Perímetros e áreas de polígonos

Calcule o perímetro e a área do retângulo da figura, de $12$ cm de base e $7$ cm de altura.

Para delimitar uma zona retangular de jogos no recreio da escola, dispõe-se de um rolo completo de fita sinalizadora de $24\text{ m}$, sem cortar nem desperdiçar nada (isto é, o perímetro da zona deve ser exatamente de $24\text{ m}$). As dimensões dos lados devem ser números inteiros de metros.

1. a) Escreve todas as combinações possíveis de base e altura (valores inteiros) que este retângulo pode ter.
2. b) Calcula a área de cada um dos retângulos obtidos na alínea anterior.
3. c) Se o objetivo é que os alunos disponham do maior espaço possível para brincar dentro do recinto delimitado, qual das opções deves escolher? Que nome específico recebe esse retângulo?

Calcule mentalmente:

1. a) O perímetro e a área de um quadrado de $9$ cm de lado.
2. b) O perímetro de um losango cujo lado mede $6,5$ m.
3. c) A área de um rectângulo de $8$ m de base e $6$ m de altura.

Um painel publicitário retangular tem uma área de $48\ \text{m}^2$ e a sua base mede $8$ m.

1. a) Quanto mede a sua altura?
2. b) Qual é o seu perímetro?
3. c) Se o painel tivesse a mesma área, mas forma quadrada, seria possível? Justifique a sua resposta.

Um campo de futebol mede $105$ m de comprimento e $68$ m de largura.

1. a) Calcule a sua área em $\text{m}^2$.
2. b) Expresse a área em hectares. Lembre-se de que $1\ \text{ha} = 10\,000\ \text{m}^2$.
3. c) Quantos campos de futebol como este caberiam, aproximadamente, num parque natural de $1\ \text{km}^2$?

Quer-se colocar um piso novo numa varanda retangular de $6$ m de comprimento e $4$ m de largura usando ladrilhos quadrados de $40$ cm de lado, sem cortar nenhum.

1. a) Quantos ladrilhos cabem no comprimento e na largura? Quantos ladrilhos são necessários no total?
2. b) Os ladrilhos são vendidos em caixas de $12$ unidades a $18,95\ \text{€}$ a caixa. Quantas caixas é preciso comprar? Quanto custará o piso?
3. c) Qual é a área de um ladrilho, em $\text{cm}^2$? Verifica se a área total dos ladrilhos usados coincide com a área da varanda (expressa ambas em $\text{m}^2$).

Calcule a área do triângulo da figura, de base $10$ m e altura $6$ m.

Um painel publicitário com forma triangular tem uma base de $4$ m e uma altura de $3$ m.

1. a) Qual é a sua área?
2. b) Se o painel for impresso dos dois lados, que superfície total deve ser impressa?

Para calcular a área de um triângulo de base $12$ cm e altura $7$ cm, um aluno fez $12 \cdot 7 = 84$ e respondeu: «a área é $84\ \text{cm}^2$».

1. a) Explique qual o erro que ele cometeu.
2. b) Calcule a área correta.
3. c) O mesmo aluno calcula a área de um losango de diagonais $10$ cm e $6$ cm e obtém $60\ \text{cm}^2$. Comete novamente o mesmo erro? Corrija-o.

A Leonor quer calcular a área de um losangoide (paralelogramo) de cartolina para um projeto de Educação Visual. Mede com a sua régua e anota: base $b = 12\text{ cm}$, lado inclinado $c = 7\text{ cm}$ e altura perpendicular à base $h = 5\text{ cm}$. No seu caderno escreve:

«$A = b \cdot c = 12 \cdot 7 = 84\text{ cm}^2$».

1. a) Explica com clareza qual é o erro cometido pela Leonor e por que motivo geometricamente não faz sentido multiplicar a base pelo lado inclinado para calcular a superfície.
2. b) Calcula a área correta do losangoide e o seu perímetro.
3. c) Que figura geométrica com lados de $12\text{ cm}$ e $7\text{ cm}$ teria uma área de exatamente $84\text{ cm}^2$? Justifica a tua resposta.

O romboide da figura tem uma base de $9$ cm e uma altura de $5$ cm.

1. a) Calcule a sua área.
2. b) Se o lado inclinado do romboide mede $6$ cm, calcule também o seu perímetro.

Calcule a área do trapézio da figura, cujas bases medem $14$ m e $8$ m e a sua altura $6$ m.

O tanque de uma piscina infantil num complexo desportivo municipal tem a forma de um trapézio isósceles. A base maior mede $14,8\text{ m}$, a base menor mede $9,2\text{ m}$ e a distância perpendicular entre as duas bases (a altura) é de $6,1\text{ m}$. A câmara municipal vai encomendar uma lona protetora à medida para a tapar no inverno.

1. a) Antes de efetuar cálculos com decimais, arredonda as três medidas ao metro mais próximo e realiza uma estimativa mental da área da lona. Escreve a operação em que pensaste e o resultado estimado.
2. b) Calcula a área exata que a lona deve ter a partir das medidas reais do trapézio.
3. c) Verifica se a tua estimativa foi razoável calculando a diferença entre a área exata e a estimada. Se a lona custar $8,50\text{ €/m}^2$, quantos euros de diferença teria representado orçamentar a compra com a estimativa em vez de com o dado exato?

A área de um trapézio é $84\ \text{m}^2$, a sua altura mede $7$ m e a base maior $16$ m.

1. a) Substitua os dados na fórmula da área do trapézio, $A = \frac{(B + b) \cdot h}{2}$, e escreva a equação correspondente.
2. b) Resolva a equação e calcule quanto mede a base menor.
3. c) Verifique o seu resultado confirmando que a área é igual a $84\ \text{m}^2$.

Calcule a área do losango da figura, cujas diagonais medem $16$ cm e $10$ cm.

As diagonais de um losango medem $20$ cm e $14$ cm.

1. a) Calcule a sua área.
2. b) Se cortarmos o losango pelas suas duas diagonais, ele fica dividido em $4$ triângulos retângulos iguais. Quanto medem a base e a altura de cada um desses triângulos?
3. c) Calcule a área de um desses triângulos e verifique se as quatro áreas somam a área do losango.

No recreio de uma escola vai pintar-se um logótipo com a forma de um losango cujas diagonais medem $D = 8\text{ m}$ e $d = 6\text{ m}$. Dois alunos do 7.º ano discutem sobre a melhor forma de calcular a sua área:

• O Marcos propõe: «Desenhamos um retângulo de $8\text{ m}$ de base por $6\text{ m}$ de altura que envolva o losango. A sua área é $8 \cdot 6 = 48\text{ m}^2$. Nos cantos ficam quatro triângulos retângulos iguais de base $4\text{ m}$ e altura $3\text{ m}$; se subtrairmos esses quatro triângulos ao retângulo exterior, obtemos a área do losango».

• A Sara propõe: «Podemos aplicar diretamente a fórmula $A = \dfrac{D \cdot d}{2}$, porque o losango ocupa exatamente metade do retângulo que o contém».

1. a) Desenvolve por completo o procedimento do Marcos: calcula a área de um dos triângulos dos cantos, a soma dos quatro e a subtração final.
2. b) Aplica o método direto da Sara e verifica se ambos os resultados coincidem.
3. c) Compara ambos os métodos: qual resulta mais eficaz neste problema e porquê? Em que casos de figuras poligonais irregulares desenhadas sobre uma quadrícula se torna indispensável usar a estratégia do Marcos (envolver num retângulo e subtrair os cantos sobrantes)?

Indique se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando a sua resposta ou apresentando um contraexemplo:

1. a) Se dobrarmos os lados de um retângulo, a sua área também dobra.
2. b) Um paralelogramo e um retângulo com a mesma base e a mesma altura têm a mesma área.
3. c) Um triângulo tem metade da área de um retângulo com a mesma base e altura.
4. d) Duas figuras com o mesmo perímetro têm sempre a mesma área.

Um condomínio quer vedar e plantar relva num terreno retangular de $45$ m de comprimento e $28$ m de largura.

1. a) Quantos metros de vedação são necessários se for deixada uma entrada de $3$ m sem vedar?
2. b) Se a vedação custa $12,50\ \text{€}$ o metro instalada, qual é o orçamento para vedar o terreno?
3. c) A relva é vendida em rolos de $5\ \text{m}^2$ a $18,95\ \text{€}$ o rolo. Quantos rolos é preciso comprar e quanto custarão?

O hexágono regular da figura tem $6$ cm de lado e a sua apótema mede $5,2$ cm.

1. a) Calcule o seu perímetro.
2. b) Calcule a sua área usando a fórmula $A = \frac{P \cdot a}{2}$, onde $P$ é o perímetro e $a$ a apótema.

Uma associação de moradores de Coimbra vai requalificar uma praceta que tem a forma de um hexágono regular de $6\text{ m}$ de lado. As plantas do município indicam que o apótema deste polígono mede $5,2\text{ m}$. O projeto consiste em colocar um rebordo de madeira à volta de todo o perímetro, a um preço de $4,20\text{ €}$ por cada metro linear, e cobrir todo o solo interior com relva rústica que custa $2,50\text{ €}$ por metro quadrado. Para a obra dispõem de um apoio municipal de $350\text{ €}$.

1. a) Modela a situação calculando os metros lineares de rebordo necessários e a superfície em metros quadrados que a relva ocupará.
2. b) Calcula o orçamento total necessário para a obra (rebordo mais relva).
3. c) Interpreta o resultado obtido: o apoio municipal de $350\text{ €}$ chega para financiar o projeto? Se faltar ou sobrar dinheiro, indica a quantia exata.

Um criador de gado de Portalegre dispõe de $120\text{ m}$ de rede metálica para delimitar um cercado de descanso para as suas ovelhas e quer que tenha a máxima superfície possível. Hesita entre três desenhos, todos com um perímetro exato de $120\text{ m}$:

1. Um triângulo equilátero de $40\text{ m}$ de lado e cuja altura perpendicular mede $34,64\text{ m}$.

2. Um quadrado de $30\text{ m}$ de lado.

3. Um hexágono regular de $20\text{ m}$ de lado e cujo apótema mede $17,32\text{ m}$.

1. a) Calcula a área delimitada por cada uma das três opções propostas.
2. b) Compara os três resultados: com o mesmo perímetro ($120\text{ m}$), qual dos três polígonos regulares encerra maior superfície? Que conclusão geométrica podes deduzir sobre como varia a área à medida que aumenta o número de lados de um polígono regular com perímetro constante?
3. c) A regulamentação de bem-estar animal exige que o cercado tenha pelo menos $1000\text{ m}^2$ para a dimensão do seu rebanho. Alguma das três opções cumpre o requisito? Se fosse construído um polígono regular com muitos mais lados (por exemplo, um decágono regular ou uma figura quase circular com esses mesmos $120\text{ m}$ de cerca), achas que seria possível ultrapassar essa barreira dos $1000\text{ m}^2$? Justifica a tua resposta a partir da tendência observada.