de euro, se necessário).
2. b) Terá dinheiro suficiente? Se faltar, indique quanto. Se sobrar, indique o troco exato que receberá.

Um agricultor tem um reservatório de água com capacidade total de $1\,250,5$ litros. Devido a uma pequena fissura, o reservatório perde $0,75$ litros por hora. Em simultâneo, uma bomba de água despeja no reservatório $12,4$ litros a cada $15$ minutos. Se neste momento o reservatório contém $840,25$ litros:

Quantos litros haverá no reservatório exatamente após $4$ horas e meia? Exprime o resultado com duas casas decimais.

Observa o rectângulo da figura, de base $b = 12,45 \text{ cm}$ e altura $h = 8,2 \text{ cm}$.

Calcula a sua área e o seu perímetro. Depois, imagina que reduzimos tanto a base como a altura para metade. Qual será a nova área? A área resultante é metade da original ou mudou de outra forma? Justifica a tua resposta realizando as operações necessárias.

Três amigos querem comprar uma subscrição de uma plataforma de streaming que custa $17,99 €$ por mês. Decidem dividir a despesa da seguinte forma: o João pagará metade, a Marta pagará um terço do restante e a Beatriz pagará o que faltar.

Calcule a quantia exata (com todas as suas casas decimais) com que cada um deve contribuir. Se o banco só permite pagar com duas casas decimais, quem deveria assumir o arredondamento do cêntimo restante para que a soma seja exatamente $17,99 €$?

Um carro de Fórmula 1 demorou $1 \text{ minuto}$ e $24,352 \text{ segundos}$ a dar uma volta ao circuito. Se o seu principal rival demorou $84,12 \text{ segundos}$ a realizar o mesmo percurso:

1. a) Qual dos dois foi mais rápido?
2. b) Calcule a diferença de tempo entre ambos, expressa em segundos.
3. c) Se o primeiro carro mantiver o seu ritmo, quanto tempo demorará a dar $15$ voltas completas? Exprima o resultado em minutos e segundos.

Estamos a preparar uma receita que requer $0,250 \text{ kg}$ de farinha para fazer $6$ queques. Se quisermos convidar toda a turma ($28$ alunos) e quisermos que cada um coma $2$ queques:

1. a) Quanta farinha precisaremos no total? Expressa o resultado em quilogramas.
2. b) Se comprarmos pacotes de farinha de $0,75 \text{ kg}$, quantos pacotes teremos de comprar no mínimo? Quanta farinha nos sobrará exatamente?

A tarifa de telemóvel do Alex tem uma taxa fixa de $22,50 €$ por mês. Se ultrapassar os gigas incluídos, cada GB extra custa $0,50 €$, e cada minuto de chamada internacional custa $0,12 €$. Este mês ele realizou $45$ minutos de chamadas internacionais e o custo dos GB extra foi exatamente a quinta parte da taxa fixa:

1. a) Quantos GB extra consumiu?
2. b) Qual é o valor total da fatura antes dos impostos?
3. c) Se ao total for preciso adicionar $21\%$ de IVA (multiplicar por $0,21$ e somar ao total), qual será o preço final da fatura? (Arredonda o resultado final aos cêntimos de euro).

Para uma instalação de telecomunicações numa escola dispõe-se de uma bobina de cabo de rede de $45\text{ m}$ de comprimento. Devem cortar-se troços idênticos de $0,75\text{ m}$ e cada troço será faturado a um preço de $2,40\text{ €}$. Dois alunos propõem métodos diferentes para calcular o dinheiro total que se obterá:

• Método da Alba: Trabalha diretamente em metros e euros com decimais. Primeiro divide $45 : 0,75$ aplicando a regra de multiplicar dividendo e divisor por $100$ ($4500 : 75$) para que o divisor seja inteiro, e depois multiplica o quociente por $2,40$.

• Método do Bruno: Converte previamente todas as quantidades em números inteiros mudando de unidade: passa os $45\text{ m}$ para centímetros ($4500\text{ cm}$), os $0,75\text{ m}$ para centímetros ($75\text{ cm}$) e o preço unitário para cêntimos ($240\text{ cêntimos}$). Resolve as operações com inteiros e no final passa o resultado para euros dividindo por $100$.

1. a) Desenvolve por completo ambos os métodos e comprova que com os dois se chega exatamente ao mesmo montante total.
2. b) Justifica matematicamente por que razão a regra de «retirar as casas decimais ao divisor multiplicando por potências de $10$» equivale, no fundo, à mudança de unidades feita pelo Bruno.
3. c) Supõe agora que os troços necessários deviam medir $0,7\text{ m}$. Ao fazer a divisão inteira equivalente $450 : 7$, obtém-se quociente $64$ e resto $2$. Explica fundamentadamente qual é o comprimento real de cabo que sobra da bobina ($2\text{ m}$, $0,2\text{ m}$ ou $0,02\text{ m}$) e que cuidado deves ter sempre ao interpretar o resto de uma divisão com decimais.

Na fatura mensal de eletricidade de uma habitação em Espanha detalham-se os seguintes conceitos regulados:

• Termo fixo de potência: cobram-se $0,115\text{ €}$ por dia por cada quilowatt ($\text{kW}$) contratado. A habitação tem contratados $4,6\text{ kW}$ e o período faturado é de $30\text{ dias}$.

• Termo de consumo de energia: cobra-se a um preço de $0,148\text{ €}$ por cada quilowatt-hora ($\text{kWh}$) consumido.

• Imposto especial sobre a eletricidade: calcula-se multiplicando o subtotal (a soma do termo de potência com o termo de consumo) pelo fator decimal $0,0511$.

1. a) Modela a fatura calculando o custo exato do termo fixo de potência para os $30$ dias, realizando as multiplicações com todas as suas casas decimais.
2. b) Se o subtotal da fatura desse mês (antes de aplicar o imposto sobre a eletricidade) foi exatamente de $60,27\text{ €}$, formula e resolve as operações inversas necessárias para deduzires quantos $\text{kWh}$ a família consumiu nesse período.
3. c) Calcula o montante do imposto sobre a eletricidade, arredondando o resultado final aos cêntimos de euro (duas casas decimais). De seguida, justifica por que motivo as comercializadoras de eletricidade fixam os preços unitários com três ou mais casas decimais (milésimas de euro, como $0,148\text{ €}$) em vez de os arredondarem desde o início aos cêntimos ($0,15\text{ €}$).