O conjunto dos números inteiros

No dia a dia, utilizamos os números inteiros para expressar situações opostas. Associa um número inteiro (positivo ou negativo) a cada uma das seguintes situações:

1. a) O termómetro da rua marca $4$ graus abaixo de zero.
2. b) Tens uma dívida de $15$ € com um amigo.
3. c) Um mergulhador encontra-se a $20$ metros de profundidade.
4. d) Um avião voa a uma altitude de $8\,500$ metros.
5. e) Ganhaste $50$ pontos num nível do teu videojogo favorito.
6. f) O estacionamento do centro comercial fica na terceira cave.

Dada a seguinte lista de números, classifique-os indicando quais pertencem ao conjunto dos números naturais ($\mathbb{N}$) e quais são números inteiros ($\mathbb{Z}$), mas não naturais:

$$ -7, \quad +5, \quad -12, \quad 0, \quad +10, \quad -1, \quad 45 $$

Um arqueólogo encontra uma moeda num sítio arqueológico. Ao investigar, descobre que foi cunhada no ano $45$ a.C. Se o arqueólogo vive no ano $2024$ d.C., responde:

1. a) Que número inteiro atribuirias a cada data?

1. b) Qual é o simétrico do ano de cunhagem da moeda?

1. c) Representa de forma aproximada, numa linha do tempo que desenharás no teu caderno, o ano de cunhagem da moeda e o ano em que vive o arqueólogo. Marca o ano $0$ e indica que lado corresponde aos anos a.C. e qual aos d.C.

O conceito de valor absoluto representa a distância de um número ao zero. Calcule os seguintes valores absolutos:

1. a) $|-7| =$
2. b) $|+12| =$
3. c) $|-25| =$
4. d) $|0| =$
5. e) $|-1| =$
6. f) $|+100| =$

Compara os seguintes pares de números inteiros utilizando os símbolos maior que ($>$) ou menor que ($<$):

1. a) $+5$ ____ $-8$
2. b) $-3$ ____ $-1$
3. c) $0$ ____ $-5$
4. d) $-12$ ____ $-20$
5. e) $+10$ ____ $+2$
6. f) $-1$ ____ $0$

O oposto de um número inteiro é aquele que tem o mesmo valor absoluto, mas sinal diferente. Escreva o oposto dos seguintes números:

1. a) $op(+6) =$
2. b) $op(-9) =$
3. c) $op(-15) =$
4. d) $op(+21) =$
5. e) $op(0) =$
6. f) $op(-1) =$

Escreva os números inteiros que cumprem simultaneamente as seguintes três condições:

1. O seu valor absoluto é maior do que $2$ e menor do que $6$.

2. É um número negativo.

3. Ao somar-lhe o seu oposto, o resultado é $0$.

Represente os números encontrados numa reta numérica.

Ordene os seguintes elementos matemáticos do menor para o maior, calculando previamente o seu valor numérico:

$$-| -12 |, \quad op(+5), \quad | -8 |, \quad op(op(-3)), \quad -(-10), \quad 0, \quad -| -1 |$$

Justifique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, apresentando um exemplo ou um contraexemplo em cada caso:

1. a) Se $a$ e $b$ são dois números inteiros negativos e $|a| < |b|$, então $a > b$.
2. b) O valor absoluto de um número inteiro é sempre maior do que o próprio número.
3. c) A distância entre qualquer número inteiro e o seu oposto é sempre um número par.
4. d) Se ao oposto de um número somarmos o seu valor absoluto, o resultado é sempre zero.

Ordene os seguintes números inteiros do menor para o maior, utilizando o símbolo $<$ entre eles:

$$-5, \quad +3, \quad -1, \quad 0, \quad +7, \quad -8, \quad -2$$

Numa estação de esqui foram registadas as seguintes temperaturas mínimas durante quatro dias. Ordene-as da menor para a maior utilizando o símbolo $<$:

• Segunda-feira: $-6$ $^\circ C$

• Terça-feira: $+2$ $^\circ C$

• Quarta-feira: $-9$ $^\circ C$

• Quinta-feira: $0$ $^\circ C$

No laboratório de física, estão a ser analisadas as temperaturas de congelação de vários líquidos. Os resultados são:

• Líquido P: $-8$ ºC

• Líquido Q: $-15$ ºC

• Líquido R: $-3$ ºC

• Líquido S: $-12$ ºC

Ordene os líquidos da menor para a maior temperatura utilizando o símbolo $<$ e explique qual deles tem o maior valor absoluto.

Num exame de Matemática, a Leonor deve comparar vários números inteiros e escreve na sua folha de respostas: «Como $12$ é maior do que $5$, então $-12 > -5$, já que ambos têm os mesmos algarismos e conservam a mesma relação de ordem». Além disso, afirma que «o valor absoluto de $-12$ é menor do que o de $-5$ porque $-12$ está situado mais à esquerda na reta numérica».

1. a) Identifica os dois erros conceptuais que a Leonor cometeu e explica por palavras tuas por que razão o seu raciocínio é incorreto, apoiando-te na posição dos números em relação ao zero.
2. b) Escreve a comparação correta entre $-12$ e $-5$ utilizando o símbolo adequado ($>$ ou $<$) e calcula o valor absoluto de ambos os números para justificar qual dos dois valores absolutos é maior.

Dois mergulhadores, Helena e Carlos, encontram-se no mar. Helena está a uma profundidade de $18$ metros abaixo do nível do mar. Carlos está a $12$ metros de Helena, mas numa posição mais profunda.

1. a) A que profundidade se encontra Carlos? Exprime com um número inteiro.
2. b) Se Helena subir $5$ metros, qual será a sua nova posição?
3. c) Qual é a distância absoluta entre a nova posição de Helena e a posição de Carlos?

Considera os números inteiros $m = -14$ e $n = +6$ representados numa reta numérica.

1. a) Antes de fazeres qualquer cálculo exato, estima de forma fundamentada: o ponto médio exato entre $m$ e $n$ estará situado à esquerda ou à direita do zero? A distância total entre ambos será maior ou menor do que $|m|$? Explica em que te baseias para o intuir.
2. b) Calcula agora o valor numérico exato da distância que separa $m$ de $n$ na reta, apoiando-te no significado dos seus valores absolutos.
3. c) Determina que número inteiro representa o ponto médio entre $m$ e $n$. Verifica se a tua estimativa inicial da alínea a) estava correta e fundamenta por que razão o sinal do ponto médio coincide com o sinal do número de maior valor absoluto.

Numa reta numérica foram marcados dois pontos, $A$ e $B$. Sabendo que a distância entre o ponto $A$ e o ponto $B$ é de $15$ unidades e que o ponto $A$ corresponde ao número inteiro $-6$:

1. a) Determina que número inteiro representa o ponto $B$ se estiver à direita de $A$.
2. b) Calcula o valor de $|A| + |B|$.
3. c) Se colocarmos um novo ponto $C$ exatamente a meio do segmento que une $A$ e $B$, que número representaria $C$?

Imagina dois números inteiros, $a$ e $b$. Sabemos que:

1. A distância entre $a$ e $0$ é de $7$ unidades.

2. A distância entre $a$ e $b$ é de $3$ unidades.

3. $b$ é menor do que $a$.

Determine todos os valores possíveis para $a$ e para $b$. Para cada caso, escreva o valor absoluto da soma $|a + b|$.

Um sensor de temperatura num laboratório de criogenia marca inicialmente $12\,^{\circ}\text{C}$ (olha para a escala). Devido a uma experiência, a temperatura desce $18\,^{\circ}\text{C}$, depois sobe $5\,^{\circ}\text{C}$ e finalmente volta a descer $3\,^{\circ}\text{C}$.

1. a) Representa com números inteiros cada um dos movimentos térmicos.

1. b) Qual é a temperatura final registada pelo sensor?

1. c) A temperatura final está acima ou abaixo de $0\,^{\circ}\text{C}$?

Um estafeta entra no elevador de um centro comercial no rés do chão ($0$). Primeiro sobe ao armazém no $+5$º andar, depois desce $8$ andares para ir buscar mercadoria à garagem e, finalmente, sobe $2$ andares para fazer uma entrega.

1. a) Em que andar se encontra a garagem? Exprime o resultado com um número inteiro.
2. b) Em que andar faz a entrega final?
3. c) Quantos andares percorreu o estafeta no total durante todo o seu trajeto? (Dica: utiliza o conceito de valor absoluto).

Num jogo de tabuleiro, a tua peça encontra-se na casa que representa o número inteiro $-4$. Lanças um dado especial e obténs os seguintes movimentos consecutivos:

1. Avança $6$ posições.

2. Recua o dobro do que indica o valor absoluto de $-3$.

3. Move-se para o oposto da casa em que se encontra nesse momento.

Em que casa terminas o jogo? Indica todos os passos intermédios.

Um arqueólogo está a estudar uma dinastia antiga. Ele sabe que o primeiro rei da dinastia nasceu no ano $42$ a.C. e morreu aos $65$ anos de idade. O seu filho, o herdeiro, nasceu quando o pai tinha $28$ anos e reinou durante $35$ anos após a morte do pai.

1. a) Utiliza números inteiros para representar os anos de nascimento e morte de ambas as personagens.
2. b) Em que ano terminou o reinado do filho? Expressa o resultado em formato cronológico (a.C. ou d.C.).

Estamos a projetar um jogo em que uma personagem deve saltar sobre plataformas numeradas com números inteiros. A personagem começa na plataforma $0$.

• O primeiro salto é de $+5$ unidades.

• O segundo salto tem o dobro do comprimento do primeiro, mas no sentido oposto.

• O terceiro salto leva-a a uma plataforma cujo número é o oposto do número da plataforma em que se encontrava após o segundo salto.

• O quarto salto é de $-12$ unidades.

Em que plataforma se encontra no final? Desenha a trajetória na reta numérica indicando cada passo.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Numa campanha oceanográfica no mar Cantábrico monitoriza-se a posição vertical de três sondas de medição, $S_1$, $S_2$ e $S_3$, cujas profundidades em relação ao nível do mar se expressam como números inteiros em metros (onde o nível do mar é $0\text{ m}$):

1. A sonda $S_1$ está submersa e a sua cota é um número inteiro negativo cujo valor absoluto é um múltiplo de $4$ compreendido estritamente entre $10$ e $18$, e além disso o seu valor absoluto é um múltiplo de $3$.

2. A cota da sonda $S_2$ é menor do que a de $S_1$, e a sua distância à superfície excede a de $S_1$ em exatamente $6$ unidades.

3. A sonda $S_3$ está a uma cota tal que $|S_3|$ é exatamente igual à metade de $|S_1|$. Além disso, sabe-se que o oposto da cota de $S_3$ é um número positivo.

1. a) Reconstrói de forma fundamentada, justificando cada dedução, o valor numérico inteiro da cota a que opera cada uma das três sondas.

1. b) Modela a posição relativa das sondas ordenando-as da que está situada a maior profundidade até à mais próxima da superfície, mediante a cadeia de desigualdades correspondente com o símbolo $<$.

1. c) Se construirmos os pontos do plano cartesiano $P_1 = (S_1, S_2)$ e $P_2 = (op(S_3), S_1)$, determina em que quadrante se encontra cada ponto, justificando-o segundo o sinal das suas coordenadas.

Identifique as coordenadas cartesianas $(x, y)$ dos pontos $P$ e $Q$ representados na quadrícula a seguir. Lembre-se de que o primeiro número se refere ao eixo horizontal (abcissas) e o segundo ao vertical (ordenadas).

Num jogo de estratégia, um barco pirata move-se num mapa de coordenadas. A sua posição inicial é o ponto $P(-3, 2)$.

1. a) Se o barco se desloca $5$ unidades para a direita, qual é a sua nova coordenada das abcissas ($x$)?

1. b) Se a partir dessa nova posição desce $4$ unidades, qual é a sua coordenada das ordenadas ($y$)?

1. c) Representa no teu caderno o ponto inicial e o ponto final (o do barco depois das duas deslocações) num referencial cartesiano.

Procuram-se dois números inteiros distintos, $a$ e $b$, que cumpram simultaneamente as seguintes quatro condições:

1. O ponto $P(a, b)$ está situado no segundo quadrante do plano cartesiano.

2. O valor absoluto de $a$ é exatamente $5$.

3. O valor $|b|$ é um número primo menor do que $5$, mas $b$ não coincide com o oposto de $a$.

4. A distância entre $a$ e $b$ na reta numérica é estritamente menor do que $8$ unidades.

1. a) Deduz o sinal que $a$ e $b$ devem obrigatoriamente ter a partir do quadrante em que se localiza o ponto $P$.
2. b) Encontra todos os valores possíveis de $a$ e $b$, justificando passo a passo por que descartas as opções que não cumprem simultaneamente todas as condições.
3. c) Escreve as coordenadas finais de todos os possíveis pontos $P(a, b)$ que resolvem o problema.

No seguinte plano cartesiano, um robô parte do ponto $P(-2, 3)$. Realiza três movimentos consecutivos:

1. Desloca-se $5$ unidades para a direita.

2. Desloca-se $7$ unidades para baixo.

3. Desloca-se $4$ unidades para a esquerda.

Em que quadrante o robô termina? Faz isso no teu caderno. Indica as coordenadas finais do ponto e calcula o valor absoluto da soma da sua nova abcissa ($x$) e da sua nova ordenada ($y$).

Num plano cartesiano, um quadrado tem dois dos seus vértices opostos nos pontos $A(-2, 3)$ e $C(4, -3)$.

1. Desenhe os eixos e posicione os pontos $A$ e $C$.

2. Determine as coordenadas dos outros dois vértices, $B$ e $D$, sabendo que o quadrado não está rodado (os seus lados são paralelos aos eixos).

3. Quais são as coordenadas do ponto central onde se cruzam as diagonais do quadrado?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Para averiguar em que quadrante do plano cartesiano se situa o ponto $A(x, y)$, sabemos com total certeza que o oposto da abcissa é estritamente negativo ($op(x) < 0$) e que a ordenada cumpre $|y| = -y$, com $y \neq 0$. Dois alunos do $1.º$ ano propõem duas formas distintas de o descobrir:

• Método do João: Escolhe números concretos que cumpram as pistas (por exemplo, testa com $x = 3$ e $y = -2$), verifica que se ajustam às condições dadas e situa o ponto resultante nos quadrantes.

• Método da Inês: Deduz algebricamente o sinal que $x$ deve ter a partir da definição de oposto e, depois, deduz o sinal de $y$ aplicando as propriedades do valor absoluto, sem inventar nenhum número em particular.

1. a) Aplica o método do João com esse exemplo concreto e determina em que quadrante se encontra o ponto.
2. b) Aplica o método da Inês fundamentando com rigor os sinais de $x$ e de $y$ a partir das definições teóricas para chegar à conclusão geral.
3. c) Compara ambos os caminhos: o método do João garante que a conclusão serve para qualquer par de números que cumpra o enunciado, ou poderiam existir casos imprevistos? Explica por que razão o método da Inês fornece uma justificação matemática superior e mais segura.