Circunferência e círculo

Identifique o nome das seguintes regiões coloridas dentro ou à volta do círculo:

• A: Região compreendida entre dois raios.

• B: Região compreendida entre duas circunferências concêntricas (como uma rosca).

• C: A metade de um círculo.

No desenho a seguir de uma circunferência de centro $O$, identifique os elementos assinalados com letras. Indique qual corresponde ao raio, qual ao diâmetro e qual à corda.

Uma jogadora de basquetebol está a treinar lances livres. O círculo pintado no garrafão tem um diâmetro de $3,6$ metros. Qual é a medida do raio desse círculo?

Se uma moeda de $2$ euros tem um raio de $12,875$ mm, qual é o seu diâmetro? Expresse o resultado em milímetros.

Observe a posição das retas $r$, $s$ e $t$ em relação à circunferência de centro $C$. Classifique cada reta como tangente, secante ou exterior.

Dada uma circunferência de centro no ponto $C$ e raio $5$ cm, indique se os seguintes pontos são interiores, exteriores ou pertencem à circunferência:

• Ponto $P$: está a $3$ cm de $C$.

• Ponto $Q$: está a $5$ cm de $C$.

• Ponto $R$: está a $7$ cm de $C$.

O logótipo de uma nova marca de roupa desportiva consiste numa circunferência de raio $r = 5\text{ cm}$ atravessada por uma reta. Se a reta passa a uma distância de $3\text{ cm}$ do centro da circunferência, desenha o esquema e responde:

1. a) Qual é a posição relativa da reta em relação à circunferência?
2. b) Se traçarmos outra reta que passe a exatamente $5\text{ cm}$ do centro, como se chamaria essa reta?
3. c) Como se chama o segmento da primeira reta que fica dentro da circunferência?

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

O Alex quer colocar uma fita de luzes LED ao redor da borda do seu espelho circular. Se o raio do espelho é de $40$ cm, quantos centímetros de fita LED precisará de comprar, no mínimo? (Utiliza $\pi \approx 3,14$).

O serviço de parques e jardins de um município dispõe de uma vedação flexível de exatamente $31,4\text{ metros}$ de comprimento para cercar completamente um canteiro circular com flores, sem que sobre nem falte material.

1. a) Apresenta a relação matemática correspondente e calcula quanto devem medir o raio e o diâmetro do canteiro (utiliza $\pi \approx 3,14$).
2. b) Se no centro exato do canteiro for colocado um aspersor, a que distância máxima do aspersor pode nascer uma flor dentro do recinto?
3. c) Justifica geometricamente se seria possível traçar dentro do canteiro uma corda reta que una dois pontos da borda e que meça $11\text{ metros}$.

A roda de uma bicicleta de montanha tem um raio total de $35\text{ cm}$. Se o ciclista percorre uma distância de $1,1\text{ quilômetros}$ em linha reta:

1. a) Quantos metros percorre a bicicleta numa única volta da roda?
2. b) Quantas voltas completas terá dado a roda no final do percurso?

(Dado: $1\text{ km} = 1000\text{ m}$; considere $\pi \approx 3,14$).

No serviço público de bicicletas de uma cidade portuguesa, as rodas dos veículos têm um raio de $30\text{ cm}$. Um utilizador faz um percurso em linha reta pela ciclovia desde uma estação até outra, percorrendo uma distância total de $1\,130,4\text{ metros}$.

1. a) Modela a situação calculando quantos metros avança a bicicleta cada vez que a roda dá uma volta completa sobre o pavimento (utiliza $\pi \approx 3,14$).
2. b) Determina quantas voltas completas terá dado cada roda ao terminar todo o percurso.
3. c) Durante uma revisão, um técnico regista que trocou um raio da roda de $30\text{ cm}$ e um reforço metálico reto (corda) que une dois pontos da borda exterior do aro e mede $65\text{ cm}$. Apoiando-te na definição de corda e diâmetro, explica por que razão a medida desse reforço é fisicamente impossível nessa roda.

Num parque de diversões, uma roda-gigante tem um raio de $15 \text{ metros}$. Um sensor deteta que uma das cabines percorreu um arco de circunferência cujo comprimento é de $23,55 \text{ metros}$. Que ângulo, expresso em graus sexagesimais, a roda-gigante rodou desde que a cabine estava no ponto mais baixo? Considera o valor de $\pi \approx 3,14$.

Numa praça vai construir-se uma fonte circular com $8\text{ metros}$ de diâmetro. Colocar-se-á uma bordadura de pedra em todo o seu contorno e impermeabilizar-se-á o chão (a superfície circular completa).

1. a) Antes de efetuares operações com decimais, faz uma estimativa mental do comprimento da bordadura aproximando $\pi \approx 3$. Justifica se a medida real será maior ou menor do que a tua estimativa.
2. b) Imagina um quadrado circunscrito à fonte (cujos quatro lados tocam a circunferência exteriormente). Quanto mede o lado desse quadrado? Qual é o seu perímetro? Justifica por que razão o perímetro desse quadrado serve como majorante para o comprimento da circunferência.
3. c) Calcula com precisão o comprimento da bordadura e a área do fundo da fonte usando $\pi \approx 3,14$, e verifica se ambos os valores são coerentes com as deduções que fizeste nas alíneas anteriores.

Uma pizzaria oferece uma pizza individual de $20$ cm de diâmetro. Calcule a superfície (área) da pizza para saber quanto espaço ocupará na caixa. (Utilize $\pi \approx 3,14$).

Para uma festa na escola, o Marcos quer calcular a área de uma toalha circular que cubra por completo uma mesa redonda cujo diâmetro mede $120\text{ cm}$. O Marcos faz o seguinte cálculo no seu caderno:

1. a) Identifica que erro conceptual cometeu o Marcos ao aplicar a fórmula da área.
2. b) Explica a relação que existe entre o diâmetro e o raio, e justifica por que razão o resultado obtido pelo Marcos é exatamente quatro vezes maior do que deveria ser.
3. c) Corrige o cálculo e determina a área real que a toalha deve ter (em $\text{cm}^2$, usando $\pi \approx 3,14$).

Uma pizzaria oferece duas promoções para as suas pizzas artesanais:

• Promoção A: Uma pizza família de $40\text{ cm}$ de diâmetro.

• Promoção B: Duas pizzas médias de $20\text{ cm}$ de diâmetro cada uma.

Se ambas as promoções custam o mesmo, calcule a área da superfície da pizza em cada opção (usando $\pi \approx 3,14$) e justifique qual das duas promoções é mais vantajosa para o cliente.

Um aspersor de jardim gira a descrever um setor circular de $120^\circ$. Se o jato de água atinge uma distância de $6\text{ metros}$, calcule:

1. a) O comprimento do arco de relvado que molha na borda externa.
2. b) A área total de relvado regada pelo aspersor.

(Utilize $\pi \approx 3,14$ e arredonde para duas casas decimais).

Observe a figura seguinte, que representa um "spinner" circular com um rolamento central e um anel externo. O raio do círculo interno é de $2\text{ cm}$ e o raio do círculo externo é de $5\text{ cm}$. Calcule a área da coroa circular (a zona azulada) que existe entre ambos.

Uma pulseira circular de prata tem um diâmetro externo de $8 \text{ cm}$ e interno de $7 \text{ cm}$. Se quisermos banhar a ouro apenas a parte superior da pulseira (um setor da coroa circular que abrange um ângulo de $120^\circ$), qual é a área da superfície que será banhada a ouro? Arredonde o resultado às centésimas.

No centro de uma rotunda circular de raio $R = 10\text{ metros}$ existe um lago também circular de raio $r = 6\text{ metros}$. A faixa restante entre o lago e a borda da rotunda (uma coroa circular) vai ser coberta com relva artificial. Para calcular a área da relva, três elementos da equipa técnica propõem métodos diferentes:

• Método da Clara: Calcula a área de toda a rotunda ($A_1 = 3,14 \cdot 10^2$), a área do lago ($A_2 = 3,14 \cdot 6^2$) e subtrai ambos os resultados: $A_1 - A_2$.

• Método do Bruno: Subtrai diretamente os raios ($10 - 6 = 4\text{ metros}$) e calcula a área de um círculo com esse raio resultante: $A = 3,14 \cdot 4^2$.

• Método da Sara: Coloca $\pi$ em evidência aplicando a propriedade distributiva: $A = \pi \cdot (10^2 - 6^2) = 3,14 \cdot (100 - 36)$.

1. a) Explica qual dos métodos está errado e demonstra geometricamente por que razão subtrair os raios antes de calcular a área conduz a um resultado falso.
2. b) Compara os dois métodos válidos e justifica qual é mais recomendável para cometer menos erros de arredondamento e poupar passos de cálculo.
3. c) Se o lago fosse ampliado para um raio de $8\text{ metros}$ mantendo o raio exterior da rotunda em $10\text{ metros}$, aplica o método que selecionaste como ótimo para calcular a nova área de relva necessária.

Uma empresa pública de águas necessita de substituir dois canos de esgoto idênticos, cada um de secção circular com um diâmetro de $20\text{ cm}$, por um único cano circular novo que tenha exatamente a mesma capacidade de escoamento (ou seja, cuja área da secção coincida com a soma das áreas dos dois canos antigos juntos).

1. a) Um técnico afirma: «Como substituímos dois canos de $20\text{ cm}$, o novo deve ter um diâmetro de $40\text{ cm}$ para escoar o mesmo». Demonstra através do cálculo das áreas das secções se a afirmação do técnico está correta ou incorreta.
2. b) Justifica de forma algébrica a partir da fórmula $A = \pi \cdot r^2$ por que razão, ao duplicar o diâmetro de qualquer círculo, a sua área se multiplica por $4$ e não por $2$.
3. c) Apresenta a equação que relaciona a área do cano novo com a soma dos dois antigos e calcula quanto deve medir, aproximadamente, o diâmetro real do cano substituto (arredonda o resultado a uma casa decimal).

No projeto de uma janela circular (rosácea), foi inscrito um quadrado de $8\text{ decímetros}$ de diagonal, como mostra a figura. Calcule a área da superfície do vidro (círculo) que fica fora do quadrado (as zonas sombreadas no desenho).

Numa praça circular, foi instalada uma estrutura com cabos. Um dos cabos forma um ângulo inscrito de $35^\circ$ em relação a um arco da praça.

1. a) Calcule quanto mede o ângulo ao centro que abrange esse mesmo arco.
2. b) Se o ângulo ao centro fosse de $110^\circ$, quanto mediria qualquer ângulo inscrito que abrangesse o mesmo arco?

Um sinal de trânsito de "Trânsito proibido" tem a forma de um círculo com diâmetro de $60\text{ cm}$. No seu interior, há uma faixa retangular branca de $50\text{ cm}$ de comprimento e $10\text{ cm}$ de largura. Calcule a área da parte vermelha do sinal (a zona do círculo que não está ocupada pelo retângulo branco).

No design de um novo logótipo para uma empresa de tecnologia, foi desenhado um quadrado de lado $L = 10 \text{ cm}$. Em cada um dos seus vértices foi traçado um arco de circunferência com raio igual a metade do lado do quadrado ($5 \text{ cm}$), de modo que os quatro arcos se tocam nos pontos médios dos lados. Calcule a área da região sombreada que fica no centro do quadrado (a zona que não pertence a nenhum dos quatro setores circulares).

Um engenheiro está a projetar uma peça mecânica que consiste num disco metálico de raio $R = 12 \text{ cm}$. Para aligeirar a peça, deve realizar um corte reto (uma corda) localizado a uma distância exata de $7,2 \text{ cm}$ do centro do disco. Utilizando o Teorema de Pitágoras, determine qual será o comprimento total desse corte (a corda) para poder programar a máquina de corte.

Observe um relógio de parede às $10:00$ da manhã. Os ponteiros (dos minutos e das horas) formam um ângulo central. Se traçarmos uma corda que una as extremidades de ambos os ponteiros, supondo que ambos medem $10 \text{ cm}$, qual é a medida dessa corda? (Sugestão: analise o tipo de triângulo formado entre o centro do relógio e os números 10 e 12).