Aproximação e arredondamento

Numa loja de videojogos, o preço de um póster é de $7,82$ €. Se só levas moedas de um euro e queres saber, aproximadamente, quantos euros completos custa:

Na reta da figura, as duas marcas compridas são dois números inteiros consecutivos (os assinalados com «?») e cada marca pequena é uma décima.

1. a) Entre que dois números inteiros se encontra o preço?
2. b) De qual dos dois números está mais perto? Faz o arredondamento à unidade.

Para realizar uma experiência na aula de Ciências, precisamos de medir exatamente $4,576$ gramas de sal. Complete a seguinte tabela aplicando os dois métodos de aproximação pedidos:

Observe os seguintes números decimais e aproxime-os às décimas utilizando a técnica do arredondamento:

1. a) $3,14$
2. b) $9,68$
3. c) $0,45$
4. d) $1,03$

No supermercado, as balanças de fruta costumam arredondar o peso. Se comprarmos um saco de laranjas que pesa $2,341$ kg, indica qual seria o peso mostrado se a balança:

1. a) Arredonda às unidades.
2. b) Arredonda às centésimas.

Copia e completa a seguinte tabela no teu caderno, realizando as aproximações indicadas para o número decimal $n = 14,3728$.

Observa a seguinte reta numérica onde foi representado um número decimal $x$ com uma lupa.

Sabendo que o ponto laranja representa o número $x = 3,774$:

1. a) Entre quais dois centésimos se encontra o número $x$?
2. b) Se tivesses de aproximar $x$ às décimas por arredondamento, qual valor escolherias? Justifica a tua resposta observando a posição do ponto na reta em relação ao ponto médio ($3,75$).

Numa loja de aplicações de jogos, o preço de um novo pacote de texturas é de $12,957 €$.

1. a) Se a loja decidir truncar o preço às centésimas para o apresentar no catálogo, qual será o preço que aparecerá?
2. b) Se o sistema de pagamento arredondar às centésimas (cêntimos de euro) ao efetuar a cobrança final, quanto pagará realmente o utilizador?
3. c) Qual é a diferença de valor entre o preço truncado e o preço arredondado?

Uma balança de precisão indica que um saco de maçãs pesa $2,345$ kg.

1. a) Exprime o peso em gramas (lembra-te de que $1$ kg = $1\,000$ g).
2. b) Se o feirante nos disser que o peso é de, aproximadamente, $2,3$ kg, que tipo de aproximação ele realizou?
3. c) Calcula o erro cometido na aproximação do feirante (a diferença entre o peso real e o aproximado). Exprime o resultado em quilogramas e em gramas.

Num laboratório de biologia, está a ser medido o crescimento de uma bactéria. O comprimento atual é de $0,03478$ milímetros.

• O cientista A decide usar uma aproximação por arredondamento às milésimas.

• O cientista B prefere usar uma aproximação por truncamento às décimas de milésima.

Indica qual dos dois valores é maior e calcula a diferença exata entre ambas as aproximações. Qual das duas achas que é "mais fiel" ao valor real da bactéria?

Pensa e responde a este enigma sobre números decimais:

"Sou um número com três casas decimais. Se me truncares às centésimas, sou $7,42$. No entanto, se me arredondares às centésimas, sou $7,43$".

Escreve três números diferentes que cumpram estas condições. Qual é o menor número que ele poderia ser? E o maior?

Estamos à procura de um número decimal misterioso $N$ que tem três casas decimais. Para o descobrir dispomos de quatro pistas:

1. A sua parte inteira é o número $7$.

2. Se truncarmos $N$ às décimas, obtém-se $7,4$.

3. Se arredondarmos $N$ às centésimas, obtém-se $7,46$.

4. O seu algarismo das milésimas é um número ímpar maior do que $3$.

1. a) Encontra todos os números decimais possíveis que cumprem estas quatro condições simultaneamente.
2. b) Pega no menor dos números que encontraste e trunca-o às centésimas. Coincide este truncamento com o arredondamento às centésimas da pista 3? Explica por que razão ocorre ou não essa coincidência.

Estamos a investigar um número decimal "misterioso", que chamaremos $N$, que tem três algarismos decimais. Sabemos as seguintes pistas sobre ele:

1. A sua parte inteira é o primeiro número primo de dois algarismos.

2. Se o arredondarmos às centésimas, obtemos $11,38$.

3. Se o truncarmos às décimas, obtemos $11,3$.

4. A soma dos seus três algarismos decimais é $19$.

De que número se trata? Justifica a tua resposta descartando as opções que não cumprem as condições.

Encontre um número decimal que cumpra simultaneamente estas três condições de "fronteira":

• Que seja maior que $7,45$ e menor que $7,46$.

• Que ao arredondá-lo às milésimas, o resultado seja $7,458$.

• Que a soma dos seus quatro algarismos decimais seja igual a $25$.

Este número é único ou existem várias possibilidades? Justifique a sua resposta.

Observa a seguinte reta numérica onde foram representadas duas aproximações do número $X$.

Sabendo que o truncamento às centésimas é $3,14$ e o arredondamento às centésimas é $3,15$, indica se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas, justificando cada uma:

• a) O algarismo das milésimas de $X$ deve ser maior ou igual a $5$.

• b) O número $X$ poderia ser $3,1449$.

• c) Se somarmos $0,001$ ao número $X$, o seu truncamento às centésimas continuará a ser $3,14$.

Um corredor dos 100 metros rasos registou um tempo de $12,45$ segundos no cronómetro. Se queremos expressar este tempo com uma só casa decimal:

1. a) Faz o arredondamento às décimas.
2. b) Foi uma aproximação por excesso ou por defeito? Explica por que razão te fixaste no algarismo das centésimas.

Na reta numérica, o tempo do corredor está marcado com um ponto entre $12,4$ e $12,5$, e cada marca pequena representa $0,01$ s.

A velocidade de descarga de uma ligação à internet é de $92,578$ Mbps. O técnico diz-nos que, para simplificar, podemos truncar o número às centésimas.

1. a) Qual é o valor que obtemos?
2. b) Desenhe uma pequena reta numérica e posicione o valor original e o valor truncado.

Podes fazê-lo em papel e enviar uma fotografia com a tua resposta.

Aproxime o número $\pi \approx 3,141592...$ das seguintes maneiras:

1. a) Por arredondamento para os milésimos.
2. b) Por truncamento para os milésimos.
3. c) Em qual caso o resultado é maior?

Imagina que vais pagar com uma nota de $20$ € uma compra que custa $14,23$ €. O empregado de caixa não tem moedas de cêntimos pequenas e propõe-te arredondar o preço à décima de euro mais próxima (isto é, a um múltiplo de $10$ cêntimos, com uma só casa decimal).

1. a) Qual seria o novo preço arredondado?
2. b) Quanto dinheiro te devolveria o empregado de caixa depois do arredondamento?

O Marcos tem de aproximar o número $6,378$ às centésimas num exercício de aula. No seu caderno escreve: «$6,378 \approx 6,37$ porque o $8$ das milésimas não chega a dez, por isso não muda o algarismo anterior».

1. a) Explica que erro conceptual comete o Marcos e que método de aproximação aplicou na realidade sem se aperceber.
2. b) Realiza o arredondamento correto às centésimas e explica, utilizando a distância entre números decimais, por que razão o teu resultado está mais perto do número original do que o valor que o Marcos escreveu.

Numa papelaria de bairro, a Sara quer comprar um caderno que custa $2,85$ €, um conjunto de marcadores por $4,15$ € e uma pasta por $1,90$ €. Leva na carteira uma moeda de $5$ € e duas moedas de $2$ €.

1. a) Antes de calcular o preço exato, estima a despesa total arredondando o preço de cada artigo à unidade de euro mais próxima. Segundo a tua estimativa prévia, terá dinheiro suficiente para pagar a compra?
2. b) Calcula o custo exato da compra somando os três preços.
3. c) Verifica se a tua estimativa foi acertada calculando a diferença entre o preço exato e o estimado. Consideras que a estimativa foi útil para tomar uma decisão rápida antes de passar pela caixa? Justifica a tua resposta.

Três atletas participaram numa corrida de 60 metros rasos na escola. Os tempos registados pelo cronómetro foram os seguintes:

• Beatriz: $8,429$ segundos.

• Marcos: $8,421$ segundos.

• Duarte: $8,425$ segundos.

1. a) Se os resultados forem publicados no site da escola arredondados às centésimas, que tempo aparecerá para cada um?
2. b) Ao observar os resultados arredondados, parece que eles demoraram o mesmo tempo? Isso é verdade segundo os tempos originais?

Um professor de matemática calcula a classificação média de um teste e obtém $6,4782$.

1. a) Aproxime a classificação às décimas por truncatura.
2. b) Aproxime a classificação às décimas por arredondamento.
3. c) Qual das duas aproximações beneficia mais o aluno? Porque achas que nas pautas escolares se costuma utilizar o arredondamento em vez da truncatura?

Queremos colocar uma vedação de proteção à volta de um pequeno jardim retangular. Ao medir com uma fita métrica digital, obtemos que os lados medem $4,56$ metros e $3,27$ metros.

1. a) Calcule o perímetro do jardim.
2. b) Se o proprietário do jardim comprar a vedação numa loja de material de construção que só vende por metros inteiros e arredonda sempre para cima (aproximação por excesso às unidades) para garantir que não falta material, quantos metros de vedação comprará?

O clube de atletismo de um município do distrito de Bragança vai pintar uma linha branca contínua à volta da sua pista de treino. O comprimento total que devem pintar mede exatamente $345\text{ m}$. De acordo com as especificações do fabricante, com $1\text{ litro}$ de tinta especial podem-se pintar $25\text{ m}$ de linha. Na loja local, a tinta vende-se exclusivamente em latas fechadas de $1\text{ litro}$ (não se vendem frações de lata).

1. a) Efetua a divisão com duas casas decimais para saberes quantos litros exatos de tinta são necessários teoricamente.
2. b) Se aplicares a regra matemática padrão de arredondamento às unidades sobre esse resultado decimal, quantas latas comprarias? Se comprares essa quantidade, conseguirias pintar toda a pista ou faltar-te-ia tinta? Comprova-o calculando os metros que conseguirias pintar com essas latas.
3. c) Justifica que tipo de aproximação intencional se deve aplicar neste problema de compra de material e quantas latas se devem adquirir finalmente para garantir o trabalho completo.

Num posto de combustível "Low Cost", o preço do litro de gasolina 95 é de $1,419$ €. Um grupo de amigos enche o depósito da sua carrinha para uma viagem com $52,6$ litros.

A caixa do posto está programada para calcular o total e depois arredondar o resultado final aos cêntimos de euro (duas casas decimais). No entanto, um dos amigos insiste que primeiro se deveria truncar o preço do litro aos cêntimos e depois multiplicar pelos litros.

Calcule a diferença de preço entre os dois métodos. Qual dos dois beneficia o cliente e qual beneficia o posto de combustível?

Um grupo do 7.º ano está a projetar uma peça para uma impressora 3D. O software fornece uma medida de $12,666...$ (dízima periódica) milímetros para a espessura de um encaixe. A impressora tem três modos de precisão:

• Modo Eco: Trunca às décimas.

• Modo Padrão: Arredonda às centésimas.

• Modo Pro: Arredonda às milésimas.

Calcule o valor que a impressora usaria em cada modo. Se o espaço onde a peça deve entrar mede exatamente $12,67$ mm, em que modos a peça entrará e em quais não? (Considere que, para entrar, a peça deve ser menor ou igual ao espaço.)

Um chefe de cozinha moderna precisa de pesar três ingredientes com uma balança de alta precisão que fornece milésimos de grama:

• Sal: $2,341$ g

• Pimenta: $1,256$ g

• Açafrão: $0,897$ g

O chefe quer saber o peso total da mistura de especiarias. Compare estes dois procedimentos:

1. Procedimento 1: Somar os três pesos exatos e depois arredondar o resultado final às décimas.

2. Procedimento 2: Arredondar cada ingrediente às décimas e depois somá-los.

Calcule ambos os resultados. São iguais? Explique por que razão o arredondamento individual pode resultar num erro maior do que o arredondamento no final da operação.

Crie um problema do dia a dia (compras, desporto, ciência...) em que ocorram estas duas condições simultaneamente:

1. Seja necessário usar um número com pelo menos quatro casas decimais.

2. A diferença entre truncar esse número às centésimas e arredondá-lo às centésimas seja exatamente de $0,01$.

Escreva o enunciado completo e explique como ele seria resolvido aplicando as regras de aproximação.

Uma pequena cooperativa agrícola de Santarém prepara o envio de quatro encomendas de fruta para um supermercado. O peso exato registado pela balança de precisão para cada encomenda é:

• Encomenda 1: $142,38\text{ kg}$

• Encomenda 2: $85,36\text{ kg}$

• Encomenda 3: $64,39\text{ kg}$

• Encomenda 4: $107,37\text{ kg}$

Para organizar a guia de transporte, duas funcionárias propõem aproximar os pesos às décimas de quilograma:

• Método da Laura: Arredondar primeiro cada encomenda individual às décimas e depois somar os quatro valores arredondados.

• Método da Carmen: Somar primeiro os quatro pesos exatos e arredondar unicamente o resultado final às décimas.

1. a) Calcula passo a passo o resultado total que se obtém com o método da Laura e o que se obtém com o método da Carmen.
2. b) Calcula a soma exata sem aproximar e determina o erro cometido por cada método (a diferença positiva entre o resultado do método e o valor exato).
3. c) À vista dos resultados, qual dos dois métodos é mais fiável? Justifica por que razão arredondar em cada passo intermédio costuma acumular um erro maior do que arredondar apenas no final.

Numa estação meteorológica do IPMA, os sensores digitais medem a temperatura com várias casas decimais, mas no ecrã público do painel exterior mostra-se a temperatura arredondada às décimas. Num dia quente, o ecrã marca exatamente $38,4\text{ }^\circ\text{C}$.

1. a) Entre que dois valores possíveis se encontra a temperatura real $T$ registada pelo sensor para que seja mostrado esse valor? Escreve a tua resposta em forma de desigualdade do tipo $A \le T < B$, utilizando duas casas decimais para $A$ e para $B$.
2. b) Qual é a maior diferença possível (o erro máximo) que pode existir entre a temperatura que vemos no ecrã ($38,4\text{ }^\circ\text{C}$) e a temperatura real do sensor?
3. c) Se o painel exterior estivesse programado para truncar às décimas em vez de arredondar, qual seria o novo intervalo $C \le T < D$ da temperatura real? Explica fundamentadamente por que razão o arredondamento minimiza o erro máximo face ao truncamento e que papel fundamental desempenha o algarismo $5$ nessa vantagem.

Desafio do tema. Quanto custa a energia que consomes em casa? Realiza uma mini-auditoria energética numa folha de cálculo seguindo estas fases:

1. Recolha de dados: Acede ao site oficial da REN (Redes Energéticas Nacionais) ou da ERSE (Entidade Reguladora dos Serviços Energéticos) e anota o preço da eletricidade para o pequeno consumidor ($€/kWh$) de ontem em 3 horas distintas: madrugada, meio-dia e noite.

2. Aproximação e cálculo: Os preços oficiais têm até cinco casas decimais (por exemplo, $0,14823$ €). Arredonda cada um às centésimas (cêntimos). Depois, calcula o custo de utilizar um forno de $2$ kW durante $1,25$ horas em cada período multiplicando potência, tempo e preço arredondado.

3. Divisão e fração geratriz: Soma os três custos e divide o valor total pelas $3$ pessoas da habitação. Identifica que tipo de dízima resulta (finita, infinita periódica simples ou mista) e determina a sua fração geratriz irredutível para expressar a quota exata sem erros de arredondamento.

4. Proposta: Elabora uma breve proposta fundamentada para a tua família com uma tabela comparativa, aconselhando o horário mais económico para cozinhar e calculando a poupança semanal.

Será valorizado:

• Obtenção de dados reais da REN/ERSE e precisão no arredondamento às centésimas.

• Correção nas operações combinadas com números decimais.

• Identificação do tipo de dízima e cálculo exato da fração geratriz.

• Justificação económica clara e coerente na proposta final.